雙曲線及其標準方程

1、2.3.1雙曲線及其標準方程依蘭縣第三高級中學 陳海龍一教學目標1.知識與技能了解雙曲線的概念自己推導雙曲線方程（標準）2.過程與方法（1）利用定義來解出雙曲線的方程（2）利用標準方程的形式練習代定系數(shù)法3.情感態(tài)度與價值觀用類比的方法，與橢圓進行對照，來學習雙曲線。了解它們的聯(lián)系與區(qū)別。二重點難點重點：雙曲線定義和它的標準方程難點：了解方程中分母的正負可以決定焦點的位置，方程的推導過程三教學方法雙曲線的定義與橢圓的定義很像，方程長的也像學生已經(jīng)學習了橢圓，所以這節(jié)課我用了對比的方法和啟發(fā)的方法來教學。（1） 以類比思維作為教學的主線（2） 以自主探究作為學生的學習方法四教學手段采用多媒體輔助

2、教學。表現(xiàn)在用幾何畫板為工具畫雙曲線。但不是簡簡單單的畫圖而已，而是在畫圖的過程中來培養(yǎng)學生的學習積極性讓學生自己思考和總結。五、教學過程1、導入新課（1）、回顧舊知 提問：同學們前面我們學習了橢圓那么那位同學可以回答一下橢圓的定義呢？思考一：把上面的定義中的“和”變成“差”的時候點的軌跡又是什么樣子了呢。（2）、電腦演示引入新課用幾何畫板在大屏幕上畫出雙曲線要求學生認真觀看。問：這條曲線的點滿足的條件是什么呢？怎樣把它寫出來呢？孩子們大家一起思考。答: 若M和F之間的距離減去他到F的距離所得差是2a，這是就畫出了另一條曲線，這條曲線滿足的條件是下面的點的集合，如下：在大屏幕畫雙曲線時要注意的

3、有下面的幾點：（1）= 常數(shù)（2）=常數(shù)（=0）（3）時，則M的軌跡又是什么？2、推進新課（一）、雙曲線定義思考三： 1、與哪個大？ 2、M點到F、F的距離的差如何表示好呢？ 3、這個差的數(shù)值和兩個定點的距離在大小上有什么關系呢？通過以上的研究得到雙曲線定義：一般地,平面內(nèi)與兩個定點距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于F、F）的點的軌跡叫做雙曲線（hyperbola），兩個定點F、F叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距（二）、雙曲線的標準方程（1）、方程推導以兩定點的所在直線為X軸，線段的垂直平分線所在的直線為Y軸，建立直角坐標系，設雙曲線上隨意的一個點的坐標是M（x,y），=2c,同時

4、設根據(jù)，得：化簡方程，得：由雙曲線定義可知，22，即，所以0。令，其中，代入上式，得 ().結論：以上的方程的名字叫雙曲線的標準方程。它的特點是焦點在X軸上，焦點是， ，這里。（2）、知識拓展思考四：焦點在Y軸上，標準方程又怎樣嗎？焦點是、，、的意義同上，只要把軸的字母換掉這時雙曲線就變成了焦點是Y軸上的了也就是以下的方程。 ()（3）、鞏固練習例1：已知雙曲線兩個焦點的坐標為，雙曲線上一個點到的距離的差的絕對值是6，求雙曲線的標準方程。解：由于雙曲線的焦點是在X軸上的，所以設方程為 (0,0) 由題意知： 2=6,2=10, 即 =3 , =5，所以：=4則這個題的標準方程為 注：這個題在解

5、的過程中用的是雙曲線的方程，這種題在解的過程中要先看出焦點在哪，在去設出方程。變式練習:在平面內(nèi)：1、若將 改為 ，則動點的軌跡方程是什么？2、若，則動點的軌跡方程是什么？3、研究 表示什么曲線？4、那么 又表示什么曲線？例2：求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1），焦點在x軸上；（2）,經(jīng)過點（2，5）這道題是通過設出方程，然后把知道的點代入方程來解出來的。在設方程之前要看出焦點在哪里。在上述兩個例題的基礎上，讓學生獨立完成下面的練習，訓練學生思維。練習:求通過（3,），和（,5）雙曲線的標準方程.若已知雙曲線上兩點，通常設方程為(),這種設法比設雙曲線的標準方程計算更簡便，也避免了討論雙曲線的焦點4、課堂小結知識總結： （1）雙曲線的定義 （與橢圓的區(qū)別）（2）標準方程 （兩種形式）（3）焦點位置的判斷 （與橢圓的區(qū)別）（4） 、 的關系（與橢圓的區(qū)別）在這節(jié)課快要結束的時候，我讓學生自己對本節(jié)課進行了簡單的概括。原因是可以叫他們清楚這節(jié)課的主體內(nèi)容。 5、課后思考：在不變