重慶大學土木工程重慶大學彈性力學01

1、任課教師任課教師 劉劉 東東 Email： 土木工程學院土木工程學院 學習要求 1.本課程理論性強 需要一定的數(shù)學基礎，需要通過做題掌握理論體系 2.學習重點 彈性力學問題的基本理論、求解方法和求解過程 2.善于提出問題 “有許多好學生做了很多習題，卻沒有給自己提出 好問題的習慣，沒有把自己的問題數(shù)學化成理論，或 計劃某些實驗來尋求答案?！?馮元楨 做到上述三點就是培養(yǎng)自己的科學精神和創(chuàng)新思維習 慣！ 學習要求學習要求 4.課程意義 本課程既是一門理論體系完善的力學課程，又是許多后繼專業(yè)課的基礎性 課程。良好掌握本門課程的知識，對學好專業(yè)課是非常重要的。 良好的力學素養(yǎng)也是高級工程技術人員必備

2、的。 5.關于作業(yè) 每周交一次作業(yè) 6、課程考核 本課程為考試科目。在課程結(jié)束后的兩周內(nèi)考試 7、紀律 每次課程都要點名。由班長提交未上課人員名單。 力學學科力學學科 力學是研究物質(zhì)機械運動的科學力學是研究物質(zhì)機械運動的科學 物質(zhì)在時間、空間中的集團變化:移動、轉(zhuǎn)動、流動、變形、振動、波動、擴散 力學的產(chǎn)生力學的產(chǎn)生 古希臘的阿基米德阿基米德 是靜力學奠基人，被稱為“力學之父力學之父”。 扛桿原理和浮力定扛桿原理和浮力定 律律 英國的牛頓：十七世紀發(fā)表牛頓：十七世紀發(fā)表自然哲學的數(shù)學原理,提出物體運動三定律（三定律（慣 性定律 ，加速度定律 ,作用力與反作用力定律），標志著力學成為一門科學。

3、力學的分類力學的分類 一般力學、固體力學、結(jié)構(gòu)力學、物理力學、流體力學、空氣動力學、流變學、 爆炸力學、計算力學、連續(xù)介質(zhì)力學、應用力學、巖土力學、電磁流體力學、生 物力學 第一章第一章 緒緒 論論 第二章第二章 平面問題的基本理論平面問題的基本理論 第三章第三章 平面問題的直角坐標解答平面問題的直角坐標解答 第四章第四章 平面問題的極坐標解答平面問題的極坐標解答 彈性力學的主要章節(jié)內(nèi)容彈性力學的主要章節(jié)內(nèi)容 2學時學時 12學時學時 8學時學時 8學時學時 共計共計3232學時學時 教材與主要參考書教材與主要參考書 教材：教材： 彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程（第三版）（第三版） 徐芝綸徐

4、芝綸 編編高等教育出版社高等教育出版社 參考書：參考書： 彈性理論彈性理論鐵木辛柯 鐵木辛柯 （Timoshenko）編編 科學出版社科學出版社 彈性力學彈性力學吳家龍 吳家龍 編編同濟大學出版社同濟大學出版社 彈性力學學習方法及解題指導彈性力學學習方法及解題指導 王俊民王俊民 編編同濟大學出版社同濟大學出版社 彈性與塑性力學彈性與塑性力學（例題與習題）（例題與習題） 徐秉業(yè)徐秉業(yè) 編編機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社 彈性理論基礎彈性理論基礎陸明萬等陸明萬等 編編 清華大學出版社清華大學出版社 1-1 1-1 彈性力學的內(nèi)容彈性力學的內(nèi)容 1-2 1-2 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個

5、基本概念 1-3 1-3 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 建筑工程 建筑工程 航空航天工程 船舶機械工程 1-1 1-1 彈性力學的內(nèi)容彈性力學的內(nèi)容 近代彈性力學可認為始于柯西（近代彈性力學可認為始于柯西（Cauchy,A.LCauchy,A.L.).) 柯西于柯西于18281828年引進應力與應變的概念，建立年引進應力與應變的概念，建立 了平衡微分方程、邊界條件、應變與位移關了平衡微分方程、邊界條件、應變與位移關 系。奠定了彈性力學的理論基礎。系。奠定了彈性力學的理論基礎。 彈性力學是一門古老的學科彈性力學是一門古老的學科 但現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，特別是計算機的發(fā)但現(xiàn)代科學技術的發(fā)

6、展，特別是計算機的發(fā) 展給彈性力學帶來了新的發(fā)展空間和更加廣展給彈性力學帶來了新的發(fā)展空間和更加廣 泛的工程應用。泛的工程應用。 理論力學理論力學 彈性體力學彈性體力學，通常簡稱為，通常簡稱為彈性力學彈性力學，又稱為彈性理，又稱為彈性理 論，是固體力學的一個分支。論，是固體力學的一個分支。 材料力學材料力學結(jié)構(gòu)力學結(jié)構(gòu)力學彈性力學彈性力學 1. 研究內(nèi)容研究內(nèi)容 材力材力:（內(nèi)容）（內(nèi)容）桿件由外力或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、桿件由外力或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、 變形、材料的宏觀力學性質(zhì)、破壞準則等。變形、材料的宏觀力學性質(zhì)、破壞準則等。 結(jié)力結(jié)力:（內(nèi)容）（內(nèi)容）桿件系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)）在

7、外力或溫度改變桿件系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)）在外力或溫度改變 等原因而發(fā)生的應力、變形、位移等變化規(guī)律。等原因而發(fā)生的應力、變形、位移等變化規(guī)律。 （任務）（任務）解決桿系的強度、剛度、穩(wěn)定性問題。解決桿系的強度、剛度、穩(wěn)定性問題。 （任務）（任務）解決桿件的強度、剛度、穩(wěn)定性問題。解決桿件的強度、剛度、穩(wěn)定性問題。 彈力彈力:（內(nèi)容）（內(nèi)容）彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變 等原因而發(fā)生的應力、變形、位移等分布規(guī)律。等原因而發(fā)生的應力、變形、位移等分布規(guī)律。 （任務）（任務）解決彈性體的強度、剛度、穩(wěn)定性問題。解決彈性體的強度、剛度、穩(wěn)定性問題。 2.

8、彈性力學與材力、結(jié)力課程的區(qū)別彈性力學與材力、結(jié)力課程的區(qū)別 材力：材力： （1）研究對象）研究對象 桿件（直桿、小曲率桿）桿件（直桿、小曲率桿） 結(jié)力：結(jié)力：桿件系統(tǒng)（或結(jié)構(gòu)）桿件系統(tǒng)（或結(jié)構(gòu)） 彈力：彈力：一般彈性實體結(jié)構(gòu)：一般彈性實體結(jié)構(gòu)： 三維彈性固體、板狀結(jié)構(gòu)、桿件等三維彈性固體、板狀結(jié)構(gòu)、桿件等 （2）研究方法）研究方法 材力：材力： 借助于直觀和實驗現(xiàn)象作一些假定，如借助于直觀和實驗現(xiàn)象作一些假定，如 平面假設等，然后由靜力學、幾何關系、平面假設等，然后由靜力學、幾何關系、 物理方程三方面進行分析。物理方程三方面進行分析。 結(jié)力：結(jié)力： 與材力類同。與材力類同。 彈力：彈力： 僅

9、由靜力平衡、幾何方程、物理方程三僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三 方面分析，方面分析，放棄了材力中如平截面等工放棄了材力中如平截面等工 作假定作假定。 如：梁的彎曲問題如：梁的彎曲問題 彈性力學結(jié)果彈性力學結(jié)果材料力學結(jié)果材料力學結(jié)果 當當 l h 時，兩者誤差很小時，兩者誤差很小 如：變截面桿受拉伸如：變截面桿受拉伸 彈性力學以微元體為研彈性力學以微元體為研 究對象，建立方程求解，得究對象，建立方程求解，得 到彈性體變形的一般規(guī)律。到彈性體變形的一般規(guī)律。 所得結(jié)果更符合實際。所得結(jié)果更符合實際。 （3）數(shù)學理論基礎）數(shù)學理論基礎 材力、結(jié)力材力、結(jié)力 常微分方程（常微分方程（4階，一個變

10、量）。階，一個變量）。 彈力彈力 偏微分方程（高階，二、三個變量）。偏微分方程（高階，二、三個變量）。 數(shù)值解法數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分：能量法（變分法）、差分 法、有限單元法等。法、有限單元法等。 3. 與其他力學課程的關系與其他力學課程的關系 彈性力學是塑性力學、斷裂力學、巖石力學、彈性力學是塑性力學、斷裂力學、巖石力學、 振動理論、有限單元法等課程的基礎。振動理論、有限單元法等課程的基礎。 彈性力學彈性力學 數(shù)學彈性力學；（不引入附加假設）數(shù)學彈性力學；（不引入附加假設） 應用彈性力學。應用彈性力學。 （引入附加假設）（引入附加假設） 彈性力學是固體力學的一個分支，研究彈 性體由

11、于外力作用、邊界約束或溫度改變等原 因而發(fā)生的應力、形變和位移。 本課程較為完整的表現(xiàn)了力學問題的數(shù)學 建模過程，建立了彈性力學的基本方程和邊值 條件，并對一些問題進行了求解。彈性力學基 本方程的建立為進一步的數(shù)值方法奠定了基礎。 彈性力學是學習塑性力學、斷裂力學、有 限元方法等課程的基礎。 小結(jié)：小結(jié)： 1-2 1-2 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本概念 基本概念：基本概念：外力、應力、形變、位移。外力、應力、形變、位移。 1. 外力外力 體力、面力體力、面力（材力：集中力、分布力）（材力：集中力、分布力） (1) 體力體力 彈性體內(nèi)彈性體內(nèi)單位體積單位體積上所受的外力上所受的

12、外力 0 lim V F f V 體力分布集度體力分布集度 （矢量）（矢量） xyz ff if jf k 為體力矢量在坐標軸上的投影為體力矢量在坐標軸上的投影 說明：說明： (1) F 是坐標的連續(xù)分布函數(shù)是坐標的連續(xù)分布函數(shù)； (2) F 的加載方式是任意的的加載方式是任意的 (如：重力，磁場力、慣性力等如：重力，磁場力、慣性力等) V P x y z Oij k x f y f z f F f xyz fff、 、 量綱：量綱： 力力/長度長度3 MLS-2L-3MS-2L-2 (3) 的正負號由坐標方向確定。的正負號由坐標方向確定。 xyz fff、 、 (2) 面力面力 作用于物體表

13、面作用于物體表面單位面積單位面積上的外力上的外力 0 lim S F f S 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量） x f y f z f 面力矢量在坐標軸上投影面力矢量在坐標軸上投影 單位：單位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕) 說明：說明： (1) F 是坐標的連續(xù)分布函數(shù)是坐標的連續(xù)分布函數(shù)； (2) F 的加載方式是任意的的加載方式是任意的; S F x y z Oij k x f y f z f f yxz ff if jf k (3) 的正負號由坐標方向確定。的正負號由坐標方向確定。 x f y f z f 2. 應力應力 (

14、1) 一點應力的概念一點應力的概念 A F 內(nèi)力內(nèi)力 (1) 物體內(nèi)部分子或原子間的相互物體內(nèi)部分子或原子間的相互 作用力作用力; (2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力. (不考慮不考慮) P 0 lim A F p A (1) P點的內(nèi)力面分布集度點的內(nèi)力面分布集度 (2) 應力矢量應力矢量. -P點的應力點的應力 的極限方向的極限方向F 由外力引起的在由外力引起的在 P點的某一面上內(nèi)力分布集度點的某一面上內(nèi)力分布集度 應力分量應力分量 n (法線法線) 應力的法向分量應力的法向分量 正應力正應力 應力的切向分量應力的切向分量 剪應力剪應力 單位單位:與面力相同與

15、面力相同MPa (兆帕) 應力關于坐標連續(xù)分布的應力關于坐標連續(xù)分布的 ),(zyx ),(zyx (2) 一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài) 通過一點通過一點P 的各個面上應力狀況的集合的各個面上應力狀況的集合 稱為一點的應力狀態(tài)稱為一點的應力狀態(tài) x面的應力：面的應力： xzxyx , y面的應力：面的應力： yzyxy , z面的應力：面的應力： zyzxz , 用矩陣表示：用矩陣表示： zzyzx yzyyx xzxyx ij 應力符號的意義：應力符號的意義： 第第1個下標個下標 i 表示表示所在面的法線方向；所在面的法線方向； 第第2個下標個下標 j 表示表示的方向的方向. x y z O

16、 xy x xz yx y yz z zy zx yx y yz z zy zx 如果某一截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面就稱為如果某一截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面就稱為 一個一個正面正面 如果某一截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個截面就稱為如果某一截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個截面就稱為 一個一個負面負面 i 是作用在垂直于是作用在垂直于i軸的面上軸的面上 同時也是同時也是 沿著沿著i 軸的方向作用面軸的方向作用面 的的。, ,ix y z 與材力中剪應力與材力中剪應力正負號正負號規(guī)定的區(qū)別：規(guī)定的區(qū)別： x y xy x yx y xy yx x

17、 y 規(guī)定使得單元體順時的剪應力規(guī)定使得單元體順時的剪應力為為 正，反之為負。正，反之為負。 yxxy 在用在用應力莫爾圓應力莫爾圓時必須此規(guī)定求解問題時必須此規(guī)定求解問題 x y z O xy x xz yx y yz z zy zx yx y yz z zy zx 正應力正應力 拉為正，壓為負。拉為正，壓為負。 剪應力剪應力 坐標坐標正面正面上，與坐標上，與坐標 正向一致時為正；正向一致時為正； 坐標坐標負面負面上，與坐標上，與坐標 正向相反時為正。正向相反時為正。 應力應力正負號正負號的規(guī)定：的規(guī)定： 剪應力互等定理剪應力互等定理 六個切應力之間具有一定的互等六個切應力之間具有一定的互等

18、 關系。例如，以連接六面體前后關系。例如，以連接六面體前后 兩面中心的直線兩面中心的直線ab為矩軸，列為矩軸，列 出力矩平衡方程。出力矩平衡方程。 x y z O xy x xz yx y yz z zy zx yx y yz z zy zx a b yzzy zxxz xyyx 切應力互等性：作用在兩個相互垂直的面上并且垂直于該兩切應力互等性：作用在兩個相互垂直的面上并且垂直于該兩 面交線的切應力是互等的（大小相等，正負號也相同）。面交線的切應力是互等的（大小相等，正負號也相同）。 可以證明，在物體的任意一點，已知六個應力分量，就可以證明，在物體的任意一點，已知六個應力分量，就 可以求得經(jīng)過

19、該點的任意截面上的正應力和切應力。因此，可以求得經(jīng)過該點的任意截面上的正應力和切應力。因此， 上述六個應力分量可以完全確定該點的應力狀態(tài)。上述六個應力分量可以完全確定該點的應力狀態(tài)。 02/22/2zxyyxz zyyz 3. 形變形變 形變形變 物體的形狀改變物體的形狀改變 （1）線段長度的改變）線段長度的改變 （2）兩正交線段間夾角）兩正交線段間夾角（直角）（直角）的改變的改變 用線（正）應變用線（正）應變度量度量 用剪應變用剪應變度量度量 三個方向的線應變：三個方向的線應變： 三個平面內(nèi)的剪應變：三個平面內(nèi)的剪應變： zyx , zxyzxy , (1) 一點形變的度量一點形變的度量 應

20、變的正負：應變的正負： 線應變：線應變： 伸長伸長時為時為正正，縮短縮短時為時為負負； 剪應變：剪應變： 以直角以直角變小時為正變小時為正，變大時為負變大時為負； yz 例如：例如： B x y z O PB P A A (2) 一點應變狀態(tài)一點應變狀態(tài) 代表一點代表一點 P 的的鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)線段與線段間夾角的改變線段與線段間夾角的改變 x y z O PB C A z x y zzyzx yzyyx xzxyx 其中其中 xzzx yxxy zyyz 應變量綱為應變量綱為1 ； 4. 位移位移 注：注： 一點的位移一點的位移 矢量矢量S 應變分量均為位置坐標的函數(shù)，即應變分量均為位置坐標的函

21、數(shù)，即 ;),(zyx xx ),(zyx xyxy x y z O S w u vP P 位移分量：位移分量： u x方向的位移方向的位移 分量；分量； v y方向的位移方向的位移 分量；分量； w z方向的位移方向的位移 分量。分量。 量綱：量綱：m 或 mm 彈性力學問題：彈性力學問題： 已知已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾⒉牧咸匦裕ㄍ饬?、物體的形狀和大小（邊界）、材料特性（E、 ）、約束條件）、約束條件等，求解等，求解應力、應變、位移應力、應變、位移分量分量。 需建立三個方面的關系：需建立三個方面的關系： （1）靜力學關系：）靜力學關系： 應力應力與與體力、面力體力、面力間的關系（

22、平衡微分方程）；間的關系（平衡微分方程）； （2）幾何學關系：）幾何學關系： 形變形變與與位移位移間的關系；（幾何方程）間的關系；（幾何方程） （3）物理學關系：）物理學關系： 形變形變與與應力應力間的關系。（物理方程）間的關系。（物理方程） 此外，在彈性體的邊界上，還要建立此外，在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件邊界條件。 在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件，建在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件，建 立立位移邊界條件位移邊界條件 在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡 條件，建立條件，建立應力邊界條件。應力邊界條件。 求解彈性力學

23、問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分求解彈性力學問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分 方程、幾何方程、物理方程求解應力分量、形變分量、方程、幾何方程、物理方程求解應力分量、形變分量、 位移分量。位移分量。 工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。如果不工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。如果不 分主次考慮所有因素，則問題的復雜，數(shù)學推導的分主次考慮所有因素，則問題的復雜，數(shù)學推導的 困難，將使得問題無法求解。困難，將使得問題無法求解。 根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提 出一些基本假設。使問題的研究限定在一個可行的范出一些基本假設。使問題的研究限定

24、在一個可行的范 圍。圍。 基本假設是學科的研究基礎。基本假設是學科的研究基礎。 超出基本假設的研究領域是固體力學其它學科的研超出基本假設的研究領域是固體力學其它學科的研 究范圍。究范圍。 1.3 1.3 彈性力學基本假設彈性力學基本假設 1. 連續(xù)性假定連續(xù)性假定 整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。 該假定在研究物體的該假定在研究物體的宏觀力學特性宏觀力學特性時，與工程實際吻時，與工程實際吻 合較好；研究物體的合較好；研究物體的微觀力學性質(zhì)微觀力學性質(zhì)時不適用。時不適用。 作用：作用：、u 等量可能表示成坐標的連續(xù)函數(shù)。

25、等量可能表示成坐標的連續(xù)函數(shù)。 ),(zyx ),(zyxuu ( , , )x y z 保證保證 0 lim s F p s 中極限的存在。中極限的存在。 2. 線彈性假定線彈性假定 假定物體完全服從虎克（假定物體完全服從虎克（Hooke）定律，）定律，應力與應變間應力與應變間 成線性比例關系成線性比例關系（正負號變化也相同）。（正負號變化也相同）。 脆性材料脆性材料 一直到破壞前，都可近似為線彈性的；一直到破壞前，都可近似為線彈性的； 3. 均勻性假定均勻性假定 作用：作用：可使求解方程線性化可使求解方程線性化 假定整個物體是由同一種材料組成假定整個物體是由同一種材料組成 的，各部分材料性的，各部分材料性 質(zhì)相同。質(zhì)相同。 作用：作用： 彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）不隨位置坐標而變化；不隨位置坐標而變化； 取微元體分析的結(jié)果可應用于整個物體。取微元體分析的結(jié)果可應用于整個物體。 塑性材料塑性材料 ，可視為線彈性的。，可視為線彈性的。 p 比例常數(shù)比例常數(shù) 彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）（不隨）（不隨 而改變）而改變） 4. 各向同性假定各向同性假定 假定物體內(nèi)一點的假定物體內(nèi)一點的彈性性質(zhì)彈性性質(zhì)在所有在所有各個方向都相同各個方向都相同。 作用：作用： 彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）不隨坐標方向而變化；