圓錐曲線壓軸難題及解答

1、圓錐曲線提高題1設拋物線y m .已知m 1，直線丨：x -my0 ,橢圓C : =2px(p 0)的焦點為F ,點A(0,2).若線段FA的中點B在拋物線上,則B到該拋物線準線的距離為解析：利用拋物線的定義結合題設條件可得出p的值為、2 , B點坐標為(二，)所4以點B到拋物線準線的距離為-42，本題主要考察拋物線的定義及幾何性質，屬容易42.已知以F為焦點的拋物線y2=4x上的兩點A、B滿足AF= 3FB,則弦AB的中點到準2x +2m2y=1 , Fi,F2分別為橢圓C的左、右焦點.(I)當直線l過右焦點F2時，求直線丨的方程;(n)設直線l與橢圓C交于A,B兩點，VAR F2,VBF|

2、F2 的重心分別為G, H若原點0在以線段GH為直徑的圓內,求實數(shù)m線的距離為.解析：設BF=m,由拋物線的定義知AA 二 3m, BB1 二 mlABC 中，AC=2m,AB=4nk,AB 二 3直線AB方程為y = .3(x -1)與拋物線方程聯(lián)立消 y得3x2 -10x0所以AB中點到準線距離為 xi x2 1 = 5 . 123(第21勒m2的取值范圍 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質，直線與橢圓，點與圓的位置 關系等基礎知識，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 2解：因為直線丨:-mt=0經(jīng)過F232t,0)，所以 亠1詩得 m2 = 2 ,又因為m . 1,所以m二寸2

3、 ,故直線I的方程為x2消去x得=0(n)解：設 A(x1,y1), B(冷，y2)。m2x 二 my 石 由22，X 2彳m2 y22m 2y my1422 2 2則由 I - m -8(1) - -m 80 ,知 m : 8，42 .m| m1且有 y y, yly2 82由于 Fi(-c,O), F2(c,0),故O為f1f2的中點,由 aG=2GO,bH-2HO ,可知G(X13GH2 22 =(X1 -X2)(% -丫2)-99設M是GH的中點，貝U M（ %也y2），6 由題意可知2 MO c GH ,2 2即4(X1 X2)2y1 y2)2(X1-X2). (yr)6699即 X

4、1X2yM : O而 XjX2 y1y2 = (my-im)(my22)y2B、D兩點，且BDB、D三點的圓與既考查考生的基礎2所以 m _! ：:08 2即 m2 : 4又因為m . 1且二 0所以 1 0, b0相交于a b的中點為 M 1,3 (I)求C的離心率；(H)設C的右頂點為A,右焦點為F, DFLBF =17，證明：過 x軸相切.【命題意圖】 本題主要考查雙曲線的方程及性質，考查直線與圓的關系,知識掌握情況，又可以考查綜合推理的能力【參考答案】(I 由題設知./的方程為：尸“2 代入C的方程.并化簡.衍(b: a2) -4a2x-4a2 -a2b2 =0.4?b2 - a2由M

5、(1.3)為BD的中點知土也=】故即 h2=3a故c = Va2 +fr2 = 2a.所以c的離心軋年“(u由、知.C的方程為：3?-/=3aA(a.O). F(2i.0)t x,-f-jj =2,斗巧竺故不妨設x,Wt 召Ma18尸1 = 丁(氣_加) + y； =丁(斗_加)+ 3彳_%2 =-甜IFDI = J(Xj 一加尸 + y； = J(x, -2d) + 3g -3a =2xj -a. BF A FD(a - 2x)( - a)= -4X3+ 21(-bx,)-= 5a2 +4a + 8.(1)(2)設Q02 cB,有b2，由【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目，命

6、題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對比較穩(wěn)定2 2x yCi+詐=1 nb aO)c ：x2+bv_b25.設橢圓 a b，拋物線C2 ：x by b 。f 3 y的垂心為B0, b，且 QMN的重心在C2上，求橢圓C1和拋物線C2的方程。 .4【解析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認方程。2 e =2a2 = b2c2 = 2 c2,有y = - a22故xi專b，M（ 一于b,N詩叱），得.3N重心坐標（巧.若G經(jīng)過G的兩個焦點，求 G的離心率;，又M、N為C1與C2不在y軸上的兩個交點，若 AMN（1）由已知橢圓焦

7、點（c,0）在拋物線上，可得:由題設可知 M、N關于 y 軸對稱M （-捲，yj, N（x）（為0）,由AMN的垂心為% 二-或y1 二 b（舍去）423BM AN =0二-X1 (如 一 b)(y1b)=0。 4由點N(x,yJ在拋物線上，xf byb2，解得:(l 5】設 A ( 0, b), Q 3I 4丿5a2 f 4d + 8=17 *故 I so I=V21I 75 J(斗+嶺4為電 6.連 MA 由 4(L0) Af(h3)知從而= liAMlx軸，閃此以M為関心，AM為丫輕的Hl經(jīng)11 A、Q二點* 11在點A處與工軸相切.所以過A.&D 曲的関輸柑叭解心或# （舍去幾由重心在

8、拋物線上得：b2113b2,所以 b=2，M（i.5, 一）, N（.5, 一），又因為 M422N在橢圓上得：2 2a，橢圓方程為1，拋物線方程為 x 2y 一 4。316436.已知以原點 0為中心,F .5,0為右焦點的雙曲線C的離心率(I) 求雙曲線C的標準方程及其漸近 線方程；(II) 如題(20)圖，已知過點 M x1,y1的直線h : XjX 4%y = 4與過點N X2，y2 (其中X2 =x)的直線l2: x2x 4y24的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近 線分別交與G、H兩點，求OGH 的面積。X + 2y = 0.(U)解法一:如答(20)圖，由題意點E(牝，九)在

9、直線/心聲+伽 =4和匚吋+4yay = 4上，因此有衍孔+ 4冊 =4, x2x + 4y譏=4,故點M、N均在直線+ 4yEy = 4上，因此直線MN的方程為xx + 4yy = 4 設G、H分別是直線MN與漸近線x-2y = 0&x+2r =0的交點，fxFx + 4yy = 4, rxsx + 4yy = 4,由方程組丿及x -2y =0lx + 2y =0,2 2解得九二市玩必子玩設M/V與軸的交點為Q,則在直線+ 4yey = 4中，令y = 0 19 %Q = -(易知 XE% 0 0).注意到辺-4/1 =4,得s如=寺oql/c-yJ二亡廠I詁齊石士I42 |xc|xi-4y

10、lT解法二:設EgyA由方程組解得因巧淪鬲則直線MN的斜率k = 二故直線MN的方程為y=-話(文-曲),注意到玄應+你北=4.因此直線MN的方程為p寺令” =4 下同解法一.2 27.如圖，已知橢圓 一2y = 1 (a b 0)過點.a b(Q)，離心率為2左、右焦點分別為F2 .點P為直線l : x y = 2上且不在x軸上的任意一點，直線PR和PF2與橢圓的交點分別為 A、B和C、D， O為坐標原點.(I) 求橢圓的標準方程；(II) 設直線PF“ PF2的斜線分別為 匕、k2.13(i)證明：2 ；& k2(ii)問直線I上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、k

11、OB、koc、koD滿足koA koB koc koD =0 ?若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由.H：為豳過點嚕川亠華 所以護缶話r唇 又伽 彷以 a 7? lc 1. f 折求柄圓方段為尋+PF:的方程分別為聯(lián)申方程解得所以 p(且十& 2左由_由于點P在克線工+ y = 2 所以也土&堺色2hg亡3爲一蠢a 2結論成立.因為點P不在工紬上所以力工0 又 Xq + y o 2 F3 _ % + 1 3(xo 1) fe:刃所以0,方法二：設則爲一%=b + z因此結論成立(ii)解：設 A(x4 B(xtr ys)f C DQ。.:，口妊l2 聯(lián)立直線卅、與橢圓的方程

12、得 Jx： ty + = L化簡得(2-Fl)zJ+4Mx4 2；?-SOA.OB的斜耶存在， 比工0竝HO,因此於興0丄空+也=迢土12 + 歸也 Xa Xb孔xB小巒*一舲 g!也2戈一 2屛一 I，因此由于所以因此0,2用一 2ZkF+l9相似地可以得到HcHO. %工0段H0.1.屜+8121 故Jt伙卡Dm+ Jia 鬲 A； h 士 Kb 爲一7 a; -i）（M -itUfe-DOt + Midl-i_,若rt +* + *E十o = 5啜霜*1 +為 戲啟姑* LD暫軋+ * Cl時結合（i）的結論可得*t 2*所以鮮得點F初坐標為 3QQT當粘 時，蠟舍0的結論JS得肛_ 3

13、或屛=1 =31)的兩條直線11和12與軌跡E都只有一個交點，且 h _ 12 ,求h的值。解：(1)由A-.A； 曲線的左*右頂點知，4(-2,4戶:+y-血):兩式相乘得丐+彳2珂彳2衛(wèi)-|工-2),而點H耳”)在雙曲統(tǒng)上，所以互-XT,即身=丄- 2 2- 2 2(2)設 h : y = kx h，則由 h _ l2知，l2 : y x h。將li: kx h代入 y2 = 1得x (kx h)2 =1，即(1 2k)x/J:y=-(x + l),即Z:3x + 4y + 3 = 0 fe3x-4y + 3 = 0 4khx 2h2 - 2 = 0,2由 li與 E 只有一個交點知，#:

14、 =16k2h2-4（1 2k2）（2h2-2）=0，即2 21 2k =h o1 1同理，由l2與E只有一個交點知，1 2飛=h2，消去h2得飛=k2，即k2 =1，從 2k2k2而 h2 =1 2k2 =3，即 h = .3。11.已知拋物線C:y2 =4x的焦點為F，過點K（-1,0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D.（I）證明：點 F在直線BD上；（D）設FAjB =8，求 BDK的內切圓M的方程.分折：本小題為解抬幾何與平面向量嫁合的間題，主要捋査拋物線的性質、直線與圓的位置關系，直線與拋樹毋 位暨關系、E1的幾何性質與圈的方趕的束解*平面向童的數(shù)殳積等啊訶青査

15、霜生綜合運用數(shù)堂知識進行軸 論旺的能力、運算能力和解決問題的能力，同時考査丁數(shù)羽結合思想.設而不索思想.解： 1 ）設期和則。（叼廠八）設宜疑卩=此（工+L）（斤工0）代入戸=4廠 吧簡轅理得1 lr jk2x2 + (2lc2 -4)x + k2 = 0,由 A 0,得 Ovkcl, x1+x2=j-1二,冬一-0點F在直域甌上莎而=（X -1）（X2-1）- “Xj + l）（x： +1）二（疋 + 1）（颯七 +1）+（2 - 1）（工1 + 乜）諾將碼+花=-2r4.必-1代入上式，孵得k2-.k=-由趣意可知色EDK的內切圓M定往兀納上，不肪說卅宙M到直蛭収 ED的距離相 亀 有也也

16、_! = 12空二31,解得用=丄或加=9 (舍去人內切圓m的豐輕z丨恥+引549$.-.內切圜皿的方程為(x-i) 2所以可解得a = 2 , 2 , c = 2 ,所以b2 = a2 -c2 = 4 ,所以橢圓的標準方程為 -1 ；84所以橢圓的焦點坐標為(+2 , 0),因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所 以該雙曲線的標準方程為x2+y2=i-12.如圖，已知橢圓竺上=1(a b0)的離心率為 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、a? b?2右焦點Fi,F2為頂點的三角形的周長為 4(、一2 1).一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線卩斤和PF2

17、與橢圓的交點分別為 A、B和C、D.=1。(I)求橢圓和雙曲線的標準方程；(n)設直線PF,、PF2的斜率分別為k,、k2，證明匕k2 =1 ；(川)是否存在常數(shù) X ,使得 AB + CD =九AB CD恒成立？若存在，求 九的值；若不 存在，請說明理由.【解析】(I)由題意知，橢圓離心率為 -2，得a= .2c，又2a 2 4(. 21),a 2(II)設點P (吋 兀人則上廣一k上一、所以俎也=乩用+ 2Xo - 2嗎+ 2 筍一 2求才又點卩(和川在雙曲線上所躺計號八叭扛子4”所以(III)假設存在常數(shù)九 使得|45|十二用也引忙刖懼成立，則由(H)知俎二1,所以設直線AB 的方程為y

18、 =帆只+2),則直建CD的方程為丄0+2),ky-上(x+2)/ 消 V得；(2+1)72 + 3+-3 = 0,設乂(尬H)，/心乃)，+= 1Lb 4_蛇gp -g則由韋達如屮”齊備e所以AB 土a/W J(可+忑亍4x內=厲電:,同理可得CD2也1 +)_4旋(1 +尸)-P+224AB CD 4 反(1+F) 472(1 + )又因為陞|+|CD|曲卜|加卜所以育11汗+1+2益:廣琴,所以存在常數(shù)兄二使得M創(chuàng)+ QO卜久卜厠衣立?！久}意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力。其中

19、問題(3)是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力， 13已知一條曲線 C在y軸右邊，C上每一點到點F (1,0)的距離減去它到 y軸距離的差都 是1.(I )求曲線C的方程；(H)是否存在正數(shù) m,對于過點M (m , 0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都 有FAFB 0 ?若存在，求出 m的取值范圍；若不存在，請說明理由。A巧0o (z, -IX3 0 + yty, = xtx3 -(xt *)+1 *019.本咻題生要爲譴盤強巧韁胡儀的恂國董系、拋錨線的性蓿零輕魁如識.附時零蠻擂理運 算的能力.12分)Ml 0,化荷咼 y = 4.r (r 0

20、).A - 16(/* -1 flf) 0 (II改過恵 A/(m,0) (mi 0)的 f找 i *i S&fJt C 的交蟲為 XJi ”)獨g, y;). 設 J 的方程為岸 u*nr tri IX ,1 W W y! - 40* Aftt 0 I y* = 理/乃皿 |/1匸7胡Ji El =(X, - 1-( ). FR = (x, -1,).童仃總實數(shù)射的域小值為0所班不甞蟲対F-UU成窒等價于 -275i/j -扣X + Xj)； - 2yJ * I iUffiiii不等式等價丁m - 6m +1 /o 二力-；,由于M在上，故2%-%-1=0.又B, C在橢圓上，所以有誥+ =

21、 1與話+誇=兩式相減，得啣+令l=o,即(九二護舒-九)“將該式寫為* 巴尹+ 節(jié)? V 巻互=，并將直線8C的斜率&毗和線段C的中點 表示代入該表達式中，得4*0-757o=O.即3xo-2y3=O.o丄Z篇蠶蟲樂第管中點屮而這是不可昨解法2：假設存在肌和小*）兩點關于宜線偽稱，則“込二%=七 設直線C的方程為y 寺“碼將其代人橢圓方程藝+厶116 12 * 得-元二次方程吳+4（_宦+皿即亠吟+宀12皿 則召與旳是該方程的兩個根* 由韋達定理得夠匕廠叫于是戸乜=-y（r F）+2庇二攣,Q的中點坐標為（牛洱）.24又線段力的中點在直線尸22上竽訥j得“斗 即艮C的中點坐標為（2, 3）,

22、與點重合，矛盾:不存在滿足題設條件的相異兩點*x2v215.在平面直角坐標系 xoy中，如圖，已知橢圓1的左、右頂點為 A、B，右焦點95為F。設過點T（ t,m ）的直線TA、TB與橢圓分別交于點m0, Vi0, y : 0。（1）設動點P滿足PF2 -PB2 =4，求點P的軌跡；51一（2）設Xi =2,X2 ，求點T的坐標；3（3）設t =9,求證：直線 MN必過x軸上的一定點（其坐 標與m無關）。解析本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設點 P（ X，V），貝F（ 2，0）、B（ 3，0）、A（ -3，0）