圓與方程知識點總結(jié)典型例題.doc

1、優(yōu)質(zhì)參考文檔優(yōu)質(zhì)參考文檔圓與方程1.圓的標準方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是(x a)2 (y b)2/特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是：x2 yr2.2.點與圓的位置關(guān)系:(1).設(shè)點到圓心的距離為d，圓半徑為r:a.點在圓內(nèi) 一d v r； b.點在圓上 一d=r ； c.點在圓外 一d r(2).給定點 M(x,y)及圓 C :(x -a)2 (y -b)r2 M 在圓 C 內(nèi)二(x_a)2 (y_b)2 :r2 M 在圓 C 上：=(x -a)2 (y。)22 M 在圓 C 外二(x)2 (y。-b)2 r2(3)涉及最值：圓外一點B，圓上一動點P討論P

2、B的最值PBminBN=BCPBmaxBM=BC-rr圓內(nèi)一點A，圓上一動點AN 告 r ACDAmin zPAma/QAMjr + AC思考：過此.3.圓的一般方程:討論PA的最值點作最短的弦？(此弦垂直AC)2 2x y Dx Ey F = 0.(1)當 D2 E2-4F0時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑當D2 E+O時，方程表示一個點號送(3)當D2 E2-4F 0時，方程不表示任何圖形.注：方程Ax2 - Bxy Cy2 Dx Ey 0表示圓的充要條件是：B =0且A =C =0且D2 E2 TAF 0.4. 直線與圓的位置關(guān)系:直線 Ax By C = 0 與圓(x -a)2 (y

3、 -b)2 = r2圓心到直線的距離dAa Bb Cv A2B21 d直線與圓相離二無交點；2d二r=直線與圓相切=只有一個交點；3 d ：r=直線與圓相交有兩個交點；弦長|AB| = 2r2 -d2Ax + By + C = 0 還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組丿22求解,x + y 十 Dx + Ey + F = 0通過解的個數(shù)來判斷：1 當厶P時，直線與圓有2個交點，直線與圓相交；2當厶=0時，直線與圓只有1個交點，直線與圓相切；3 當時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離；5. 兩圓的位置關(guān)系1設(shè)兩圓 C! :X - aj2 y 一 =十與圓 C2 :X - a2 2 y - b2=

4、叮，圓心距 d-a22d -b22 d r1 外離=4條公切線； d二幾 D二 外切二3條公切線； 匚-r2| ；： d : r亠r2 =相交:二2條公切線； d =1 -2 =內(nèi)切二1條公切線；外離外切相交內(nèi)切(2) 兩圓公共弦所在直線方程2 2圓 C1 : x y DiX Eiy Fl =0 ,圓 C2: x y D2x E2y F2 = 0，那么Di D2 x 巳E2 y F1-F2 =0為兩相交圓公共弦方程 補充說明： 假設(shè)G與C2相切，那么表示其中一條公切線方程； 假設(shè)G與C2相離，那么表示連心線的中垂線方程(3) 圓系問題2 2 2 2過兩圓 C1 : x yDix Eiy F0

5、和 C?: x y - D?x E?廠 F0交點的圓系方程為 xyQxE,yF|-：xyD2xE2yF2=0 (，-1)補充： 上述圓系不包括C2 ； 2)當 - -1時，表示過兩圓交點的直線方程(公共弦) 過直線Ax By C =0與圓x2 y2 Dx Ey F = 0交點的圓系方程為x2 y2 Dx Ey F ： * Ax By C = 06. 過一點作圓的切線的方程：(1)過圓外一點的切線： k不存在，驗證是否成立 k存在，設(shè)點斜式方程，用圓心到該直線距離 =半徑，即yi -y0=k(xi-x0)_b-yi -k(a-xi)|求解k，得到切線方程【一定兩解】例i.經(jīng)過點P(i， 2)點作

6、圓(G+i)2+(P 2)2=4的切線，那么切線方程為。過圓上一點的切線 方程：圓(G a)2+(P b)2=r2，圓上一點為(G。，P。)，那么過此點的切線方程為(G0 a)(G a)+(P。b)(P b)=r2 特別地，過圓x2 y2=r2上一點P(X0,y)的切線方程為xx yy=r2.例2.經(jīng)過點P( 4， 8)點作圓(G+7)d= , (xo -a)2 + (yo -b)2 -r2 .9. 圓心的三個重要幾何性質(zhì)： 圓心在過切點且與切線垂直的直線上； 圓心在某一條弦的中垂線上； 兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。10. 兩個圓相交的公共弦長及公共弦所在的直線方程的求法例.圓C

7、1: G2+P2 2G=0和圓C2： G2+ P2+4 P=0，試判斷圓和位置關(guān)系， 假設(shè)相交，那么設(shè)其交點為A、B，試求出它們的公共弦AB的方程及公共弦長。一、求圓的方程例1(06重慶卷文)以點(2,-1)為圓心且與直線3x-4y，5=0相切的圓的方程為() 2 2 2(A)(x-2) (y 1) =3(B)(x 2) (y-1) =3(C)(x -2)2 (y 1)2 =9(D) (x 2)2 (y -1)2 =9二、位置關(guān)系問題例2(06安徽卷文)直線x y =1與圓x2 y2 -2ay = 0 (a 0)沒有公共點，那么a的取值范圍是()(A) (0, .2 T)(B)(、2 -12

8、1)(C)(-、2 -1, 21)(D) (0,、21)三、切線問題例3(06重慶卷理)過坐標原點且與圓x2 y4x 2y - = 0相切的直線方2程為()+(P+8)2=9的切線，那么切線方程為。7 切點弦(1)過O C： (xa)2 ( y-b)2二r2外一點P(Xo,y)作O C的兩條切線，切點分別為A、B，那么切點弦AB所在直線方程為：(X。-a)(x-a) (y-b)(y-b) = r28. 切線長：假設(shè)圓的方程為(G-a)2(P-b)2=r2，那么過圓外一點P(Go,Po)的切線長為(A) y 二-3x 或 y(C) y = -3x 或 y1 、x(B) y = 3x 或 y =-

9、31 、x (D) y = 3x 或 y =3四、弦長問題例406天津卷理設(shè)直線ax - y 3 = 0與圓x12 y22 = 4相交于 A、B兩點，且弦AB的長為2 3，那么a二 .五、夾角問題例506全國卷一文從圓x2 -2x y2 -2y T二0外一點P3,2向這個圓作 兩條切線，那么兩切線夾角的余弦值為1 3. 3Ah； B匸CD02 52六、圓心角問題例606全國卷二過點1. 2的直線I將圓x-22 y 4分成兩段弧，當 劣弧所對的圓心角最小時，直線I的斜率k二 .七、最值問題例706湖南卷文圓x2 y2 -4x -4y -10二0上的點到直線x y - 14 = 0的 最大距離與最

10、小距離的差是A30B18C 6 . 2D 5.2八、綜合問題例806湖南卷理假設(shè)圓x2 y2 - 4x -4y - 10二0上至少有三個不同的點到 直線丨：ax +by = 0的距離為22，那么直線I的斜率k取值范圍圓的方程1. 方程 G2+ P2- 2 (t+3 ) G+2 (1 4t2) P+16t4+9=0 (t R)表示圓方程, 那么t的取值范圍是111A. 1tB. 1t C. t1 D.1 t0 )表示的曲線關(guān)于G+ P=0成軸對稱圖形，那么A.D+ E=0B.B. D+ F=0C. E+ F=0D. D+E+ F=04. 20PP年全國U, 8在坐標平面內(nèi)，與點A 1，2距離為1

11、,且與點B 3，1距離為2的直線共有條條條條5. 20PP年黃岡市調(diào)研題圓G2+P2+G 6P+3=0上兩點P、Q關(guān)于直線 kG P+4=0 對稱，那么 k=.6. 20PP年全國卷川，16 設(shè)P為圓G2+ P2=1上的動點，那么點P到直線3G 4P 10=0的距離的最小值為 .7實數(shù)G、P滿足方程G2+P2 4G+仁0.求1-的最大值和最小值；x2 P G的最小值；3G2+P2的最大值和最小值.經(jīng)過兩圓的交點的圓系例1.求經(jīng)過兩圓：x2y2-4x-6=0和x2y2-4y-6 = 0的交點且圓心的 橫坐標為3的圓的方程。例2 .設(shè)圓方程為：4x2 4y22：；4x12： 40y-48 -164 =0 其中 1. = 4求證：不管為何值，所給圓必經(jīng)過兩個定點。直線與圓的位置關(guān)系例1 :求由以下條件所決定圓x2 y2 =4的圓的切線方程； 經(jīng)過點PC，3,1，經(jīng)過點Q3,0，3斜率為- 1直線和圓1. 自點3， 3發(fā)出的光線L射到G軸上，被G軸反射，其反射線所在直 線與圓x2 y2 -4x -4y 7 =0相切，求光線L所在直