專題05正余弦定理的應(yīng)用(原卷版)

1、專題05正余弦定理的應(yīng)用1、【2021年高考全國(guó)n卷文數(shù)】 ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.bsinA+acosB=0,那么 B=.2、 【2021年高考浙江卷】在 ABC中，ABC 90 , AB 4 , BC 3，點(diǎn)D在線段AC上，假設(shè)BDC 45，貝U BD , cos ABD .3、 【2021年高考江蘇卷】在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.2(1 )假設(shè) a=3c, b=、2 , cosB=，求 c 的值；3sin A cosB(2)假設(shè)，求sin(B)的值.a 2b24、【2021年高考江蘇卷】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)

2、有一條直線型公路I，湖上有橋AB (AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路 l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q,并修建兩段直線型道路 PB、QA.規(guī)劃要求： 線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓.O的半徑點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足)，測(cè)得 AB=10, AC=6, BD=12 (單位：百米).(1) 假設(shè)道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；(2) 在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在 D處？并說(shuō)明理由；(3) 在規(guī)劃要求下，假設(shè)道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位：百米)求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.5【2021年高考全國(guó) 川卷文數(shù)】 ABC的內(nèi)角A、BC的對(duì)邊分別為a、b、c

3、.asinbsin A .2(1 )求 B；(2)假設(shè)ABC為銳角三角形，且 c=1,求 MBC面積的取值范圍.16、【2021年高考北京卷文數(shù)】在 AABC中，a=3, b -C 2 , cosB=-2(1 )求b, c的值； (2 )求 sin (B+C)的值.7、【2021年高考天津卷文數(shù)】在 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為 a,b,c.b c 2a ,3csi nB 4as inC.(1 )求cos B的值；n(2)求sin 2b 的值.6難點(diǎn)突破一、正弦、余弦定理1、在 ABC中，假設(shè)角A, B, C所對(duì)的邊分別是 a, b, c,只為厶ABC外接圓半徑，那么定理正弦定理余弦

4、定理內(nèi)容abc=2Rsin A sin B sin C2 2 2a = b + c 2bccos A；b = c + a 2cacos B； c2= a2 + b2 2abcos C變形(1) a= 2Rsin A, b= 2Fsin B, c= 2Rsin C;(2)sinA= JR, sinB= 2R, sinC= 2R；(3) a : b : c= sin A： sin B: sin C; asinB= bsin A, bsin C= csin B,as inC= csinAb2+ c2 a2cos A=2bc；2 2 . 2 c + a b cos B門;2ac2 . 2 2 c a

5、+ b c cos C2ab111abc2、& AB尸 qabsin C= qbcsin A=，acsin B= -4R3、正余弦定理的作用：正弦定理的作用：邊角互化問(wèn)題，方法有:利用 a= 2RsinA, b= 2Rsin B, c = 2FSinC將邊化為角;.222利用cosA= VbF等將余弦化為邊;ccosB+ bcosC= a等化角為邊.(2).求邊長(zhǎng)問(wèn)題，方法有：利用正弦定理求邊；利用余弦定理求邊.二、在 ABC中，a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形/4BaVLAA關(guān)系式a bsin AbsinAa bab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解三、實(shí)際問(wèn)題中的常用角1、仰角

6、和俯角：與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖).B點(diǎn)的方位角為a (如圖). 方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值四、注意點(diǎn)：1、解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，那么考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，那么考慮兩個(gè)定理都有可能用 到2關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的 三角恒等變換方法和原

7、那么都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)題型一、運(yùn)用正余弦定理解三角形的根本量三角形的根本量主要是指變、角、面積等。解題時(shí)注意一下兩點(diǎn)：(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用正、余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答此題的關(guān)鍵.(2)熟練運(yùn)用正、余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用例1、(2021通州、海門、啟東期末)在厶ABC中，角A , B , C所對(duì)的邊分別為a, b, c,假設(shè)acosB =n rt r3bcosA , B = A 百，貝V B=例2、(2021蘇州三市、蘇北四市二調(diào))在厶 ABC中， C= 120 , sinB = 2sinA

8、，且 ABC的面積 為2，那么AB的長(zhǎng)為例3、(2021鎮(zhèn)江期末)在厶 ABC中，角A, B , C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,且ccosB + bcosC = 3acosB. (1)求cosB的值；假設(shè)|cA CB|= 2, ABC的面積為,求邊b.題型二、運(yùn)用正余弦定理研究三角形中的范圍運(yùn)用正余弦定理研究三角形中的范圍主要涉及兩方面的問(wèn)題：一是：與不等式結(jié)合；二是有角的范圍，確定三角函數(shù)值的范圍例4、(2021蘇州期初調(diào)查)在斜三角形 ABC中，+- + tanC= 0，那么tanC的最大值等于 tanA tanB例5、(2021蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二)在厶ABC中，三個(gè)內(nèi)角A, B , C

9、的對(duì)邊分別為a , b , c，設(shè) ABC 的面積為S ,且4S , 3( a2 c2 b2).(1) 求 B的大?。?2) 設(shè)向量 m (si n2A,3cosA) , n (3, 2cos A)，求 m n 的取值范圍.題型三、正余弦定理與向量的綜合正余弦定理與向量的綜合主要就是借助于向量的知識(shí)轉(zhuǎn)化為邊角的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用正余弦定理解 決問(wèn)題。例6、(2021無(wú)錫期末)在 ABC中，設(shè)a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，向量m= (a, sinCsinB), n = (b + c, sinA+ sinB), 且 m II n.(1) 求角C的大??；(2) 假設(shè)c = 3,求 ABC的周

10、長(zhǎng)的取值范圍.題型四、運(yùn)用正余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題解三角形應(yīng)用題的解題技巧：首先，理清題干條件和應(yīng)用背景，畫出示意圖；其次，把所求問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)求解；最后，回歸實(shí)際問(wèn)題并檢驗(yàn)結(jié)果例7、( 2021蘇北三市期末)如圖，某公園內(nèi)有兩條道路AB , AP，現(xiàn)方案在AP上選擇一點(diǎn)C,新建n道路BC,并把 ABC所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域./BAC = , AB = 2 km.(1) 假設(shè)綠化區(qū)域 ABC的面積為1 km2，求道路BC的長(zhǎng)度；2 n(2) 假設(shè)綠化區(qū)域 ABC改造本錢為10萬(wàn)元/km2,新建道路BC本錢為10萬(wàn)元/km.設(shè)/ ABC = 0 0

11、 03當(dāng)0為何值時(shí)，該方案所需總費(fèi)用最??？、填空題1、2021蘇中三市、蘇北四市三調(diào) 在厶ABC中，假設(shè)sin A:si n B :si nC 4:5:6，那么cosC的值為.2、2021常州期末在厶 ABC中，角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,假設(shè)a2= 3b2+ 3c2 2 3bcsinA,貝 y c=.3、 2021蘇州三市、蘇北四市二調(diào)在厶ABC中， C= 120, sinB = 2sinA，且 ABC的面積為2羽，貝U AB的長(zhǎng)為.4、 2021南京學(xué)情調(diào)研 ABC的面積為315，且AC AB = 2 ,cosA =寸,那么BC的長(zhǎng)為5、 2021蘇州期初調(diào)查 ABC的

12、三邊上高的長(zhǎng)度分別為2, 3, 4,那么厶ABC最大內(nèi)角的余弦值等于在銳角 ABC中，AB 3 , AC 4 .假設(shè) ABC的面積為3 3 ,6、2021南通、揚(yáng)州、泰州、淮安三調(diào) 那么BC的長(zhǎng)是7、2021蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一在厶ABC中，角A , B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, 5a= 8b, An=2B，貝U si nA =48、2021蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研設(shè) ABC的內(nèi)角A ,B , C的對(duì)邊分別是a, b, c ,且滿足a cos B b cos Atan B9、2021南京、鹽城二模在厶ABC 中,假設(shè) sinC = 2cosA cosB ,那么coa + cos2B的最大值為10、 2

13、021南京、鹽城一模在厶 ABC中，A , B , C所對(duì)的邊分別為a , b , c ,假設(shè)a2 + b2+ 2& = 8,貝憶ABC面積的最大值為.二、解答題11、2021南京、鹽城一模在厶 ABC中，設(shè)a , b , c分別為角A, B , C的對(duì)邊，記 ABC的面積為S,假設(shè) 2S= AB AC ,(1) 求角A的大小；4(2) 假設(shè) c= 7 , cosB = 5,求 a 的值.12、(2021南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào))在厶ABC中，a, b, c分別為角 A , B , C所對(duì)邊的長(zhǎng)，acosB = 2bcosA, cosA =(1)求角B的值;假設(shè)a= 6,求厶ABC的面積.13、(2021宿遷期末) ABC的面積是S, AB AC = S.3(1)求si nA的值；假設(shè)BC = 2 ,3，當(dāng) ABC的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求ABC的面積S.14、(2021 蘇州期末)函數(shù)f(x) =23sin2x cos2x *.(1) 求函數(shù)f(x)的最小值，并寫出取得最小值時(shí)的自變量x的集合；(2) 設(shè)厶ABC的內(nèi)角A , B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,且c=. 3, f(C) = 0,假設(shè)sinB = 2sinA，求a, b的值15、(2021鎮(zhèn)江期末)某房地產(chǎn)商建有三棟樓宇 A , B , C,三樓宇間的距離都為 2千米，擬準(zhǔn)備在此三 樓宇圍成的區(qū)域 AB