專題09 基本立體圖形、直觀圖（知識(shí)精講）（解析版）

1、專題九 基本立體圖形、直觀圖 知識(shí)精講一 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi) 容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)基本立體圖形、直觀圖多面體的結(jié)構(gòu)特征棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征直觀圖直觀圖與立體圖形之間的關(guān)系二.學(xué)法指導(dǎo)1.有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略：(1)有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義：兩個(gè)面互相平行；其余各面是四邊形；相鄰兩個(gè)四邊形的大眾邊互相平行求解時(shí),首先看是否有兩個(gè)面平行,再看是否滿足其他特征(2)多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除2. 關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征題目的判斷方法：(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確(2)直接法棱錐棱

2、臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形,此面即為底面兩個(gè)互相平行的面,即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)3多面體展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征,發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型在解題過程中,常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側(cè)面,便可得到其表面展開圖(2)由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖,來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的,則可把上述過程逆推同一個(gè)幾何體的表面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開圖4.簡單旋轉(zhuǎn)體判斷問題的解題策略(1)準(zhǔn)確掌握圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過程及其結(jié)構(gòu)

3、特征是解決此類概念問題的關(guān)鍵(2)解題時(shí)要注意兩個(gè)明確：明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線5.旋轉(zhuǎn)體形狀的判斷方法：(1)判斷旋轉(zhuǎn)體形狀的關(guān)鍵是軸的確定,看是由平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得,同一個(gè)平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn),所得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的(2)在旋轉(zhuǎn)過程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡,應(yīng)利用空間想象能力,或親自動(dòng)手做出平面圖形的模型來分析旋轉(zhuǎn)體的形狀(3)要熟練掌握各類旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征6.簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用(1)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量(2)在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想7與圓錐有關(guān)的截

4、面問題的解決策略(1)畫出圓錐的軸截面(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關(guān)系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關(guān)系,求解便可8.畫平面圖形的直觀圖的方法技巧：(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí),選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,以便于畫點(diǎn)(2)畫平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變),與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn),然后連接成線段9.畫空間幾何體時(shí),首先按照斜二測畫法規(guī)則畫出幾何體的底面直觀圖,然后根據(jù)平行于z軸的線段在直觀圖中長度保持不變,畫出幾何體的各側(cè)面,所以畫空間多面體的步驟可簡單總結(jié)為：

5、10.直觀圖的還原方法技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x軸、y軸平行的直線或線段,且平行于x軸的線段還原時(shí)長度不變,平行于y軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍,由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn),順次連接即可11直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S,則有SS或S2S.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積三.知識(shí)點(diǎn)貫通知識(shí)點(diǎn)1 棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義一般地,有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個(gè)四邊形的大眾邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱圖示及相關(guān)概念底面：兩個(gè)互相平行的面；側(cè)面：底面以外

6、的其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的大眾邊；頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的大眾頂點(diǎn)分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱,四棱柱,2.棱柱的分類直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱例題1.(1)下列命題中,正確的是()A有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面C棱柱的側(cè)面是平行四邊形,但底面不是平行四邊形D棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形(2)如圖所示,長方體ABCDA1B1C1D1.這個(gè)長方體是棱柱嗎？如果是,是幾棱柱？為什么？用平面BCNM把這個(gè)長方體分成兩部分,各部分形成的幾何

7、體還是棱柱嗎？若是,請指出它們的底面（1）【參考答案】D【解析】由棱柱的定義可知,只有D正確,分別構(gòu)造圖形如下： 圖中平面ABCD與平面A1B1C1D1平行,但四邊形ABCD與A1B1C1D1不全等,故A錯(cuò)；圖中正六棱柱的相對側(cè)面ABB1A1與EDD1E1平行,但不是底面,B錯(cuò)；圖中直四棱柱底面ABCD是平行四邊形,C錯(cuò),故選D.(2)【解析】長方體是四棱柱因?yàn)樗袃蓚€(gè)平行的平面ABCD與平面A1B1C1D1,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的大眾邊互相平行,這符合棱柱的定義用平面BCNM把這個(gè)長方體分成兩部分,其中一部分,有兩個(gè)平行的平面BB1M與平面CC1N,其余各面都是四邊形,并

8、且每相鄰兩個(gè)四邊形的大眾邊互相平行,這符合棱柱的定義,所以是三棱柱,可用符號(hào)表示為三棱柱BB1MCC1N.同理,另一部分也是棱柱,可以用符號(hào)表示為四棱柱ABMA1DCND1.知識(shí)點(diǎn)二 棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1.棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義有一面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)大眾頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐圖示及相關(guān)概念底面：多邊形面；側(cè)面：有大眾頂點(diǎn)的各三角形面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的大眾邊；頂點(diǎn)：各側(cè)面的大眾頂點(diǎn)分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐,四棱錐,其中三棱錐又叫四面體,底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐2.棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,

9、底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)圖示及相關(guān)概念上底面：原棱錐的截面；下底面：原棱錐的底面；側(cè)面：除上下底面以外的面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的大眾邊；頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的大眾頂點(diǎn)分類由幾棱錐截得,如三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、例題2：(1)下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；棱錐的側(cè)面只能是三角形；由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐其中正確說法的序號(hào)是 (2)判斷如圖所示的幾何體是不是棱臺(tái),為什么？（1）【參考答案】【解析】正確,棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形,而不是平行四邊形；正確,由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；正確,由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

10、錯(cuò)誤,如圖所示,四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐（2）【解析】都不是棱臺(tái)因?yàn)楹投疾皇怯衫忮F所截得的,故都不是棱臺(tái),雖然是由棱錐所截得的,但截面不和底面平行,故不是棱臺(tái),只有用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分才是棱臺(tái)知識(shí)點(diǎn)三 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征1.圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體2.圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩

11、邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體3.圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間部分叫做圓臺(tái)圖示及相關(guān)概念軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體4球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球圖示及相關(guān)概念球心：半圓的圓心叫做球的球心；半徑：連接球心和球

12、面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑例題3 .(1)下列說法不正確的是()A圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形B圓錐過軸的截面是一個(gè)等腰三角形C直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面(2)給出下列命題：圓柱的母線與它的軸可以不平行；圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以組成直角三角形；在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的其中正確的是()ABCD(1)【參考答案】C【解析】由圓錐的概念知,直角三角形繞它的一條直角邊所在

13、直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐強(qiáng)調(diào)一定要繞著它的一條直角邊,即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線,因而C錯(cuò)(2)【參考答案】D【解析】由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及母線的性質(zhì)可知正確,錯(cuò)誤知識(shí)點(diǎn)四 平面圖形的直觀圖1斜二測畫法我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法2平面圖形直觀圖的畫法及要求例題4用斜二測畫法畫出圖中五邊形ABCDE的直觀圖【解析】畫法：在下圖中作AGx軸于G,作DHx軸于H.在圖中畫相應(yīng)的x軸與y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,使xOy45.在圖中的x軸上取OBOB,OGOG,OCOC,OHOH,y軸上取OEOE,分別過G和H作y軸

14、的平行線,并在相應(yīng)的平行線上取GAGA,HDHD；連接AB,AE,ED,DC,并擦去輔助線GA,HD,x軸與y軸,便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖ABCDE(如圖)知識(shí)點(diǎn)五 畫空間幾何體的直觀圖空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖相比,只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸,直觀圖中與之對應(yīng)的是z軸；(2)平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示豎直平面；(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中平行性和長度都不變(4)成圖：去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線例題5.畫正六棱柱(底面是正六邊形,側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖(底面邊長尺寸不作要求,側(cè)棱長為2

15、 cm)【解析】畫法：(1)畫軸畫x軸、y軸、z軸,使xOy45(或135),xOz90.(2)畫底面根據(jù)x軸,y軸,畫正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱過A、B、C、D、E、F各點(diǎn)分別作z軸的平行線,在這些平行線上分別截取AA、BB、CC、DD、EE、FF都等于側(cè)棱長2 cm.(4)成圖順次連接A、B、C、D、E、F,并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到正六棱柱的直觀圖五 易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)一 多面體的判斷例題6.如圖所示,觀察以下四個(gè)幾何體,其中判斷正確的是 ()A是棱臺(tái)B是圓臺(tái)C是棱錐 D不是棱柱【參考答案】C【解析】圖中的幾何體不是由棱錐截來的,且上、下底面不是相似的圖形,所以不是棱臺(tái)；圖中的幾何體上、下兩個(gè)面不平行,所以不是圓臺(tái)；圖中的幾何體是棱錐圖中的幾何體前、后兩個(gè)面平行,其他面是平行四邊形,且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的大眾邊平行,所以是棱柱故選C誤區(qū)警示多面體的判斷,要熟記它們的定義。易錯(cuò)二 多面體的展開圖例題7.某同學(xué)制作了一個(gè)對面圖案均相同的正方體禮品盒,如圖所示,則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對面是相同的圖案)()【參考答案】A