實變函數第三章測度論習題解答

1、第三章測度論習題解答1.證明：假設E有界，那么m E “H。證明 E有界，必有有限開區(qū)間E使得E - I，因此m*E空m*l .2證明可數點集的外測度為零證明設E,對任意總0，存在開區(qū)間h,使得Xi li，且h =二2(在Rp空間中取邊長為 的包含Xi的開區(qū)間h)，所以cdoCU li =E，且瓦 |li| = E， i呂i呂由e的任意性得m*E = 0。3.設E是直線上一有界集合m*E 0，那么對任意小于m*E的正數C，恒有E 的子集巳，使 m* =c。證明 設 a = inf x,b =supx，貝U E b,b】，令 Exa,xl E，x逕X隹a 込x b， f (x) =m Ex是a,

2、b 上的連續(xù)函數；當Axa0時，f(x+Ax) f(x)| =m*Exp m*Ex 蘭 |m*(Ex Ex)蘭 m*(x,x + x)=3于是當 x 0用類似方法可證明，當厶x0,厶x；0時，f(xAx)； f(x)， 即f(x)是a,b 1上的連續(xù)函數。由閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理f (a) =m*Ea =m*(E a) = 0，f (b) = m* (Ea,b ) =m*E，因此對任意正數C，cvm*E，存在XoHb】，使f(x0)=c，即* = m*(a,x0 丨 E)=c，令 E a,xj E E，貝U4設Si,S2, ,Sn是一些互不相交的可測集合,EiSi,i=1,2,，n，求證m

3、 (Ei E2En)二 m Ei m E2 亠 亠 m En證明 因為Si,S2,，Sn是一些互不相交的可測集合，由2定理3推論1，對任意Tn有 m* 仃I I Si)：n八 m*(T Si)，i 4n特別取t = Si=4i，那么T Sin=(Ej)Si = Ei，j 4nnT ( SJ 二 Ei所以i 4i Annnnm*(Ei)=m*(T (U S)=Z*m (T仃S)=送m*Ei。i T7i三iT5.假設mE =0，貝U E可測證明任意T ，T=(T E)仃 CE)，所以m*T 空 m* (T E) m* (T CE)又 T E E，所以 m*(T E)乞 m*E =0， T CE T

4、， m* (T CE)m*T，所以 m*T 蘭m*(T“E) +m*(T “CE)因此m*T二m*仃 E) m*仃 CE)，那么E可測。6證明康托集合的測度為0證明 據康托集合的構造，即在 0,1】中挖去可數個互不相交的開區(qū)間而成。第n次挖掉的長度為2心3n，因此p在0,1中的余集的測度為2丁n 3又因所以,m0jl=m(P (b,1】-P)二 mP m(0,1】-P) mP=mb,l Lm( b,1 P) =1 -1 =0即康托集合的測度為0.7.設A,B RP ,且m*B ：=，假設 A 是可測集，證明* 1 |m (A B)二 mA m B - m (A B)證明因A是可測集，由卡拉泰奧

5、多里條件m*(A B)二 m*(A B) A) m* (A B) CA)二 mA m*(B - A)另一方面又有m*B=m*(B A) (m*B CA)由 m B ；：，所以 m (B CA) :, 于是 m* (B - A)二m* B - m* (A B)，代入前式得m*(A B)二 mA m*B-m*(A B)證畢。8證明：假設E可測，那么對于任意；0，恒有開集G及閉集F,使F E G , 而m(G 一 E) ： ； ， m(E F)：；證明 當mE ：:時，對任意； 0，存在一列開區(qū)間譏？，i =1,2,，使Q0I i 二 E，i OcO且送IjVmE+g，令G=Uh ，貝U G為開集，

6、G = E，且 i珀i生Q0mE 遼mG 二二 mli : mE ；i壬因此 m(G E) ： ；， m( E F)：；。當mE 時，E總可以表為可數個互不相交的有界可測集的和；0E = En (mEn :：)n 對每個En應用上面結果，可找到開集Gn，使Gn二En，且m(GEnP，0令 G 二 Gn，n OOQOOOG 為開集，G E，且 G-E Gn - En 二- (Gn - En)，因此nTnn=1oOm(G _E)乞 m(Gn _En)：；n =1又當E可測時，CE也可測，所以對任意0，有開集 G，G- CE，且m(GCE ) J 匚。因G CE =G 口 E = E C(CG) =

7、 E CG，令 F =CG，貝U F 是閉集，且m(E _F)二m(G _CE)：； 證畢。9.設E Rq，存在兩列可測集 入 Jbj， 使得AnEBn m(AnBn)； 0(n)，那么 E 可測QOQO證明 對任意i , BnBj ,所以Bn 一 EBj 一 E，又E二A ,n =1n z!Bj _ E 二 Bj _ A所以對任意i,QO* _ * *m ( Bn - E) _ m (Bj - E) _ m (Bj - A ) = m(Bj - A)n -1oCoO令 j t 旳，由 m(Bj - A) t 0，得 m* (0 Bn E) = 0。所以 Cl Bn E n z!n=J是可測的。QOCOQO又Bn可測，Bn也是可測的，所以 E =Bn -( Bn-E)是可測的。n z!n z!n=1P10.設A,B R ,證明成立不等式：m (A B) m (A B) m A m B證明 假設m A二:或m B =:,那么結論成立。當 m A 出匕-且 m B f 取 G .型集 G1 與 G2，使 G0,存在閉集Fue，使得m*(EF)g，證 明E是可測集水1證明 由條件對任何正整數 n，存在閉集 FnE，使m