應(yīng)用隨機過程(第三章)

1、第三章 Poisson過程 3.1 Poisson過程 定義3.1.1 隨機過程 稱為計數(shù)過程，如 果 表示從0到t時刻某一特定事件A發(fā) 生的次數(shù)，它具備以下兩個特點： （1） 且取值為整數(shù)； （2） 時， 且 表示 時間內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)。 0, ttN ts 0tN tN tNsN sNtN ts, 定義. 計數(shù)過程稱為參數(shù)為的 Poisson過程，如果： （1） ； （2）過程有獨立增量； （3）在任一長度為t的時間區(qū)間中事件發(fā)生 的次數(shù)服從均值為t的Poisson分布，即對 一切 ，有： 0, ttN 00 N 0, 0ts , 2 , 1 , 0, ! nensNstNP n t n

2、 Poisson的特性 平穩(wěn)增量性。 由 ，知是單位時間內(nèi)發(fā)和事件 的平均次數(shù)。 稱為Poisson近程的強度或速率。 例3.1.1 售票處乘客以10人小時的平均速率 到達，則9：00 10：00最多有5名乘客的 概率？10：00 11：00沒有人的概率？ ttNE 例3.1.2 保險公司接到的索賠次數(shù) 設(shè)保險公司每次的賠付都是1，每月平均接 到的索賠要求是4次，則一年中它要付出的 金額平均是多少？ ! 124124 012 n n enNNP 48124012 NNE Poisson過程的等價定義 設(shè) 是一個計數(shù)過程，它滿足： (1) N(0)=0； (2) 過程有平穩(wěn)獨立增量； (3) 存

3、在0，當(dāng)h0時有： (4) 當(dāng)h0時有： 0, ttN hohtNhtNP1 hotNhtNP2 定理3.1.1 滿足上述條件(1) (4) 的計數(shù)過程 是Poisson過程。 反過來Poisson過程一定滿足這四個條件。 0, ttN 例3.1.3 事件A的發(fā)生形成強度為的poisson過 程 ，如果每次事件發(fā)生時以概率 p能夠被記錄下來，并以M（t）表示到時刻t 被記錄下來的事件總數(shù)，則 是一個強度為p的Poisson過程。 0, ttN 0, ttM mntNPmntNmtMP mtMP n 0 0 ! 1 n t nm tnmm nm eppC nm 0 ! 1 n nm tpptt

4、nm e ! 0 ! 1 !m ptpt n n tp m ptt ee nm 例3.1.4 設(shè)每條蠶產(chǎn)卵數(shù)服從poisson分布，強度 為，而每個卵變成成蟲的概率為p，且每 個卵是否變成成蟲彼此間沒有關(guān)系，求在 時間0，t內(nèi)每條蠶養(yǎng)活k條小蠶的概率。 pt k pt e k ! 例3.1.5 天空中的星體數(shù)服從Poisson分布，其參數(shù) 為V，V為被觀測區(qū)域的體積。若每個星球 上有生命存在的概率為p，則在體積為V的 宇宙空間中有生命存在的星球數(shù)服從強度 為pV的Poisson 分布。 與Poisson過程相聯(lián)系 若干分布 0 1 2 3 tN 0 T 1 T 2 T 3 T t 1 X 2

5、X 3 X 與 的分布 表示第n次事件發(fā)生的時間； 規(guī)定 ， 表示第n次與第n-1次事件發(fā)生的時間 間隔， 定理3.2.1 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且相互獨立。 n T , 2 , 1n 0 0 T n X , 2 , 1n n X n T , 2 , 1nX n 0 1 tNtX t etNPtXP 0 1 t etXP 1 1 sXsNtsNPsXtXP 112 0 0sNtsNP t e 定理3.2.1 服從參數(shù)為n和的分布。 證明： , 2 , 1nTn n i in XT 1 Xi獨立且服從相 同的指數(shù)分布 指數(shù)分布分n=1的分布，且具有可 加性。定理得證。 證明2 tTntN n n

6、tNPtTP n nj j tt j e ! 對上式兩端對t求導(dǎo)，可得Tn 的密度函數(shù)為： !1! 1 j t nj t nj j tt n jj eetf !1 1 n tt n e tn n et n 1 定義3.2.1 計數(shù)過程 是參數(shù)為的 Poisson過程，如果每次事件發(fā)生的時間間 隔X1，X2， ， 相互獨立，且服從同一 參數(shù)為的指數(shù)分布。 0, ttN 例3.2.1 設(shè)從早上8：00開始有無窮人排隊，只有一 名服務(wù)員，且每人接受服務(wù)的時間是獨立 的并服從均值為20min的指數(shù)分布，則到中 午12:00為止平均有多少人已經(jīng)離去？已有 9人接受服務(wù)的概率是多少？ 過程的是強度為Poi

7、ssontN3 12 ! 12 04 enNNP n n 12 !9 129 904 eNNP 例3.2.2 假定某天文臺觀測到的流星流是一個 Poisson過程，以往資料統(tǒng)計，平均每小時 觀察到3顆流星，試求上午8：00 12：00 期間，該天文臺沒有觀測到流星的概率？ 過程的是強度為PoissontN3 4304PNN 1212 !0 120 004 eeNNP 事件發(fā)生時刻的條件分布 1 1 tNsTP 考慮n=1的情形，對于st有： 1 1; 1 tNP tNsTP 1 A,(A tNP tssP沒有發(fā)生內(nèi)之前，發(fā)生在時刻 1 01 tNP sNtNPSNP t sts te ese

8、t s 定理3.2.3 在已知N(t)=n的條件下，事件發(fā)生的n 個時 刻T1，T2，,Tn的聯(lián)合密度函數(shù)為 n n t n ttt tttf n 21 !21 0 , 例3.2.3 乘客按強度為的Poisson過程來火車站， 火車在t 時刻啟程，計算(0，t內(nèi)到達的乘 客等車時間總和的數(shù)學(xué)期望。 解：即要求計算 其中Ti是第i個乘客的到達時間。 tN i i TtE 1 由于N(t)為一隨機變量，取條件期望 tN i i ntNTtE 1 n i i ntNTtE 1 22 1 ntnt ntntNTEnt n i i 2 11 nt UEntNTE n i i n i i tN i i T

9、tE 1 tN i i tNTtEE 1 02n ntNP nt 0 2n ntNPn t 22 2 t tNE t 例3.2.4 事件A的發(fā)生形成強度為的poisson過 程 ，如果每次事件發(fā)生時以概率 p能夠被記錄下來，并以M（t）表示到時刻t 被記錄下來的事件總數(shù)，則 是一個強度為p的Poisson過程。 現(xiàn)在設(shè)A在時刻s時，被記錄到的概率為p(s) 那么 還是Poisson過程嗎？ 0, ttN 0, ttM 0, ttM M(t) 已不是一個Poisson過程，它仍具有獨 立增量性，不在具有平穩(wěn)增量性。 mtMP kmtNPkmtNmtMP k 0 kmtNmtMP k m pp m

10、 km 1 內(nèi)發(fā)生且被記錄事件在, 0tPp dssP t 0 時刻發(fā)生且被記錄事件在 tt dssP t dssP t 00 11 kmtNPkmtNmtMP k 0 t km km k e km t pp m km ! 1 0 t km km k e km t pp km km ! 1 ! ! 0 k k k t m t k p e m pt ! 1 ! 0 pt m e m tp ! Poisson過程的推廣 非齊Poisson過程 定義3.3.1 計數(shù)過程 稱作強度函 數(shù)為 的非齊Poisson過程， 如果： (1) (2) 具有獨立增量 0, ttN 00tt 00 N 0, ttN

11、 (3) (4) hotNhtNP2 hohttNhtNP1 定義3.3.2 計數(shù)過程 稱為強度函數(shù)為 的非齊次Poisson過程， 若： （1） （2） 具有獨立增量； 0, ttN 0, 0tt 00 N 0, ttN （3）對任意實數(shù) 為具有參數(shù) 的Poisson分布。稱 為非齊Poisson過程的均值函數(shù)（累積強度函 數(shù)） tNstNst, 0, 0 duutmstm st t t duutm 0 定理3.3.1 設(shè) 為強度函數(shù)為 的非齊 次Poisson過程，對任意 令： 則 是一個強度為1的Poisson過程。 0, ttN t 0t tmNtN 1 tN 例3.3.1 設(shè)某設(shè)備的

12、使用年限為10年，在前5年內(nèi)它 平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年維 修一次。試求它在使用期內(nèi)只維修過1次的 概率？ 解： 105 50 2 1 5 . 2 1 t t t 10 0 5 0 10 5 5 . 45 . 04 . 010dtdtduum 10 0 5 0 10 5 5 . 45 . 04 . 010dtdtduum 5 . 4 ! 1 5 . 4 1 1010 eNNP 復(fù)合Poisson過程 定義3.3.3：稱隨機過程 為復(fù) 合Poisson過程，如果對于 ，它可表 示為： 其中 是一個Poisson過程， 是一族獨立同分布的隨機變量，并且與 獨立。 0, ttX 0t

13、 tN i i YtX 1 0, ttN , 3 , 2 , 1,iYi 0, ttN 例3.3.2 保險公司接到的索賠次數(shù)服從一個Poisson 過程 ，每次的賠付金額Yi都相 互獨立，且有相同的分布F，且每次的索賠 額與與它發(fā)生的時間無關(guān)。則0，t內(nèi)保險 公司賠付的總額 就是一個復(fù) 合Poisson 過程，其中： 0, ttN 0, ttX tN i i YtX 1 例3.3.3 （顧客成批到達的排隊系統(tǒng)）設(shè)顧客到達某 服務(wù)系統(tǒng)的時刻 形成一個 強度為的Poisson 過程，在每個時刻 都可以同時有多名顧客 到達。Yn表示時刻Sn到達的顧客人數(shù)，假 設(shè)Yn n=1,2,3相互獨立，且與Sn

14、也 獨立，則在0 ，t時刻內(nèi)到達服務(wù)系統(tǒng)的總 人數(shù)可用一復(fù)合Poisson過程來描述。 , 21 SS , 2 , 1,nSn 例3.3.4 設(shè)顧客按照參數(shù)為的Poisson過程進 入一個商店。又設(shè)每個顧客消費金額形成 一個獨立同分布隨機變量。以X(t)記到時刻t 為止顧客在此商店的消費總額，易見 是一個復(fù)合Poisson過程。 0, ttX 定理3.3.2 設(shè) 是一個復(fù)合Poisson過程，Poisson過程 的強度為，則： （1） 有獨立增量； （2） 若 ，則 0, 1 tYtX tN i i 0,ttN tX 2 i YE 1 YtEtXE 2 1 YtEtXVar 例3.3.5 保險

15、公司索賠模型中，設(shè)索賠要求以每月 平均兩次的速率的 Poisson過程到達保險公 司。每次賠付服從均值為10000萬元的正態(tài) 分布，則一年中保險公司的平均賠付額為 多少？ 1000012212 1 YtEXE 例3.3.6 顧客以每分鐘6人的平均速率進入商場，服 從Poisson 過程。每位顧客買東西的概率為 0.9，且 每位顧客是否買東西互不影響，也 與進入商場的人數(shù)無關(guān)。求一天（12）小 時在該商場買東西的顧客人數(shù)。 12606t 位顧客在商場未買東西第 位顧客在商場買東西第 i i Y i 0 1 以 表示在時間0，t內(nèi)到達商場的人 數(shù)， 以 表示在時間0，t內(nèi)在商場買東西 的人數(shù)， tN1 432012 1 NE tN 2 9 . 0 1 1 1 tYEtNE tN i i 若以Zi 表示第i位顧客在商場消費金額，且 則 表示在時間0，t內(nèi)該商場的營業(yè)額。 5 . 0 ,200 BZi tN i i ZtN 1 1 3 2 200 3 720612NE 條件Poisson 過程 定義3.3.4 設(shè)隨機變量0，在=的條件下，計數(shù)過 程 是參數(shù)為的Poisson過程 ，則稱 為條件Poisson過程。 設(shè)的分布為G，則 0, ttN 0, ttN 0 ! dGensNs