概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)期望PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)期望概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望E(X) 1 12 2 ( ) kkkk k E Xpxp xp xp x () 1,2, kk P Xxpk Mathematical Expectation 定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 u離散型隨機(jī)變量 kk k p x 若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂， 則稱此級(jí)數(shù)為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂， 則稱此級(jí)數(shù)為 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即 第1頁/共27頁 X P 4 1/4 5 1/2 6 1/4 數(shù)學(xué)期望的計(jì)算 已知隨機(jī)變量X的分布律： 1 1223 3 ) (E Xp xp xp x 例 求數(shù)學(xué)期望E（X） 解 111 ()4

2、565 424 E X 第2頁/共27頁 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X) () ( )E Xx f x dx u連續(xù)型隨機(jī)變量 定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 f (x), 則 ( ) 若廣義積分絕對(duì)收斂, 則稱此積分為 若廣義積分絕對(duì)收斂, 則稱此積分為 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 xf x dx X 即 第3頁/共27頁 數(shù)學(xué)期望的計(jì)算 已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例 2 1 1 ( )1 01 x f xx x ()( )E Xxf x dx 求數(shù)學(xué)期望。 解 11 211 1 00 1 0 xdxxdxxdx x 第4頁/共27頁 數(shù)學(xué)期望的意義 試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，X的觀測值的算術(shù)平均值

3、 在E(X)附近擺動(dòng) x ()xE X 數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(Expected Value)， 均值(Mean) E(X)反映了隨機(jī)變量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。 第5頁/共27頁 二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望 (X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量 (, )( (),( )E X YE XE Y . () iiiiiij iiij E Xx P Xxx px p . ( ) jjjjjij jjji E Yy P Yyy py p () ( ) ( ,), X E Xx fx dxx f x y dxdy ( ) ( ) ( ,). Y E Yy

4、fy dyy f x y dxdy (X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 第6頁/共27頁 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為 例 0,1,1,3 ( , ) 0 kxyxy f x y 其它其它 (1) 求k (2) 求X和Y的邊緣密度 (3) 求E(X), E(Y). 第7頁/共27頁 1 421 2 kk 1 2 k ( )( , ) X fxf x y dy 3 1 1 2 2 xydyx 20,1 ( ) 0 X xx fx 其它其它 ( , )1f x y dxdy (1)由 解 31 10 kydyxdx 所以 所以 得 1 1 3 0,1x (2) 第8頁/共27頁 ( )( , ) Y fy

5、f x y dx 1 0 11 24 xydxy 1,3 ( )4 0其它 y y y fy ()( ) X E Xxfx dx （） ()( ) Y E Yyfy dy 1 0 2 2 3 xxdx 3 1 13 46 y ydy 1,3y 1 1 3 第9頁/共27頁 1 1 3 ()( ,)E Xxf x y dxdy （）另解 1 0 2 2 3 xxdx 3 1 13 46 y ydy 13 01 1 2 dxxxydy ()( ,)E Yyf x y dxdy 31 10 1 2 dyyxydx 無需求 邊緣分布密度函數(shù) 第10頁/共27頁 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理 1：一維

6、情形 ()Yg X 是隨機(jī)變量 X的函數(shù), 1 ( ) ()() kk k E YE g Xg xp , 1,2, kk P Xxpk ( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx ( )f x 概率密度為 第11頁/共27頁 X 服從 2 , 0 sinYX 已知 上的均勻分布，求 的數(shù)學(xué)期望。 ( )sinsin E YEXx fx dx 1 ,02 2 0, x f x ； 其它。 2 0 1 sinsin0 2 EXxdx 因?yàn)?所以 例 解 第12頁/共27頁 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 (,)(,) ijij ij E g X Yg xyp 定理 2：二維情形 1

7、2, , , ijij P Xx Yypi j (, )( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy ( , )f x y 聯(lián)合概率密度為 (,)Zg X Y 是隨機(jī)變量 X， Y的函數(shù), 離散型 第13頁/共27頁 1 5 )( , )E XYxyf x y dxdy 例 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為 1 2 , (01) ( ) 0, xx f x 其它 (5) 2 , (5) ( ) 0, y ey fy 其它 求E（XY） 解 12 ( )( )xyf x fy dxdy 1 (5) 05 2 y dxxyx edy 1 2(5) 05 2 y x

8、 dxyedy 4 第14頁/共27頁 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) ,X Y 相互獨(dú)立時(shí)u當(dāng)隨機(jī)變量 ()() ( )E XYE X E Y ( )E CC u. C 為常數(shù) ()()E CXCE X u. ()()( )E XYE XE Y u. 第15頁/共27頁 設(shè)（X,Y）在由4個(gè)點(diǎn)（0，0）（3，0），（3，2), (0,2)決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2) E(Y2),E(XY). 3 0 2 6面積 答案： 2 5 (); ()3; 2 E XYE X 2 43 (); () 32 E YE XY 第16頁/共27頁 0-1分布的數(shù)學(xué)期望 X服從0-1分布，其概率分布為

9、 P(X=1)=p P(X=0)=1- p X P 0 1 1-p p 若X 服從參數(shù)為 p 的0-1分布， 則E(X) = p ()0 (1)1E Xppp 分布律 數(shù)學(xué)期望 第17頁/共27頁 If XB( n, p ), then E(X)= np (1) kknk n P XkCpp 二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望 分布律 X服從二項(xiàng)分布，其概率分布為 數(shù)學(xué)期望 n 二項(xiàng)分布可表示為個(gè)分布的和 1 n i i XX 0, 1 i Ai X Ai 在第 次試驗(yàn)中不發(fā)生 ， 在第 次試驗(yàn)中發(fā)生 11 ()()() nn ii ii E XEXE Xnp 其中 則 第18頁/共27頁 泊松分布的數(shù)學(xué)期望

10、 If , then ( )XP()E X () ! k P Xke k 分布律 數(shù)學(xué)期望 1 01 () !(1)! kk kk E Xkee kk (1)kt 0 ! t t ee e t 第19頁/共27頁 1 () 0 axb fxba 其其 它它 均勻分布的期望 分布密度 數(shù)學(xué)期望 () 2 ( ) b a x xf x dxdxE X b b a a 第20頁/共27頁 X N (，2） 正態(tài)分布的期望 分布密度 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 數(shù)學(xué)期望 2 2 () 2 () 1 2 x xedxE X 2 2 1 () 2 t tedt x t 第21頁/共27頁

11、0 ( ) 00 x ex f x x 指數(shù)分布的期望 分布密度 數(shù)學(xué)期望 0 () x xf x dExx edxX 00 0 1 | xxx xeedxe 1 第22頁/共27頁 數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用 An application of Expected Value in Medicine 考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每 10個(gè)人一組，把這10個(gè)人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗(yàn)。如果 結(jié)果為陰性，則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽性，則需對(duì) 10個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病 率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問：這種分組化 驗(yàn)的方法與

12、通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？ 分析： 設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X 我們需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較 第23頁/共27頁 化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11 先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。 (X=1)=“10人都是陰性” （X=11)=“至少1人陽性” 結(jié)論： 分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù) 注意求 X期望值的步驟！ 1010 1(1 0.1)0.9P X 10 111 0.9P X 1010 () 0.91 (1 0.9 ) 117.51310E X 第24頁/共27頁 1、概率p對(duì)是否分組的影響 問題的進(jìn)一步討論 若p=0.2，則 當(dāng)p0.2057時(shí)，E(X)10 () 0.91 (1 0.9 ) 11 10 nn E X 1010 () 0.81 (1 0.8 ) 119.9262E X 2、概率p對(duì)每組人數(shù)n的影響 21.86n 當(dāng)p=0.2時(shí)，可得出n10.32，才能保證 EX10. 當(dāng)p=0.1時(shí)，為使 第25頁/共27頁 例 獨(dú)立地操作兩