61工程問(wèn)題題庫(kù)教師版doc

1、工程問(wèn)題 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練掌握工程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法； 2. 工程問(wèn)題中常出現(xiàn)單獨(dú)做，幾人合作或輪流做，分析時(shí)一定要學(xué)會(huì)分段處理； 3. 根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換； 4. 工程問(wèn)題中的常見(jiàn)解題方法以及工程問(wèn)題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用 知識(shí)精講 工程問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問(wèn)題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來(lái)比較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。一 工程問(wèn)題的基本概念定義 ： 工程問(wèn)題是指用分?jǐn)?shù)來(lái)解答有關(guān)工作總量、工

2、作時(shí)間和工作效率之間相互關(guān)系的問(wèn)題。工作總量：一般抽象成單位“1”工作效率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的工作量三個(gè)基本公式：工作總量工作效率工作時(shí)間， 工作效率工作總量工作時(shí)間， 工作時(shí)間工作總量工作效率；二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面： 具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識(shí)，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題； 在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用； 學(xué)會(huì)畫線段示意圖線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們?cè)趶?fù)雜的條件與問(wèn)題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推理； 學(xué)會(huì)多角度、多

3、側(cè)面思考問(wèn)題的方法分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問(wèn)題之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法因此，在解題過(guò)程中，要善于掌握對(duì)應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，不斷地開(kāi)拓解題思路三、利用常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法： 如代換法、比例法、列表法、方程法等 拋開(kāi)“工作總量”和“時(shí)間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假設(shè)“把整個(gè)工程看成一個(gè)單位”，求得問(wèn)題答案一般情況下，工程問(wèn)題求的是時(shí)間 例題精講模塊一、工程問(wèn)題基本題型【例 1】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú) 做需要 28 天時(shí) 間，乙單獨(dú) 做需要 21 天時(shí) 間，如果甲 、 乙合作需 要

4、多少時(shí)間 ？ 1 1【解析】 將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的 ，乙每天完成總量的 ，兩 28 21 1 1 1 1 人合作每天能完成總量的 ，所以兩人合作的話，需要 1 天能夠完成 12 28 21 12 12【例 2】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要 30 天時(shí)間，甲、乙合作需要12 天時(shí)間，如果乙單獨(dú) 做需要多少時(shí)間？ 1【解析】 將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的 ，甲、乙合作每天完成總量的 30 1 1 1 1 1 ，乙單獨(dú)做每天能完成總量的 ，所以乙單獨(dú)做 1 天能完成 20 12 12 30 20 20【鞏固】 （難度等級(jí) ）一

5、項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要 21 天時(shí)間，甲、乙合作需要12 天時(shí)間，如果乙單獨(dú) 做需要多少時(shí)間？ 1【解析】 將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的 ，甲、乙合作每天完成總量的 21 1 1 1 1 ，乙單獨(dú)做每天能完成總量的 ，所以乙單獨(dú)做 28 天能完成 12 12 21 28【例 3】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩人共同加工一批零件，8 小時(shí)可以完成任務(wù)如果甲單獨(dú)加工，便 2 需要 12 小時(shí)完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了 2 小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生 5 產(chǎn)了 420 個(gè)零件才完成任務(wù)問(wèn)乙一共加工零件多少個(gè) 1 1 1 2 1 1 84【解析】 乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加

6、工 甲調(diào)出后，剩下工作乙需做 1 2 時(shí)所 8 12 24 5 8 24 5 84 2 2 以乙每小時(shí)加工零件 420 個(gè)，則 2 小時(shí)加工 25 2 25 60 個(gè)，所以乙一共加工 5 5 5 零件 42060480個(gè)【鞏固】 （難度等級(jí) ）一件工作，甲、乙兩人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲離開(kāi)了， 由乙繼續(xù)做了 40 天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？【解析】 共做了 6 天后，原來(lái)，甲做 24 天，乙做 24 天， 現(xiàn)在，甲做 0 天，乙做 40（2416）天.這說(shuō) 可由乙做 16 天來(lái)代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的 16/242/3。 明原來(lái)甲

7、 24 天做的工作， 3 2 如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是 30 30 天如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是 30 30 天；甲或 75 50 2 3 乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是 75 天和 50 天.【鞏固】 （難度等級(jí) ）某工程先由甲獨(dú)做 63 天，再由乙單獨(dú)做 28 天即可完成；如果由甲、乙兩人 合作，需 48 天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做 42 天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？【解析】 先對(duì)比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-4815（天），乙 3 要多做 48-2820（天），由此得出乙的工作效率是甲的 ，甲先單獨(dú)做 42 天，比 63 天少

8、做了 4 4 63-4221（天），相當(dāng)于乙要做 21 天因此，乙還要做 2828 56 （天） 28 ，乙還需要做 56 3 天.【例 4】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要 20 天完成，乙、丙合作需要 15 天完成，由乙單 獨(dú)做需要 30 天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？ 1 1【解析】 如果將整個(gè)工程的工作量看做單位“1” 從條件中我們很容易看出： 甲 乙 ， ， 乙 丙 ， 20 15 1 1 1 1 1 1 1 乙 因此不難得到丙的工作效率為 ，因此三個(gè)人的工作效率之和為 ， 30 15 30 30 20 30 12 也就是說(shuō)，三個(gè)人合作需要 12 天

9、可以完成。 本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效但 是這樣做比較麻煩，事實(shí)上只要將甲乙工效和加上丙的工效就可以了【鞏固】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要 9 天完成，乙、丙合作需要12 天，由丙單獨(dú)做需 要 36 天完成，那么如果甲、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？ 1 1 1【解析】 法一：和上題類似，我們可以有：甲 乙 ， 乙丙 ， 丙 不難求得，乙的工作效率 9 12 36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 為 ，因此甲的工作效率為 ，從而甲丙合作的工作效率為 ， 12 36 18 9 18 18 36 18 12 即甲丙合作 12

10、天能完成。 法二：仍然觀察上面那三個(gè)等式，我們能否不求出每個(gè)人的工作效率，而同過(guò)整體的運(yùn)算直接得 到“甲 丙”的值呢？ 2 不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有： 甲乙丙乙丙甲丙 ，也就 1 1 1 1 是說(shuō)： 甲丙 2 ，所以甲丙合作12 天能完成。 9 36 12 12【鞏固】 （難度等級(jí) ）一件工作，甲、乙兩人合作 36 天完成，乙、丙兩人合作 45 天完成，甲、丙 兩人合作要 60 天完成.問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成？ 1 1【解析】 設(shè)這件工作的工作量是 1。甲乙兩人合作每天完成 ，甲丙兩人合作每天完成 ，乙丙兩人合 36 60 1 1 1 1 6 1 作每天完成 ，甲、乙

11、、丙三人合作每天完成 2 減去乙、丙兩人 45 36 45 60 180 30 1 1 1 1 每天完成的工作量，甲每天完成 ，甲獨(dú)做需要 1 天 答：甲一人獨(dú)做需 90 30 45 90 90 要 90 天完成.【鞏固】 （難度等級(jí) ）一件工程，甲、乙兩人合作 8 天可以完成，乙、丙兩人合作 6 天可以完成， 丙、丁兩人合作 12 天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成 11 1 .對(duì)于工作效率有甲，乙丙，丁【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 、 、 128 6 1 1 1 1 1 乙，丙甲，丁即 ，甲、丁合作的工作效率為 所以，甲、丁兩人 8 12 6 24 24 合

12、作 24 天可以完成這件工程【鞏固】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做 8 天完成，乙、丙兩人合做 9 天完成，丙、甲兩 人合做 18 天完成那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天 1 1 1 13【解析】 方法一：對(duì)于工作效率有：甲，乙乙，丙丙，甲2 乙，即 為兩倍乙的 8 9 18 72 13 工作效率，所以乙的工作效率為 而對(duì)于工作效率有，乙，丙乙丙，那么丙的工作效 144 1 13 1 1 率為 那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需 1 48 天。 9 144 48 48 1 1 1 21 21 方法二： 2甲，乙， 丙甲乙乙 、丙甲、 丙 所 乙 ， 以 甲， ，丙 8 9 18

13、 72 72 21 21 21 1 2 ，即甲、 乙、丙 3 人合作的工作效率為 那么丙單獨(dú)工作的工作效率為 144 144 144 8 1 ，那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需 48 天 48【例 5】 （難度等級(jí) ）一池水，甲、乙兩管同時(shí)開(kāi)，5 小時(shí)灌滿；乙、丙兩管同時(shí)開(kāi)，4 小時(shí)灌 滿現(xiàn)在先開(kāi)乙管 6 小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開(kāi) 2 小時(shí)才能灌滿乙單獨(dú)開(kāi)幾小時(shí)可以灌滿？【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據(jù)“現(xiàn)在先開(kāi)乙管 6 小時(shí)，還需甲、丙兩管同 時(shí)開(kāi) 2 小時(shí)灌滿”，我們可以把乙管的 6 小時(shí)分成 3 個(gè) 2 小時(shí)，第一個(gè) 2 小時(shí)和甲同時(shí)開(kāi)，第二 個(gè) 2 小時(shí)和丙同

14、時(shí)開(kāi)，第三個(gè) 2 小時(shí)乙管單獨(dú)開(kāi)這樣就變成了甲、乙同時(shí)開(kāi) 2 小時(shí)，乙、丙同 時(shí)開(kāi) 2 小時(shí)，乙單獨(dú)開(kāi) 2 小時(shí)，正好灌滿一池水可以計(jì)算出乙單獨(dú)灌水的工作量為 1 1 1 1 1 1 2 2 ，所以乙的工作效率為： 6 2 2 ，所以整池水由乙管單獨(dú)灌水， 5 4 10 10 20 1 需要 1 （小時(shí)） 20 20【例 6】 （難度等級(jí) ）2007 年四中考題某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水，單開(kāi)甲管需 12 小 時(shí)注滿，單開(kāi)乙管需 24 小時(shí)注滿，若要求 10 小時(shí)注滿水池，且甲、乙兩管同時(shí)打開(kāi)的時(shí)間盡 量少，那么甲、乙最少要同時(shí)開(kāi)放 小時(shí)【解析】 要想同時(shí)開(kāi)的時(shí)間最小，則根據(jù)工效，讓甲“滿

15、負(fù)荷”地做，才可能使得同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間最小所 1 1 以，乙開(kāi)放的時(shí)間為 1 10 4 小時(shí)，即甲、乙最少要同時(shí)開(kāi)放 4 小時(shí) 12 24【例 7】 （難度等級(jí) ）一個(gè)蓄水池，每分鐘流入 4 立方米水.如果打開(kāi) 5 個(gè)水龍頭，2 小時(shí)半就 把水池水放空，如果打開(kāi) 8 個(gè)水龍頭，1 小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開(kāi) 13 個(gè)水龍頭，問(wèn)要 多少時(shí)間才能把水放空？【解析】 先計(jì)算 1 個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2 小時(shí)半比 1 小時(shí)半多 60 分鐘，多流入水 4 60 240（立 方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1 個(gè)水龍頭每分鐘放水量是 240 （ 5 150- 8 90） 8（立 ， 其 方米） 8 個(gè)水

16、龍頭 1 個(gè)半小時(shí)放出的水量是 8 8 90， 中 90 分鐘內(nèi)流入水量是 4 90， 因此原來(lái)水池中存有水 8 8 90-4 90 5400（立方米）.打開(kāi) 13 個(gè)水龍頭每分鐘可以 放出水 813，除去每分鐘流入 4，其余將放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400 （8 13- 4）54（分鐘）.所以打開(kāi) 13 個(gè)龍頭，放空水池要 54 分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有 水與新流入的水，就需要分開(kāi)考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱 含著的.【例 8】 （難度等級(jí) ）有 10 根大小相同的進(jìn)水管給 a 、 b 兩個(gè)水池注水，原計(jì)劃用 4 根進(jìn)水 管給 a

17、水池注水，其余 6 根給 b 水池注水，那么 5 小時(shí)可同時(shí)注滿因?yàn)榘l(fā)現(xiàn) a 水池以一定的 速度漏水，所以改為各用 5 根進(jìn)水管給水池注水，結(jié)果也是同時(shí)注滿1如果用 10 根進(jìn)水管 給漏水的 a 水池注水，需要多少分鐘注滿2如果增加 4 根同樣的進(jìn)水管， a 水池仍然漏水， 并且要求在注水過(guò)程中每個(gè)水池的進(jìn)水管的數(shù)量保持不變，那么要把兩個(gè)水池注滿最少需要多 少分鐘結(jié)果四舍五入到個(gè)位 ，那【解析】 設(shè)每只進(jìn)水管的工效為“1” 么 a 池容量為 4520，b 池容量為 6530當(dāng)用 5 根進(jìn)水管給 b 池灌水時(shí)需 3056 小時(shí)，而在 6 小時(shí)內(nèi) 5 只其水管給 a 池也是灌有 30 的水，所以漏

18、了 30 5 2010 ， 因 此 漏 水 的 工 效 為 10 6 . 1 用 10 根 進(jìn) 水 管 給 漏 水 的 a 池 灌 水 ， 那 么 需 3 5 20 10 小時(shí)144分鐘. 2.4 2 設(shè) a 池 需 x 根 ， 那 么 b 池 需 14 x 根 ， 有 3 5 x : 14 x 3 所以有 28 2 x 3 x 5 化簡(jiǎn)解得 x 6.6. 所以 a 池用 7 根或 6 根進(jìn)水管， 2: 3 此時(shí)對(duì)應(yīng)所需時(shí)間，分別為： 5 3 當(dāng) a 池用 7 根進(jìn)水管時(shí)：a：7 根水管，需時(shí)間 20 7 小時(shí)225 分鐘；b：7 根水管， 3 3 4 30 需時(shí)間 30 7 小時(shí) 257 分鐘此時(shí)要把兩個(gè)水池注滿最少需要 257 分鐘； 7 5 60 當(dāng) a 池用 6 根進(jìn)水管時(shí)：a：6 根水管，需時(shí)間 20 6 小時(shí) 277 分鐘；b：8 根水管， 3 13 1