第十四章 動(dòng)荷載

1、 一、動(dòng)荷載的概念與實(shí)例 二、等加速運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的應(yīng)力計(jì)算 三、受沖擊荷載作用時(shí)構(gòu)件的應(yīng)力和變形計(jì)算 一、動(dòng)荷載的概念與實(shí)例 靜荷載:作用在構(gòu)件上的荷載由零逐漸增加到最終 值,以后就保持不變或變動(dòng)不顯著的荷載. 動(dòng)荷載:構(gòu)件明顯處在加速度狀態(tài)或靜止構(gòu)件受到 處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體的作用時(shí),構(gòu)件受到的荷載為動(dòng)荷 載. 靜應(yīng)力:構(gòu)件在靜荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力. 特點(diǎn):1.與加速度無(wú)關(guān) 2.不隨時(shí)時(shí)間的改變而改變. 動(dòng)應(yīng)力:構(gòu)件由于動(dòng)荷載引起的應(yīng)力. 起重機(jī)吊重物,若懸 掛在吊索上的重物W是靜 止不動(dòng)或以勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) 上升時(shí),重物對(duì)吊索就是 靜荷載,吊索橫截面上的 應(yīng)力就是靜應(yīng)力. 但當(dāng)物體以加速度上 升(如

2、重物吊離地面的一 瞬間)時(shí),重物對(duì)吊索就是 動(dòng)荷載,此時(shí)吊索橫截面 上的應(yīng)力就是動(dòng)應(yīng)力. a 07年11月14日中午11點(diǎn)左 右無(wú)錫某工地升降機(jī)從百 米高空直接墜地,升降機(jī)內(nèi) 17人,6人死亡,11人重傷. 上海世博會(huì)場(chǎng)館 建設(shè)中心的錘擊打樁. 二、等加速運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的應(yīng)力計(jì)算 1.慣性力的概念 慣性力 = = 運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量G/g加速度a . 00 作為靜荷載處理 慣性力 勻速直線(xiàn)狀態(tài) 靜止?fàn)顟B(tài) 構(gòu)件處于 ,a 1.慣性力的概念 變加速狀態(tài) 等加速狀態(tài) 構(gòu)件處于加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 等加速運(yùn)動(dòng)狀況慣性力是個(gè)定值 變加速運(yùn)動(dòng)狀況慣性力是時(shí)間的函數(shù) (是變荷載) 這里討論等加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 2.等加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)

3、件的應(yīng)力計(jì)算 等加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)： a W a g W 動(dòng)荷載 D F a g W WFD W g a 1 a Ag W A W D st g a 1 stDD k g a k D 1動(dòng)荷系數(shù) a 例題 一吊車(chē)以勻加速度起吊重物Q,若吊索的橫截面積為A，材料 比重為，上升加速度為a，試計(jì)算吊索中的應(yīng)力。 Q a m m x Q x )(xFd a g Q a g Ax Ax 解：將吊索在x處切開(kāi)，取下面 部分作為研究對(duì)象。 作用在這部分物體上的外力有： 重物的重量：Q； x段的吊索重量：Ax， 慣性力為：a g Ax a g Q ， 吊索截面上的內(nèi)力：)(xFNd 根據(jù)動(dòng)靜法，列平衡方程： 0 X

4、0)(a g Q Qa g Ax AxxFNd 即 2.等加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的應(yīng)力計(jì)算 解得： )1)()( g a QAxxFNd 吊索中的動(dòng)應(yīng)力為： )1 ()( g a A QAx A F x Nd d 當(dāng)重物靜止或作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，吊索橫截面上的靜荷應(yīng)力為： A QAx st 代入上式，并引入記號(hào) ，稱(chēng)為動(dòng)荷系數(shù)，則： g a Kd1 dstd K 2.等加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的應(yīng)力計(jì)算 于是，動(dòng)載荷作用下構(gòu)件的強(qiáng)度條件為： )( maxmax dstd K 式中得仍取材料在靜載荷作用下的許用應(yīng)力。 動(dòng)荷系數(shù) 的物理意義：是動(dòng)載荷、動(dòng)荷應(yīng)力和動(dòng)荷變形與 靜載荷、靜荷應(yīng)力和靜荷變形之比。因此根據(jù)

5、胡克定律，有以 下重要關(guān)系： d K st d st d st d st d d P P K 分別表示靜載荷，靜應(yīng)力，靜應(yīng)變和靜位移。 式中 分別表示動(dòng)載荷，動(dòng)應(yīng)力，動(dòng)應(yīng)變和動(dòng)位移； dddd P, stststst P, 3.動(dòng)荷載作用下構(gòu)件的強(qiáng)度條件 例題 圖示20a槽鋼，以等加速下降，若在0.2s的時(shí)間內(nèi)速度由 1.8m/s降至0.6m/s，試求槽鋼中最大彎曲正應(yīng)力。已知L6m， b1m。 F運(yùn)動(dòng)方向 bbL o g qqq stst q qb qL 2 qb qL 2 2 2 qb 2 2 qb 2 22 qb g qL mkgqst63.22 g a qq std g a kd1 t

6、 vv a t0 2 6sm 61. 1 mkNq2228 . 963.22 36 102 .24mWy y j j W M max max MPa7 .36 jdd k max MPa1 .59 D t o n a (1)圓環(huán)橫截面上的應(yīng)力 圖示勻質(zhì)等截面圓環(huán),繞著通過(guò)環(huán)中心且 垂直于圓環(huán)平面的軸以等角速度旋轉(zhuǎn), 已知橫截面面積為A,材料的容重為,壁厚 為t,求圓環(huán)橫截面上的應(yīng)力。 2 2 D g A a g A q nD 解：求沿圓環(huán)軸線(xiàn)的均勻分布慣性力集度 D q 3 圓環(huán)等角度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)構(gòu)件的應(yīng)力與變形計(jì)算： 圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力： o D q dN F dN F x y d dq D D

7、2 Dqd D qF DDdN sin 2 2 0 2 2 42 g DA D q F D dN 圓環(huán)橫截面上的應(yīng)力： g v g D A F dN D 2 2 2 4 2 D v 式中 是圓環(huán)軸線(xiàn)上各點(diǎn)的線(xiàn)速度。 g v D 2 （2）圓環(huán)等角度轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)構(gòu)件的強(qiáng)度條件為： 圓環(huán)橫截面上的應(yīng)力與A無(wú)關(guān)，而與線(xiàn) 速度由強(qiáng)度條件可得容許的最大線(xiàn)速度為 g 旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的變形計(jì)算 在慣性力集度的作用下，圓環(huán)將脹大。令變形后的直徑為 ， 則其直徑變化 ，徑向應(yīng)變?yōu)?D DDD ED DD D D t tr )( 所以 Eg Dv E DD d 2 )1 ( 2 gE v DDDD 由上式可見(jiàn)，圓環(huán)直徑增大

8、主要取決于其線(xiàn)速度。 （3）圓環(huán)等角度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)構(gòu)件的變形計(jì)算 min/100rn 2 SMKN5 . 0 x Immd100 例題 在AB軸的B端有一個(gè)質(zhì)量很大的飛輪（如 下圖）。與飛輪相比，軸的質(zhì)量可忽略不計(jì)。軸的另 一端A裝有剎車(chē)離合器。飛輪的轉(zhuǎn)速為 ， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。軸的直徑 剎車(chē)時(shí)使軸在10秒內(nèi)均勻減速停止。求軸內(nèi)最大動(dòng)應(yīng)力。 srad n o / 3 10 30 100 60 2 21 / 310 3 10 0 srad t o o d M 解：（1）飛輪與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 （2）當(dāng)飛輪與軸同時(shí)做均勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其角加速度為 （其中負(fù)號(hào)表示 與 的方向相反，如上圖。） （3）按動(dòng)靜法，在

9、飛輪上加上方向與 相反的 慣性力偶矩 且 mKN 3 5 . 0 ) 3 (5 . 0 xd IM t M 0 x M mKN 3 5 . 0 dt MM t M d M T M mKM 3 5 . 0 dT MM 2.67MPaPa 103 6 23 max 1067. 2 )10100( 16 3 5 . 0 p r W M （4）設(shè)作用于軸上的摩擦力矩為，由平衡方程 ，設(shè)： （5）AB軸由于摩擦力矩和慣性力偶矩 引起扭轉(zhuǎn)變形， 橫截面上的扭矩為，則 （6）橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力為 s/40 MPa70 3 KN/m4 .76 例題15-2 圖示結(jié)構(gòu)中的軸AB及桿CD，其直徑均為d=80

10、mm， ，材料的，鋼的容重 試校核AB、CD軸的強(qiáng)度。 解法之一： 解；1、校核AB軸的強(qiáng)度（AB軸的彎曲是由于CD桿慣性力 引起的，因?yàn)镃D桿的向心加速度引起了慣性力） 圖15-5 g lrA g G m CD CD Ra 2 I F KN28.11 2 6 . 0 40 8 . 9 6 . 0104 .76 4 08. 0 2 3 2 amFI MkN 38. 3 4 2 . 11028.11 4 3 max lF M I d MPa 3 .67 08. 0 32 1038. 3 3 3 max W M d d （1）、CD桿的質(zhì)量： （2）、CD桿的加速度： （3）、CD桿引起的慣性力

11、； （4）、AB軸的 （5）、AB軸的 INd FF 25. 2 4 08 . 0 1028.11 3 3 MPa A F A F INd d 2、校核CD桿的強(qiáng)度（受拉，危險(xiǎn)截面在C） 解法之二： N/mxx l l xq CD CD d 32 32 1061440 )104 .7608. 0 4 ( )( 0 x0 d q mx04. 0N/m 3 106 .24 d q mx6 . 0 N/m 3 105 .368 d q KN3 .1102 . 01 .110 104 .76)04. 06 . 0(08. 0 4 )04. 06 . 0()105 .368106 .24( 2 1 32

12、33 max Nd F MPa9 .21 08. 0 4 103 .110 2 3 max max A FN d 解：沿CD桿軸線(xiàn)單位長(zhǎng)度上的慣性力（如圖b所示）為 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)（c截面處）， 當(dāng)時(shí)， CD桿危險(xiǎn)面C上軸力和正應(yīng)力分別為 三、受沖擊荷載作用時(shí)構(gòu)件的應(yīng)力和變形計(jì)算 v Qa 受沖擊 的構(gòu)件 沖擊物 沖擊問(wèn)題的特點(diǎn)：沖擊問(wèn)題的特點(diǎn)： 結(jié)構(gòu)（受沖擊構(gòu)件）受外力（沖 擊物）作用的時(shí)間很短，沖擊物的速 度在很短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生很大的變化， 甚至降為零，沖擊物得到一個(gè)很大的 負(fù)加速度a，結(jié)構(gòu)受到?jīng)_擊力的作用。 采用能量法近似計(jì)算沖擊時(shí)構(gòu)件內(nèi)的最大應(yīng)力和變形。 根據(jù)能量守恒定律，即根據(jù)能量守恒定

13、律，即 UVT :沖擊物接觸被沖擊物后，速度0，釋放出的動(dòng)能；T :沖擊物接觸被沖擊物后，所減少的勢(shì)能；V :被沖擊構(gòu)件在沖擊物的速度0時(shí)所增加的變形能。U 計(jì)算沖擊問(wèn)題時(shí)所作的假設(shè)：計(jì)算沖擊問(wèn)題時(shí)所作的假設(shè)： 1、假定沖擊物為剛體，不計(jì)變形能。 2、假定被沖擊物為彈性體（不考慮被沖擊物體的質(zhì)量）， 在整個(gè)沖擊過(guò)程中保持為線(xiàn)彈性，即力和變形成正比。 3、假定沖擊后沖擊物與被沖擊物附著在一起運(yùn)動(dòng)，不考慮 被沖擊物接觸后的反彈。 4、不計(jì)沖擊過(guò)程中的能量(聲、熱、塑性變形等）的損耗， 機(jī)械守恒定律仍成立。 根據(jù)假設(shè)，工程實(shí)際上的梁、桿均可簡(jiǎn)化為彈簧來(lái) 分析?，F(xiàn)以一彈簧代表受沖構(gòu)件，受重物Q,在高度

14、H處 落下的作用，計(jì)算沖擊應(yīng)力。 Q H A B Q H Q H 彈簧彈簧 Q H 彈簧彈簧 D 設(shè)：受重物Q自高度 H 落下，沖擊彈性系統(tǒng)后， 速度開(kāi)始下降至0，同時(shí)彈簧變形達(dá)到最 大值 。 d 此時(shí)，全部（動(dòng)）勢(shì)能轉(zhuǎn)化為變形能， 桿內(nèi)動(dòng)應(yīng)力達(dá)最大值（以后要回跳）。就 以此時(shí)來(lái)計(jì)算： 釋放出的動(dòng)能（以勢(shì)能的降低來(lái)表示） )( D HQT 增加的變形能，在彈性極限內(nèi) DD PU 2 1 Q Q P st d d P Q 被沖擊構(gòu)件增加的變形能 U，是等于沖 擊載荷 在沖擊過(guò)程中所作的功。 D P D P ：沖擊物速度為 ：沖擊物速度為0時(shí)，作用于桿之力。時(shí)，作用于桿之力。 C DD Q P 于

15、是變形能為于是變形能為 2 2 1 2 1 D C DD Q PU 根據(jù)能量守恒：根據(jù)能量守恒： 根據(jù)力和變形之間的關(guān)系：根據(jù)力和變形之間的關(guān)系： DD kP 且且 UT 可以得到： 2 2 1 D C d Q HQ )( 即 022 2 CDCD H 解得： CCCD H2 2 式中“+”對(duì)應(yīng)的是最大變形，“-”代表的是回跳到的最 高位置。所以取正值。 即 CCCD H2 2 )( C C CCCD H H 2 11 2 2 CD k 式中式中 為沖擊時(shí)的為沖擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)動(dòng)荷系數(shù)， d k C D H k 2 11 其中其中 是結(jié)構(gòu)中沖擊受力點(diǎn)在靜載荷（大小為沖擊物重量）是結(jié)構(gòu)中沖擊受力點(diǎn)

16、在靜載荷（大小為沖擊物重量） 作用下的垂直位移。作用下的垂直位移。 C D C D st DD k Q P 因?yàn)橐驗(yàn)?所以沖擊應(yīng)力為所以沖擊應(yīng)力為 stDd k 強(qiáng)度條件為強(qiáng)度條件為 )( maxmax stDd k 因此在解決動(dòng)載荷作用下的內(nèi)力、應(yīng)力和位移計(jì)算的問(wèn)題時(shí)，因此在解決動(dòng)載荷作用下的內(nèi)力、應(yīng)力和位移計(jì)算的問(wèn)題時(shí)， 均可均可在動(dòng)載荷作為靜荷作用在物體上所產(chǎn)生的靜載荷，靜應(yīng)力，靜應(yīng)在動(dòng)載荷作為靜荷作用在物體上所產(chǎn)生的靜載荷，靜應(yīng)力，靜應(yīng) 變和靜位移計(jì)算的基礎(chǔ)上乘以動(dòng)荷系數(shù)變和靜位移計(jì)算的基礎(chǔ)上乘以動(dòng)荷系數(shù)，即，即 CDD CDD stDD stDd K K PKP K 通常情況下，。1

17、 D K 1、若沖擊物是以一垂直速度v作用于構(gòu)件上，則由 可得： gHv2 2 C D g v k 2 11 關(guān)于動(dòng)荷系數(shù)關(guān)于動(dòng)荷系數(shù) 的討論的討論: d k 2、當(dāng)h=0或v=0時(shí)，重物突然放在構(gòu)件上，此時(shí) 。2 D k 3、當(dāng) 時(shí)，可近似取 ，誤差5%。10 2 C H C D H k 2 1 當(dāng) 時(shí)，可近似取 ，誤差10%。 C D H k 2 110 2 C H D k 4、 不僅與沖擊物的動(dòng)能有關(guān)，與載荷、構(gòu)件截面尺寸有關(guān)， 更與 有關(guān)。這也是與靜應(yīng)力的根本不同點(diǎn)。構(gòu)件越易變 形，剛度越小，即“柔能克剛”。 C 實(shí)例實(shí)例1 1 等截面直桿的沖擊拉伸應(yīng)力等截面直桿的沖擊拉伸應(yīng)力 L H

18、 Q 已知：等截面直桿長(zhǎng)度為已知：等截面直桿長(zhǎng)度為L(zhǎng) L，截面積為，截面積為A A， 桿件材料的楊氏模量為桿件材料的楊氏模量為E E，重物，重物Q Q從高從高H H處處 自由落下。自由落下。 解解：靜應(yīng)力和靜伸長(zhǎng)分別為靜應(yīng)力和靜伸長(zhǎng)分別為 A Q st EA QL st ， 動(dòng)荷系數(shù)為動(dòng)荷系數(shù)為 AL EAHH k st d 2 11 2 11 沖擊應(yīng)力為沖擊應(yīng)力為 AL HQE A Q A Q k stdd 2 )( 2 實(shí)例實(shí)例2 2 等截面簡(jiǎn)支梁的沖擊彎曲應(yīng)力等截面簡(jiǎn)支梁的沖擊彎曲應(yīng)力 已知：梁的抗彎剛度為已知：梁的抗彎剛度為EIEI，抗彎截面模量為，抗彎截面模量為W W。在梁的中點(diǎn)處受

19、到。在梁的中點(diǎn)處受到 重物重物Q Q從高從高H H處自由下落的沖擊。處自由下落的沖擊。 解：解：梁中點(diǎn)處的靜撓度為梁中點(diǎn)處的靜撓度為 EI QL st 48 3 A B Q H L/2L/2 動(dòng)荷系數(shù)動(dòng)荷系數(shù) 3 96 11 2 11 QL HEIH k st d 最大沖擊應(yīng)力為最大沖擊應(yīng)力為 2 2 maxmax 6 ) 4 ( 4 4 W AI AL HQE W QL W QL W QL kk dstdd A B Q H L/2L/2 k 如果在如果在B支座下加一彈簧，彈性系數(shù)支座下加一彈簧，彈性系數(shù) 為為k，此時(shí)梁中點(diǎn)處的靜撓度將變?yōu)?，此時(shí)梁中點(diǎn)處的靜撓度將變?yōu)?k Q EI QL st

20、 2/ 2 1 48 3 k Q EI QL 448 3 st 即即 增大，動(dòng)荷系數(shù)增大，動(dòng)荷系數(shù) 下降，使下降，使 下降，此即彈簧的緩沖下降，此即彈簧的緩沖 作用。作用。 d kmaxd 實(shí)例實(shí)例3 3 等截面圓軸受沖擊扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等截面圓軸受沖擊扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 等圓截面圓軸上有飛輪等圓截面圓軸上有飛輪D，以等角，以等角 速度速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。 由于某種原因在由于某種原因在B端突然剎車(chē)。求端突然剎車(chē)。求 此時(shí)軸內(nèi)的沖擊應(yīng)力。此時(shí)軸內(nèi)的沖擊應(yīng)力。 0 J 解解：飛輪動(dòng)能的改變量：飛輪動(dòng)能的改變量： 2 0 2 1 JT 軸的變形能軸的變形能 dnd MU 2

21、1 ( 為沖擊扭轉(zhuǎn)力矩為沖擊扭轉(zhuǎn)力矩) nd M L nd M 2 0 2 2 1 2 J GI LM p nd 解得：解得： L GIJ M p nd 2 0 所以軸內(nèi)沖擊應(yīng)力為所以軸內(nèi)沖擊應(yīng)力為 2 0 2 2 0 max p p p p p nd d LW GIJ LW GIJ W M AL GJ 0 2 （與體積（與體積V=AL有關(guān)）有關(guān)） 由由 得：得：UT 如果飛輪轉(zhuǎn)速如果飛輪轉(zhuǎn)速 n=100r/m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J0=0.5KN.m.s2， 軸直徑軸直徑 d=100mm，G= 80GPa，L= 1m，此時(shí)：此時(shí)： AL GJ d 0 max 2 1) 1 . 0( 4 108

22、0105 . 02 60 100 2 93 MPa528 所以對(duì)于轉(zhuǎn)軸，要避免突然剎車(chē)。所以對(duì)于轉(zhuǎn)軸，要避免突然剎車(chē)。 水平?jīng)_擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)計(jì)算。水平?jīng)_擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)計(jì)算。 Q Q v v L L 解：解：根據(jù)能量守恒：沖擊過(guò)程中釋放的根據(jù)能量守恒：沖擊過(guò)程中釋放的 動(dòng)能等于桿件增加的變形能。動(dòng)能等于桿件增加的變形能。 而而 dd PUv g Q T 2 1 2 1 2 (a)(a) EI LP d d 3 3 (b)(b) 設(shè)：一重量為設(shè)：一重量為Q的重物以水平速度的重物以水平速度 v 撞在撞在 直桿上，若直桿的直桿上，若直桿的E E、I I、 均為已知。均為已知。 試求桿內(nèi)最大正應(yīng)力。試求

23、桿內(nèi)最大正應(yīng)力。 z W 將將(b)(b)代入代入(a)(a)式：式： EI LP v g Q d 32 1 2 1 3 2 2 解得：解得： 3 2 3 gL EIQv P d EI QL g v Q 3 3 2 式中式中 EI QL st 3 3 表示水平?jīng)_擊時(shí)假設(shè)以沖擊物重量大小的力沿水平方向以靜載表示水平?jīng)_擊時(shí)假設(shè)以沖擊物重量大小的力沿水平方向以靜載 荷作用于沖擊點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)沿水平方向的位移。荷作用于沖擊點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)沿水平方向的位移。 所以所以 Qk g v QP d st d 2 即水平?jīng)_擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)為即水平?jīng)_擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)為 st d g v k 2 桿內(nèi)最大動(dòng)應(yīng)力為桿內(nèi)最大動(dòng)應(yīng)力為 z dstdd W QL kk maxmax )()( (表示水平?jīng)_擊時(shí)假設(shè)以沖擊物重量大小表示水平?jīng)_擊時(shí)假設(shè)以沖擊物重量大小 的力沿水平方向以靜載荷作用于沖擊點(diǎn)的力沿水平方向以靜載荷作用于沖擊點(diǎn) 時(shí)，該點(diǎn)沿水平方向的位移。時(shí)，該點(diǎn)沿水平方向的位移。) 例例3 3 起重機(jī)吊索下端與重物之間有一緩沖彈簧，每單位力引起的 伸長(zhǎng)為 ，吊索橫截面面積 ，彈性 模量 ，所吊重物質(zhì)量為 Q=50KN 。以等速 v=1m/s下降，在L=20