全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及詳解

1、 2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題 第一試 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分） (本題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為a,b,c,d的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi). 每小題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.)1.用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)部分.已知，是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，則 （ ） 2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購(gòu)買上述圖書30本，那么不同的購(gòu)書方案有 （ ） 種 種 種 種 3(a). 如果一個(gè)

2、正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如： 和均為“和諧數(shù)”.那么，不超過(guò)的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為 （ ） 3(b）.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn).當(dāng)為整數(shù)時(shí)， （ ） 4.已知的半徑垂直于弦,交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),若,則的面積為 （ ） 5.如圖，在四邊形中，,對(duì)角線的交點(diǎn)為，則 ( ) 6.設(shè)實(shí)數(shù)滿足 則的最大值為 ( ) 二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）(本題共有4個(gè)小題，要求直接將答案寫在橫線上.) 1.【1(a)、2（b）】 已知的頂點(diǎn)、在反比例函數(shù)（）的圖象上，,軸，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .1(b).已知的最大

3、邊上的高線和中線恰好把三等分，,則 . 2(a).在四邊形中，,平分,為對(duì)角線的交點(diǎn)，則 .3.【3(a)、4(b)】 有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號(hào)，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為原來(lái)兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3倍，這個(gè)六位數(shù)是 . 3(b).若質(zhì)數(shù)、滿足：則的最大值為 .4(a).將5個(gè)1、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個(gè)數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的最小值為,則的最大值為 . 第二試 (3月20日上午9:50 11:20) 一、（本題滿分20分）已知為正整數(shù)，求能取到的最小正整數(shù)值. 二、（本題滿

4、分25分）(a).如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，于點(diǎn),點(diǎn)在上，四邊形是正方形，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn).證明:. (b).已知： 求的值.三、（本題滿分25分）(a).已知正實(shí)數(shù)滿足： ,且 .(1) 求的值.(2) 證明:.(b).如圖，在等腰中,為邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) 求的值. 2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及詳解 第一試 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分） (本題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為a,b,c,d的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi). 每小題選對(duì)得7分；不

5、選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.)1.用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)部分.已知，是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，則 （ ） 【答案】. 【解析】 即 又 故選a. 2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購(gòu)買上述圖書30本，那么不同的購(gòu)書方案有 （ ） 種 種 種 種 【答案】c. 【解析】設(shè)購(gòu)買三種圖書的數(shù)量分別為則，即，解得 依題意得，為自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)），故有種可能的取值（分別為，對(duì)于每一個(gè)值，和都有唯一的值（自然數(shù)）相對(duì)應(yīng). 即不同的購(gòu)書方案共有11種，故選c. 3(a). 如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方

6、差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如： 和均為“和諧數(shù)”.那么，不超過(guò)的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為 （ ） 【答案】b. 【解析】 （其中為非負(fù)整數(shù)），由得， ，即得所有不超過(guò)2016的“和諧數(shù)”，它們的和為故選b.3(b）.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn).當(dāng)為整數(shù)時(shí)， （ ） 【答案】b. 【解析】依題意知 故 且，于是 又為整數(shù)， 故，故選b.4.已知的半徑垂直于弦,交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),若,則的面積為（ ） 【解析】設(shè)則于在中， 即解得，即 （第4題答案圖） 為的中位線， 是的直徑， 故選a. 5.如圖，在四邊形中，,對(duì)角線的交點(diǎn)為，則 ( ) （第5題答案圖） 【答

7、案】d. 【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)則 設(shè) 則 在中， 則 顯然，化簡(jiǎn)整理得解得（不符合題意，舍去），故在中，,故選d. 6.設(shè)實(shí)數(shù)滿足 則的最大值為 ( ) 【答案】c. 【解析】 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故，故選c. 二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）(本題共有4個(gè)小題，要求直接將答案寫在橫線上.) 1.【1(a)、2（b）】 已知的頂點(diǎn)、在反比例函數(shù)（）的圖象上，,軸，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .【答案】. 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).在中， 在中， （第1題答案圖） ,設(shè)，依題意知故，于是 解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.1(b).已知的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，,則 .【答案】. 【解析】

8、（第1題答案圖1 ） （ 第1題答案圖2） 依題意得, 故. (1)若時(shí)，如答案圖1所示， 又平分 在中，即 從而.在中， 在中，. (2)若時(shí)，如答案圖2所示.同理可得.綜上所述，. 2(a).在四邊形中，,平分,為對(duì)角線的交點(diǎn)，則 . 【答案】. 【解析】設(shè), 平分, (第2題答案圖), 解得，,故.3.【3(a)、4(b)】 有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號(hào)，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為原來(lái)兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3倍，這個(gè)六位數(shù)是 .【答案】.【解析】設(shè)兩個(gè)三位數(shù)分別為，則，故是的正整數(shù)倍，不妨設(shè)（為正整數(shù)），代入得是三位數(shù)，解得為正整數(shù)，的可能取值為驗(yàn)證可知，只有符合，此時(shí) 故所求的六

9、位數(shù)為. 3(b).若質(zhì)數(shù)、滿足：則的最大值為 .【答案】. 【解析】由得，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，故的值隨著質(zhì)數(shù)的增大而增大，當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值. 又，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，故的可能取值為，但時(shí)，不是質(zhì)數(shù)，舍去.當(dāng)時(shí),恰為質(zhì)數(shù).故. 4(a).將5個(gè)1、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個(gè)數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的最小值為,則的最大值為 .【答案】 【解析】(依據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論,確定的最大值.(1)若5個(gè)1分布在同一列，則；(2)若5個(gè)1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3

10、，故,故;(3) 若5個(gè)1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故,故; (4) 若5個(gè)1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3，這與已知矛盾. 綜上所述， 另一方面，如下表的例子說(shuō)明可以取到10.故的最大值為1114511245222453324533345 第二試 (3月20日上午9:50 11:20) 一、（本題滿分20分）已知為正整數(shù)，求能取到的最小正整數(shù)值.【解析】解：因?yàn)檎麛?shù)，要使得的值為正整數(shù)，則有.當(dāng)時(shí)，只能為1，此時(shí)故能取到的最小正整數(shù)值不超過(guò)4.當(dāng)時(shí)，只能為1或2.若;若，則.當(dāng)時(shí)，只能為1或2或3.若;若;若則.(下面考慮：的值能否為1？)（反

11、證法）假設(shè)，則，即， 因?yàn)檎麛?shù)，故為奇數(shù)，從而為奇數(shù)，為偶數(shù)，不妨設(shè)，其中均為正整數(shù)，則 即被除所得余數(shù)為3，而被4除所得余數(shù)為1，故式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整數(shù)值為2. 二、（本題滿分25分）(a).如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，于點(diǎn),點(diǎn)在上，四邊形是正方形，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn).證明:. (第2(a)題答案圖)【證明】：連接、為的直徑，于點(diǎn)由四邊形是正方形及于點(diǎn)可知:點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心、為半徑作與直線交于另一點(diǎn),則與切于點(diǎn),即是的切線，直線是的割線，故由切割線定理得,即點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，. (注：上述最后一段得證明用了“同一法”)(b).已知： 求的值.【解析】由已知得 由恒等式得， 又 同理可得 原式=【注：恒等式】三、（本題滿分25分）(a).已知正實(shí)數(shù)滿足： ,且 .(3) 求的值.(4) 證明:.【解析】（1）解：由等式，去分母得， ， ，原式= （2）證明：由（1）得計(jì)算過(guò)程知，又為正實(shí)數(shù),.【注：】(b).如圖，在等腰中,為邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)