數(shù)值微積分---chap正交多項式定理證明

1、_ ( ),( , ) n nxna b 次正交多項式有 個互異的實根 并且全部在區(qū)間定理內(nèi). 證明: _ (1),( )( , )n nxa b n 對于固定的若在不變號 不妨設(shè)其恒為大于零,則 _ ( )( ) b n a xx dx _ 0 ( )( )( ) b n a xxx dx 0與正交多項式矛盾 _ 11 ( , ),( )0 n xa bx因此至少存在一個數(shù)使 _ 1 ( ) n xx假設(shè) 是的重根 _ 2 1 ( ) 2 () n x n xx ,則是次多項式,由正交多項式有 _ _ 2 1 ( ) ( )( )0 () b n n a x xxdx xx _ _ 2 1

2、( ) ( )( ) () b n n a x xxdx xx 但 _ 2 2 1 ( ) ( ) () b n a x xdx xx =0 1 x 為單根 _ 12 ( )( , )(),., nl xa blln x xx假設(shè)在中只有 個根 12 ( )( l x xxxxxx 222 =) 12 ( l xxxxxxn由于)有次數(shù)低于 次 _ 12 ( )( )( nl xx xxxxxx b a 則由正交性)=0 222 12 ( )( , ) ( ) ( )() ()()0 b l a xa b xx xxxxxx 由在上不變號 _ ,)( , ) n a bn由此矛盾 因此可知(x

3、 在上確有 個互異實根. 證畢 _ 12 ( )( nl x xxxxxx則) _ 10 _ 11 ( ) 0,( ) 1, ( ) ()( )( ),1,2,. kkkkk xx xxxx k 若取則正交多項式系有如下遞推關(guān)系理 定 證明: _ 100 ,)( )() 10 b a x xdx 則有 ( 0 ( )( )0 bb aa x xdxxdx 00 0 00 (,) (,) x _ _ 11 , , kkkk kk kkkk x 其中 , _ 010 ( )1( )xxx設(shè)與正交 00 ( )( )( ) bbb aaa x xdxxdxx dx 因此 _ 1 , (,) kk 一

4、般地 _ 1 (),) kkkkk x _ 1 (),)(,) kkkkkk x 0 _ 1 (,)0 kk 由此函數(shù)系的正交性: _ (),)0 kkk x因此 _ (,)(,) kkkkk x ,即 _ _ (,) (,) kk k kk x _ 11 (,)0 kk 又因為 _ 11 (),)0 kkkkk x 有 _ 111 (),)(,)0 kkkkkk x _ 1 (,)0 kk 而 _ 1111 (,)(,)(,)0 kkkkkkkk x _ 1 _ 11 (,) (,) kk k kk x _ _ 11 , , kk k kk 要證 _ 11 (,)(,) kkkk xx 注意

5、到 _ 1 , k xk 由于為 次多項式 展開后為 _ 1110110 ( )( )( )( )( ) kkkk xxxcxcxcx _ 1 (,)(,) kkkk x 由正交性 _ _ 11 (,) (,) kk kk k 因此可得 證畢 111 11 2 11 ( ) ( )()( )( ),0,1,. , , , k jj kkk k kkkk k kkkk k k kkkk x xxxx k x 對于最高項系數(shù)為的正交多項式系有如下遞推關(guān)系 其中 推論 ( )( )( )0,() b ij a x P x P x dxij ( ) ( )( )0,1 b n a x P x Px d

6、xn 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 1,21, . (0,1,2,.) k nn Gauss x kGauss 具有個節(jié)點的數(shù)值積分公式 如果其代數(shù)精度達到 則稱此類積分公式為型求積公式 相應(yīng)的求積公式節(jié)點稱為點 0 01 1 ( )() : ( , )( )(1 . ) 12 n kk k kn n Q fA f x xaxxxbGauss a bxxn 數(shù)值積分公式 的節(jié)點是點的充分必要條件是 它們是區(qū)間上以為權(quán)的正交多項式的 定理4 個根 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Ga

7、uss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 證明: 必要性 01 ,., n x xxGauss設(shè)為點 01 ( )( -)( -)( -) nn xx xx xx x記 21, ( ), Gaussnn p x 由于型求積公式具有次代數(shù)精度 因此對于不超過 次 的多項式有 ( )( ) ( ) n xx p x dx b a 0 () ()() n jjjnj j Axp xx 0 ( )( )( )p xxxn n 由的任意性可知,按權(quán)函數(shù)與任何不超過 次的多項式 正交 01 ( ),( ),.,( ) n xxx,即正交 1( ) ( ) nnn xx 令 011 ,.,( )(

8、 ) nn x xxxx 則 是以為權(quán)的正交多項式的根 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 充分性 ( ),0,1,.,( , )( ) k x kna bx設(shè)是上以為權(quán)的正交多項式 101 ( )1,., nn xnx xx 取的個根為求積公式的節(jié)點 101 ( )( -)( -)( -) nnn xx xx xx x 則 1 21( ), ( )( )( )( ) n nq x q xp xxr x 對任意不超過次多項式有 ( )( )p xr x其中,和均為不超過n次的多項式 1( )n x 由的正交性 (

9、) ( ) b a x q x dx 1 ( ) ( )( )( ) ( ) bb n aa x p xx dxx r x dx ( ) ( ) b a x r x dx 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 1nn由于具有個節(jié)點的插值型求積公式具有至少 次代數(shù)精度, ()(),0,1,2,., jj q xr xjn 而且 0 ( ) ( )() n b jj a j x r x dxA r x 因此 0 () n jj j A q x 21,0,1,2,., j nxjnGauss因此,求積公式具有次代數(shù)精度 即

10、是點 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 由定理4.12可知,如果采用正交多項式的根作為求積公式的節(jié)點, 則可以保證公式具有最高代數(shù)精度 , kk xA確定了 之后由以下公式計算系數(shù) ( ) ( ) b jj a Ax l x dx ( ) ( ) ()() b a jj x xdx xxx 1 ( ) ( ) 0,1,., ()( ) b a jn x xdxjn xxx 由正交多項式的零點均為單重 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式

11、 Gauss型求積公式的誤差 Peano 由廣義定理知21n,由于公式具有次代數(shù)精度,因此取 _ 2 10011 ( ),., ( ) nnn R xf x x x xx x xx ,( ( )0Q R x顯然 ( )( ( )E fE R x ( ) ( )I R xQ R x ( )I R x _ 2 10011 ( ) ,., ( ) b nnn a x f x x x xx x xxdx _ 2 10011 ,., ( )( ) b nnn a f x x x xx xxxdx (22) _ 2 1 ( ) ( )( ), (21)! n b n a f xxdx ab n 1 2 1

12、 1( ),.xf x dx 對對于于積積分分 （）試試構(gòu)構(gòu)造造兩兩點點高高斯斯求求積積公公式式例例 2 1 11xx 首首先先在在， 上上構(gòu)構(gòu)造造帶帶權(quán)權(quán)（ ）的的解解：正正交交多多項項式式 012 0 110 ( ),( ),( ). ( )1 ( )()( ) xxx x xxxx 0 )1( )1( )(),( )(),( 1 1 2 1 1 2 00 00 1 dxx xdxx xx xxx 5 2 )( 2 2 xx 同同理理求求出出 201 22 (), 55 xxx 的的 零零 點點 為為 數(shù)值分析 201 22 ( ), 55 xxx 以以的的零零點點作作為為高高斯斯點點。

13、其其成成為為等等式式。依依次次代代入入上上式式兩兩端端，令令將將 形形如如次次代代數(shù)數(shù)精精度度，求求積積公公式式應(yīng)應(yīng)有有兩兩點點高高斯斯公公式式 xxf xfAxfAdxxfx n , 1)( )()()()1( 3, 1 1 1 1100 2 ) 5 2 () 5 2 ()1( )1( 10 1 1 2 10 1 1 2 AAxdxx AAdxx 3 4 10 AA聯(lián)聯(lián)立立解解出出 ) 5 2 () 5 2 ( 3 4 )()1( 1 1 2 ffdxxfx 為為得得到到兩兩點點高高斯斯求求積積公公式式 數(shù)值分析 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公

14、式與正交多項式型求積公式與正交多項式 Gauss常用的正交多項式和相應(yīng)的型求積公式 (),-LegendreGauss Legendre(1)勒讓德 多項式型求積公式 (-1,1)( )1x Legendre 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項式稱為 多項式 2 0 : 1 ( )1( )(-1) ,1,2,. 2! n n n nn d P xP xxn n dx 它的表達式為 _ 2 0 (2 )! ( ): 2! ! ( )1( )(-1) ,1,2,. (2 )! n n n n n n n P x n nd PxPxxn ndx _ 的首項系數(shù)為,因此得到首項系數(shù)為1的Legendre多項

15、式 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 0, ,) 2 , 21 mn mn P P mn n 可以驗證它的正交性 ( 01 11 ( )1,( ) 21 ( )( )( ) 11 nnn P xP xx nn PxxP xPx nn 得到遞推關(guān)系式 1( )n LegendrePxGauss 取多項式的零點作為點,得到求積公式的系數(shù) 1 1 22 1 11 ( )2 ()( )(1)() n j jnjnj px Adx xxpxxpx 23 (22) 2 2(1)!)4 ( )( ), 11 (22)! (23

16、) n n n E ff nn 1 1 0 ( )() n kk k f x dxA f x 1 1 0,( )2 (0)nf x dxf 1 1 1 ( )( 0.5773502692)(0.5773502692) n f x dxff 1 1 2 ( )0.555555556 ( 0.7745966692) 0.888888889 (0)0.555555556 (0.7745966692) n f x dxf ff 數(shù)值分析 1 1 : 1.5xdx 運運用用三三點點高高斯斯- -勒勒讓讓德德求求積積公公式式與與辛辛普普森森求求積積 公公式式計計算算積積分分 例例 1 1 1.5 0.55

17、5556( 0.7254032.274596)0.888889 1.5 2.39970 : 9 xdx 由由三三點點高高斯斯- -勒勒讓讓德德求求積積公公式式有有解解 1 1 1 1.5( 0.54 1.52.5)2.395742 3 xdx 由由三三點點辛辛卜卜生生求求積積公公式式有有 1 1 1.52.399529xdx 該該積積分分的的準準確確值值 數(shù)值分析 一般區(qū)間的一般區(qū)間的Gauss - Gauss - Legendre Legendre 求積公式求積公式 如果積分區(qū)間是如果積分區(qū)間是a,b，用線性變換，用線性變換 1 1 ( )() 222 b a babaab f x dxft

18、dt 這樣就可以用Gauss - Legendre求積公式計算一般區(qū)間 的積分. 將積分區(qū)間從a,b變成-1,1,由定積分的換元積 分法有 22 baab xt 數(shù)值分 析 1 1 ( )( 0.577)(0.577)GaussLegendreF t dtFF 由由兩兩點點求求積積公公式式 1 0 0101 1 0011 0 ( )1 , ( )()() f x dxnGaussLegendre GaussxxA A f x dxA f xA f x Gauss 對對積積分分， 試試利利用用的的兩兩點點 求求積積公公式式構(gòu)構(gòu)造造型型求求積積公公式式。 例例 即即確確定定和和 使使 為為型型求求

19、積積公公式式。 111 011 1111 ()()(1), 2222 111 ( )( (1)( ) 222 xabba ttdxdt f x dxft dtF t dt 先先作作變變量量代代換換 于于是是 解解： 11 01 111111 ( )( (1)( (1 0.577)( (1 0.577) 222222 f x dxft dtff 得得 數(shù)值分析 1 1 1 0123 0123 1 ( ) ( )( )( )( )( ) F t dtGaussLegendre F t dtA F tA F tA F tA F t 對對積積分分用用四四點點求求積積公公式式 1 0 0123 0123

20、 1 00112233 0 ( )3 , , ( )()()()() f x dxnGaussLegendre Gaussxxxx A A A A f x dxA f xA f xA f xA f x Gauss 對對積積分分， 試試利利用用的的四四點點 求求積積公公式式構(gòu)構(gòu)造造型型求求積積公公式式。即即確確定定和和 使使 為為型型求求 例例 積積公公式式。 111 011 1111 ()()(1), 2222 111 ( )( (1)( ) 222 xabba ttdxdt f x dxft dtF t dt 先作變量代換先作變量代換 于是于是 解：解： 數(shù)值分析 ,(0,1,2,3)i i

21、 tAi 可查表得到 和可查表得到 和 原積分原積分 11 01 0123 0123 012 012 3 3 1 ( )( ) 2 1 ( )( )( )( ) 2 1111 ( (1)( (1)( (1) 2222 1 ( (1) 2 11 (1)0,1,2,3 22 i iii f x dxF t dt A F tA F tA F tA F t A ftA ftA ft A ft xtAAi 即有即有 數(shù)值分析 1 0 ( )0.173927 (0.069432) 0.326073 (0.330009) 0.326073 (0.669991) 0.173927 (0.930518) f x

22、 dxf f f f 于于是是 0123 0.8611360.3399810.3399810.861136 0.3478550.6521450.6521450.347855 0.0694320.3300090.6699910.930568 0.1739270.3260730.3260730.173927 i i i i i t A x A 列表如下：列表如下： 11 (1)0,1,2,3 22 i iii xtAAi 數(shù)值分析 例例:分別用不同方法計算如下積分分別用不同方法計算如下積分,并做比較并做比較 各種做法比較如下：各種做法比較如下： 1、用、用Newton-Cotes公式公式 當(dāng)當(dāng)n=

23、1時，即用梯形公式，時，即用梯形公式，I0.9270354 當(dāng)當(dāng)n=2時時, 即用即用Simpson公式公式, I 0.9461359 當(dāng)當(dāng)n=3時時, I 0.9461090 當(dāng)當(dāng)n=4時時, I 0.9460830 當(dāng)當(dāng)n=5時時, I 0.9460830 1 0 sinx Idx x I準=0.9460831 數(shù)值分析 1 0 sin (0)2( )(7 )(1) 2 0.94569086 xh dxff hfhf x 2:用復(fù)化梯形公式用復(fù)化梯形公式 令令h=1/8=0.125 3：用復(fù)化辛卜生公式：用復(fù)化辛卜生公式 令令h=1/8=0.125 1 0 sin (0) 4( )(7 )

24、2(2 )(6 )(1) 3 0.9460833 x dx x h ff hfhfhfhf I準=0.9460831 數(shù)值分析 4、用用Romberg公式公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 I準=0.9460831 數(shù)值分析 1 sin(0.77459071) 2 0.5555556 0.77459071 I 5、用、用Gauss公式公式 解：解：令令x=(t+1)/2, 94604

25、11.0 15773503.0 )15773503.0( 2 1 sin 15773503.0 )15773503.0( 2 1 sin I 1 sin 2 0.8888889 01 1 sin(0.77459071) 2 0.55555560.9460831 0.77459071 1 1 sin(1)/ 2 1 t Idt t I準=0.9460831 （2）用3個節(jié)點的Gauss公式 （1）用2個節(jié)點的Gauss公式 數(shù)值分 析 算法比較算法比較 此例題的精確值為此例題的精確值為0.9460831. 由例題的各種算法可知：由例題的各種算法可知： 對對Newton-cotes公式，當(dāng)公式，當(dāng)

26、n=1時只有時只有1位有效數(shù)位有效數(shù) 字，當(dāng)字，當(dāng)n=2時有時有3位有效數(shù)字，當(dāng)位有效數(shù)字，當(dāng)n=5時有時有7位有位有 效數(shù)字。效數(shù)字。 對復(fù)化梯形公式有對復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對復(fù)化辛卜位有效數(shù)字，對復(fù)化辛卜 生公式有生公式有6位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 用復(fù)合梯形公式，對積分區(qū)間用復(fù)合梯形公式，對積分區(qū)間0，1二分了二分了11 次用次用2049個個函數(shù)值，才可得到函數(shù)值，才可得到7位準確數(shù)字。位準確數(shù)字。 用用Romberg公式對區(qū)間二分公式對區(qū)間二分3次，用了次，用了9個個函數(shù)函數(shù) 值，得到同樣的結(jié)果。值，得到同樣的結(jié)果。 用用Gauss公式僅用了公式僅用了3個個函數(shù)值，就得到結(jié)果。

27、函數(shù)值，就得到結(jié)果。 數(shù)值分析 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 (),-LaguerreGauss Laguerre(2)拉蓋爾 多項式型求積公式 (0,)( ) x xe Laguerre 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項式稱為 多項式 0 : ( )1( )(),1,2,. n xxn n n d L xL xee xn dx 它的表達式為 2 0, ,) ( !) , mn mn LL nmn 具有正交性 ( 01 2 11 ( )1,( )1 ( )(21)( )( ) nnn L xL xx Lxnx L

28、 xx Lx 遞推關(guān)系式 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 1( ) , - n LaguerrexGauss Gauss Laguerre 取多項式L的零點作為點 則 求積公式 2 1 (1)! ,0,1,2,., () j jnj n Ajn x Lx 2 (22) (1)! ( )( ),(0,) 2(1)! n n E ff n 0 0 ( )() n x jj j e f x dxA f x 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項

29、式 (),-ChebyshevGauss Chebyshev(3)切比雪夫 多項式求積公式 2 1 ( 1,1)( ) 1- x x Chebyshe 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項式稱為 多項式 0 : ( )1( )cos( arccos ), 1,1,1,2,. n T xT xnx xn 它的表達式為 0, ,), 0 /2, 0 mn mn T Tmn mn 具有正交性 ( 01 11 ( )1,( ) ( )2( )( ) nnn T xT xx TxxT xTx 遞推關(guān)系式 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交

30、多項式 1( ) (21) cos,0,1,., 22 ,- n Chebyshex j jn n GaussGauss Chebyshe j 取n+1次多項式T的零點 x 作為點 則求積公式 ,0,1,2,., 1 j Ajn n (22) 21 ( )( ),( 1,1) (22)!2 n n E ff n 1 21 0 ( ) () 1 1 n j j f x dxf x n x 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項式型求積公式與正交多項式 (1) (2), j Gauss A nn 型求積公式特點 系數(shù) 總是正數(shù) 當(dāng)時 隨著 的增大

31、公式的誤差迅速減少 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 ( )f x設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間a,b上,且在此區(qū)間上可微,則有 ( )fx 0 ()( ) lim h f xhf x h , a b對 ( )f xx因此,可以使用以下公式,當(dāng)h足夠小,計算在 處的導(dǎo)數(shù)近似值 ()( ) ( ) f xhf x fx h 但是當(dāng)h足夠小時,計算的結(jié)果將是不準確的 4.12例的結(jié)果 因此,構(gòu)造數(shù)值微分公式的比較普遍的方法是用一個易于計算 其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)近似替代問題中的函數(shù)f(x). 插值多項式是一個比較合適的選擇 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微

32、分 01 ,., , 1 m x xxa bm 設(shè)是上的個點( ) m px,記為相應(yīng)的插值多項式 01 ( )( ),., ( ) mm f xpxf x xxxx則 ( ) ( ) k fx 對其求k階導(dǎo)數(shù) ( ) ( ) k m px ( ) 01 ,., ( ) k m f x xxxx 若采用Lagrange插值多項式 _ ( )f xxk,則可知在處的 階導(dǎo)數(shù)的近似 計算式為 _ ( )( ) 0 ( )( ) ( ) n kk ii i fxlx f x _ ( ) 01 ( ),., ( ) k m k xx d E ff x xxxx dx 誤差為 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值

33、微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 ( ) 0101 1 ,., =k! ,., , ,., , k mm k k d f x xxxf x xxx xx x dx 個 定理: 證明: 當(dāng)k=1時 01 ,., m d f x xxx dx 0101 0 ,.,., lim mm x f x xxxxf x xxx x 01 0 lim,., , m x f x xxx xx 01 ,., , m f x xxx x 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 2k 當(dāng)時 (2) 01 2 ,., m d f x xxx dx 01 ,., , m d f x x

34、xx x dx 0101 0 ,.,., , lim mm x f x xxxx xxf x xxx x x 0101 0 0101 ,.,., , lim ,., ,., , mm x mm f x xxxx xxf x xxx xx x f x xxx xxf x xxx x x 01 0 lim ,., , m x f x xxx xx xx 01 ,., , , m f x xxx x xx 01 2 ,., , , m f x xxx x x 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 因此,當(dāng)m=1時 ,得到使用2點構(gòu)造的數(shù)值導(dǎo)數(shù)公式Newton由插值公式

35、00100101 ( )(),(), ()()f xf xf x xxxf x x x xxxx 01 ( ),fxf x x 得到 0101 , (2)f x x xxxx 0101 , ()()f x x x xxxx 0101010101 , , ()(), (2)f x xf x x x x xxxxf x x xxxx 0 00101000101001 (), , ()(), (2) xx fxf x xf x x x x xxxxf x x xxxx 將代入 0101001 , (2)f x xf x x xxxx 10 01 10 ( )()1 ( )() 2 f xf x fx

36、x xx 1 xx將代入得 10 110 10 ( )()1 ( )( )() 2 f xf x fxfxx xx 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 當(dāng)m=2時,得到使用3點構(gòu)造的數(shù)值導(dǎo)數(shù)公式Newton由插值公式 001001201 012 012 ( )(),(),()() + , ( ) ( )()()() f xf xf x xxxf x x xxxxx f x x x xx xxxxxxx 其中 01 ( ),fxf x x 01201 ,(2)f x x xxxx 012 + , , ( )f x x x x xx 012 + , ( )f x x

37、 x xx 1021 -,xxxxh設(shè)有 10 01 ( )() , f xf x f x x h 012 012 2 ()2 ( )() , 2 f xf xf x f x x x h 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 0 xx將代入 001 (),fxf x x 012001 ,(2)f x x xxxx 0120 + , , ()f x x x x xx 0120 + , ()f x x x xx 10 1 ( ( )()f xf x h 012 2 1 ()2 ( )() 2 f xf xf xh h 2 012 , (2)f x x x xh 012

38、 1 3 ()4 ( )() 2 f xf xf x h 2 ( ) 3 h f 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 1 xx將代入 101 ( ),fxf x x 012101 ,(2)f x x xxxx 0121 + , , ( )f x x x x xx 0121 + , ( )f x x x xx 10 1 ( ( )()f xf x h 012 2 1 ()2 ( )() 2 f xf xf xh h 2 012 , ()f x x x xh 02 1 ()() 2 f xf x h 2 ( ) 6 h f 2 xx將代入 2 2012 1( ) (

39、)()4 ( )3 () 23 h f fxf xf xf x h 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 012012 012012 ( )2 , , , ( ) +2 , , ( ), ( ) fxf x x xf x x x x x xx f x x x x xxf x x x xx 012 xxx x將, , 分別代入有 2 (4) 001212 2 2 (4) 1012 2 2 (4) 201212 2 1 ()()2 ( )()( )() 6 1 ( )()2 ( )()( ) 12 1 ()()2 ( )()( )() 6 h fxf xf xf xh

40、ff h h fxf xf xf xf h h fxf xf xf xhff h 012 2 1 ( )()2 ( )() ,0,1,2 i fxf xf xf xi h 忽略誤差項,有 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 1 2 1 ( )()() 2 1 ( )()2 ( )() x fxf xhf xh h fxf xhf xf xh h 對中點 有 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 誤差討論 _ ( )( )( ), ( ) iii ii f xf xf x f x 由于在計算時,只能得到近似值 是計算的舍入誤差或測量誤

41、差 ()-( ) ( ) f xhf x fx h 因此,在導(dǎo)數(shù)公式中,如(4-60) 1 ()-( ) ii f xf x h _ 11 ()-( ( ) iiii f xf x h _ 11 ()-( ) iiii f xf x hh _ 11 ()-( )1 ( )( ) 2 iiii i f xf x fxf hh 由(4-62)有 2 _ 12 max( ) ,max, ()-( )2 ( ) 2 i ii i Mfx f xf xM fxh hh 令有 誤差包括:公式誤差和舍入誤差 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 另一種提高計算精度的方法稱為外推

42、法 4.13, , , ( )( - )( )() A B C fxAf x hBf xCf xh 例 求以下形式的數(shù)值導(dǎo)數(shù)公式的系數(shù)并求誤差 ( - ),(),f x hf xhxTaylorA C解:將在 外按公式展開 并分別乘系數(shù) 234 (4) ( - )( )( )( )( )( ). 264! hhh Af x hAf xAhfxAfxAfxAfx ( )( )Bf xBf x 234 (4) ()( )( )( )( )( ). 264! hhh Cf xhCf xChfxCfxCfxCfx 三式相加,有 234 (4) ( )( - )( )() () ( )()( ) ()(

43、 )()( )()( ). 264! fxAf x hBf xCf xh ABC f xAC hfx hhh ACfxACfxACfx 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 2 0 -0 2 ABC AC AC h 因此,令 2 2 2 1 2 1 A h B h C h 解得 24 (4)(6) 2 1 ( )()2 ( )()( )( ). 12360 hh fxf xhf xf xhfxfx h 24 (4)(6) 2 122 ()2 ( )()( )( )( ). 126! hh f xhf xf xhfxfxfx h 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4

44、.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 2 1 ( )()2 ( )() h D xf xhf xf xh h 記 24 (4)(6) ( )( )( )( ). 12360 h hh fxDffxfx 則其誤差為 24 (4)(6) 2 2 2 ( )( )( )( ). 4 124360 h h hh fxDffxfx 若再取為步長進行計算,有 4 (6) 2 2 1 ( )(4( )( )( ). 34360 hh h fxDfDffx 由以上兩式得到 _ /2 4( )( ) ( ),( ) 3 hh DfDf D ffx 記則可得到更精確的結(jié)果 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.

45、5 數(shù)值微分數(shù)值微分 由計算精度較低的公式通過適當(dāng)?shù)慕M合,獲得較高計算精度 的方法稱為外推法 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 ( )f x設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間a,b上,且在此區(qū)間上可微,則有 ( )fx 0 ()( ) lim h f xhf x h , a b對 ( )f xx因此,可以使用以下公式,當(dāng)h足夠小,計算在 處的導(dǎo)數(shù)近似值 ()( ) ( ) f xhf x fx h 但是當(dāng)h足夠小時,計算的結(jié)果將是不準確的 4.12例的結(jié)果 因此,構(gòu)造數(shù)值微分公式的比較普遍的方法是用一個易于計算 其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)近似替代問題中的函數(shù)f(x). 插值多項式是一個比較合

46、適的選擇 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 01 ,., , 1 m x xxa bm 設(shè)是上的個點( ) m px,記為相應(yīng)的插值多項式 01 ( )( ),., ( ) mm f xpxf x xxxx則 ( ) ( ) k fx 對其求k階導(dǎo)數(shù) ( ) ( ) k m px ( ) 01 ,., ( ) k m f x xxxx 若采用Lagrange插值多項式 _ ( )f xxk,則可知在處的 階導(dǎo)數(shù)的近似 計算式為 _ ( )( ) 0 ( )( ) ( ) n kk ii i fxlx f x _ ( ) 01 ( ),., ( ) k m k

47、xx d E ff x xxxx dx 誤差為 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 ( ) 0101 1 ,., =k! ,., , ,., , k mm k k d f x xxxf x xxx xx x dx 個 定理: 證明: 當(dāng)k=1時 01 ,., m d f x xxx dx 0101 0 ,.,., lim mm x f x xxxxf x xxx x 01 0 lim,., , m x f x xxx xx 01 ,., , m f x xxx x 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 2k 當(dāng)時 (2) 01 2

48、,., m d f x xxx dx 01 ,., , m d f x xxx x dx 0101 0 ,.,., , lim mm x f x xxxx xxf x xxx x x 0101 0 0101 ,.,., , lim ,., ,., , mm x mm f x xxxx xxf x xxx xx x f x xxx xxf x xxx x x 01 0 lim ,., , m x f x xxx xx xx 01 ,., , , m f x xxx x xx 01 2 ,., , , m f x xxx x x 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分

49、因此,當(dāng)m=1時 ,得到使用2點構(gòu)造的數(shù)值導(dǎo)數(shù)公式Newton由插值公式 00100101 ( )(),(), ()()f xf xf x xxxf x x x xxxx 01 ( ),fxf x x 得到 0101 , (2)f x x xxxx 0101 , ()()f x x x xxxx 0101010101 , , ()(), (2)f x xf x x x x xxxxf x x xxxx 0 00101000101001 (), , ()(), (2) xx fxf x xf x x x x xxxxf x x xxxx 將代入 0101001 , (2)f x xf x x x

50、xxx 10 01 10 ( )()1 ( )() 2 f xf x fxx xx 1 xx將代入得 10 110 10 ( )()1 ( )( )() 2 f xf x fxfxx xx 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 當(dāng)m=2時,得到使用3點構(gòu)造的數(shù)值導(dǎo)數(shù)公式Newton由插值公式 001001201 012 012 ( )(),(),()() + , ( ) ( )()()() f xf xf x xxxf x x xxxxx f x x x xx xxxxxxx 其中 01 ( ),fxf x x 01201 ,(2)f x x xxxx 012 +

51、 , , ( )f x x x x xx 012 + , ( )f x x x xx 1021 -,xxxxh設(shè)有 10 01 ( )() , f xf x f x x h 012 012 2 ()2 ( )() , 2 f xf xf x f x x x h 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 0 xx將代入 001 (),fxf x x 012001 ,(2)f x x xxxx 0120 + , , ()f x x x x xx 0120 + , ()f x x x xx 10 1 ( ( )()f xf x h 012 2 1 ()2 ( )() 2 f

52、 xf xf xh h 2 012 , (2)f x x x xh 012 1 3 ()4 ( )() 2 f xf xf x h 2 ( ) 3 h f 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 1 xx將代入 101 ( ),fxf x x 012101 ,(2)f x x xxxx 0121 + , , ( )f x x x x xx 0121 + , ( )f x x x xx 10 1 ( ( )()f xf x h 012 2 1 ()2 ( )() 2 f xf xf xh h 2 012 , ()f x x x xh 02 1 ()() 2 f xf x h 2 ( ) 6 h f 2 xx將代入 2 2012 1( ) ()()4 ( )3 () 23 h f fxf xf xf x h 第第4章章 數(shù)值微積分數(shù)值微積分 4.5 4.5 數(shù)值微分數(shù)值微分 012012 012012 ( )2 , , , ( ) +