【精品】導(dǎo)數(shù)習(xí)題+答案

1、一 解答題(共9小題)1 a0，函數(shù) f (x) =lnx - ax2, x0.(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n )假設(shè)存在均屬于區(qū)間1 ,3的3-豐，使f( a)=f( 3),證明ln3 - ln252. 函數(shù) f (x) =xInx - 2x+a，其中 a R.(1 )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 假設(shè)方程f (x) =0沒(méi)有實(shí)根，求a的取值范圍；(3) 證明：In 1+2In2+3ln3+ +nlnn (n- 1) 2,其中 n絲.3. 函數(shù) f (x) =axInx ( aMD).(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和最值；(n )假設(shè) m 0, n 0, a 0，證明：f (m)

2、 +f (n) +a (m+n) In2 并(m+n)x4. 函數(shù)f (x ) =2e - x(1) 求f (x)在區(qū)間-1, m (m- 1)上的最小值；(2) 求證：對(duì)ln-i, Xln2 時(shí)，恒有 2ex -扛2-2 Oln2)工x5. 設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f (x) =e - 2x+2a, x R.(1 )求f (x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)求證：當(dāng) a In2 - 1 且 x 0 時(shí)，ex x2 - 2ax+1 .6. 函數(shù) f (x) =In (x+2) - a (x+1) (a 0 ).(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2 )假設(shè) x- 2，證明：1 - L耳n (x+2)

3、$+1 .s+27. 函數(shù) f (x ) =In (x+1) - x.(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(n )假設(shè) x- 1，證明：1 - (玄+1) 0)(1)當(dāng)a=1時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f (x)在(0, 1內(nèi)是單調(diào)減函數(shù);(2 )當(dāng)x (0, + a)時(shí)f (x)昌恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2-,、 瓦匚+2耳+己9.函數(shù)f (x)=一x(1) 當(dāng)av 0, x 1 , +a)時(shí)，判斷并證明函數(shù) f (x)的單調(diào)性(2) 假設(shè)對(duì)于任意x 1 , + a),不等式f( x) 0恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.參考答案與試題解析一 解答題(共9小題)21 a0，函數(shù) f

4、(x) =lnx - ax , x 0.(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n )假設(shè)存在均屬于區(qū)間1 , 3的豐，使f( a)=f( 3),證明ln3 - ln25考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。專題：綜合題。分析:E(0, +8)，令 f(X)=0，解得x=W i x=2a列表討論能求出f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間.(II )由 f ( a) =f ( 3)及(I)的結(jié)論知 噸V |3，從而 f (x )在a,3上的最小值為f (a).由3- a 1 a, 3 1 , 3,知lWa23阮 由此能夠證明ln3 - ln2 / U25解答：_ ,(I)解：

5、二x2令 f( (x) =0,解得 x=M 1,2a當(dāng)x變化時(shí)，f (x),f (x)的變化情況如下表：x)V2a譯32a| 2a |2af ( x )+0f ( x )極大值所以，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,冬)，f 3)的單調(diào)遞減區(qū)間是| 煖 +8)(II )證明：由f ( a) =f ( 3)及(I)的結(jié)論知0唾! B ,2a從而f (x)在a, 3上的最小值為f (a).又由 3一 a 1 a, 3 1 , 3, 知 1 (a) 1f (2) Pf 即嚴(yán)豎rln2 - 4社InS - 9a從而ln3-ln25點(diǎn)評(píng):此題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用,考查化

6、歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).2.函數(shù) f (x) =xInx - 2x+a，其中 a R.(1 )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)方程f (x)=0沒(méi)有實(shí)根，求a的取值范圍;(3)證明：In 1+2In2+3In3+ +nlnn (n- 1) 2,其中 n絲.考點(diǎn)：不等式的綜合；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)歸納法。 專題：證明題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后求 f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 假設(shè)方程f ( x) =0沒(méi)有實(shí)根，由(1)可得f (x )在x=e處取得極小值，且f ( x) =0沒(méi)有

7、實(shí)根，即可求 a的取值范圍；(3) 方法一：利用 ？x 0, xlnx 2x - 3 恒成立，即可證明 In 1+2In2+3ln3+ +nlnn (n- 1) 2.方法二：利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證 n=2成立，然后通過(guò)假設(shè)，證明n=k+1不等式也成立即 可.解答：解：(1)由題意可知：f (x) =lnx - 1,令f (x) =0,得x=e, (1分) 那么當(dāng)x (0, e)時(shí)，f (x)v 0, f (x)單調(diào)遞減；(2分) 當(dāng) x (e, + 時(shí)，f (x) 0, f (x)單調(diào)遞增(4 分)(2) 由(1)可得f (x)在x=e處取得極小值，且f ( x) =0沒(méi)有實(shí)根，(6分) 那么 m

8、inf (x) =f (e) 0, 即卩 a- e0，解得：ae (8 分)(3) 方法 1 ：由(2)得，令 a=3e, f (x) =xInx - 2x+3 0 成立，那么?x 0, xlnx 2x - 3 恒成立(10 分)故 ln 1+2In2+3In3+nlnn=2ln2+3In3+nlnn (2?2- 3) + ( 2?3 - 3) + (2?4 - 3) + (2?n-3)=中(敲)(n-1) _3Cn_n=(n- 1) 2,即得證.(14 分)方法2數(shù)學(xué)歸納法(1) 當(dāng)oj n=2 (2)時(shí)，In 1+2In2 12 (3)成立；(4) 當(dāng)j n=k (5)時(shí)，In 1+2In

9、2+3In3+kInk (k - 1) 2 (6)成立，當(dāng) n=k+1 時(shí)，In 1+2I n2+3 In 3+kI nk+ (k+1 ) In (k+1 )( k- 1) 2+ (k+1) In (k+1 ) 同理令 a=3e, xlnx 2x - 3，即(k+1 ) In (k+1 ) 2 (k+1)- 3, (10 分) 那么(k- 1) 2+ (k+1) In (k+1 )( k- 1) 2+2 (k+1)- 3=k2, (12 分) 故 In 1+2In2+3In3+klnk+ (k+1 ) In (k+1 ) k2, 即 In 1+2In2+3ln3+kInk ( k - 1) 2

10、 對(duì) n=k+1 也成立，綜合(1) (2)得：？n, In 1+2In2+3In3+nlnn ( n- 1) 2恒成立.(14 分)點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考 查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.3. 函數(shù) f (x) =axInx ( aMD).(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和最值；(n )假設(shè) m 0, n 0, a 0，證明：f (m) +f (n) +a (m+n) In2 并(m+n)考 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；不等式的證明。占八、專綜合題。題(1)求出f (x)，然后讓其大于0得到遞增區(qū)間，小于 0

11、得到遞減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增 減性得到函數(shù)的極值即可；(2)要證明此結(jié)論成立，只需證 f (m) +f (n) +a (m+n) In2-f( m+n)為，設(shè)把不等式左邊化簡(jiǎn)得到anklnk+ (k+1 ) I,設(shè) g ( k) =klnk+ (k+1)ln#p 得到其導(dǎo)函數(shù)大于0, g (k)詞(1) =0,又:a0, n0,二左邊-右邊 為,得證.解：(I ) / f (x) =alnx+a (x 0)，令 f (x)為,答 當(dāng)a0時(shí)，即lnx-仁Ine 1. 耳飛弋.fscC2 g)同理，令f (x)切可得K?0,丄eb f ( X)單調(diào)遞增區(qū)間為右+，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,丄e解由此可知工

12、:-i 一 .無(wú)最大值.ntmee當(dāng) av 0 時(shí)，令 f (x)為 即 lnx 0,貝U m=kn ( k羽)左邊-右邊 =amlnm+nlnn+ (m+n) ln2 -( m+n) In(m+n)=(k+12 naknlnk4- (k+1) nln乂I k+1 i=anklnk + (匕+l) In2(k+1)令:-.I k+1 J，那么2St + - ( : 1 g ( k)司(1) =0 ,又 I a0, n0, 左邊-右邊為，得證.點(diǎn)考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求比區(qū)間上函數(shù)最值的能力，掌握 評(píng) 證明不等式方法的能力.x4. 函數(shù)f (x) =2e - x(1 )求

13、f (x)在區(qū)間-1, m (m- 1)上的最小值；(2)求證：對(duì)門寺時(shí)，恒有2一+區(qū)一21+1口2)蠱 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用。 專題：計(jì)算題；證明題。分析：(1)求出f (x)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為 0求出根，通過(guò)討論根與定義域的關(guān)系，判 斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值.(2)將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù) g (x)，求出g (x)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的 符號(hào)判斷出其單調(diào)性，進(jìn)一步求出其最小值，得證.解答：解(1)當(dāng)f (x) =2ex -仁0,解得Xln2當(dāng)一& 時(shí)，f (x)v 0, f (x)在-1, m上單調(diào)減，那么f (x)的最小值

14、為f (m) =2em - m當(dāng)時(shí)，(一 1*)上遞減，(1*,上遞增，那么f (x)的最小值為f (lng) =1 _ ln-(2)：. )： I ? - ；?yg( x) =2ex- x - 1 - In 2=f ( x)- 1 - ln2由( 1)知當(dāng)b時(shí)，f (x) 的最小值為- 二丄-.：-.-=：-rr，所以當(dāng)x In2時(shí)g (x) 0，g (x)在(In2，+ 上單調(diào)遞增，所以豈(k) g(U2) =2- 仃邊)2 - ln20所以卅-護(hù)-2 (Hlu2)囂點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)在區(qū)間上的最值，常利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值;證明不等式問(wèn)題常通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函

15、數(shù)的最值問(wèn)題.5 .設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f (x) =ex - 2x+2a，x R.(1 )求f (x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)求證：當(dāng) a In2 - 1 且 x 0 時(shí)，ex x2 - 2ax+1 .考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用。 專題：計(jì)算題。分析：(1)由 f (x) =ex- 2x+2a，x R，知 f(x) =ex - 2，x R.令 f (x) =0，得 x=ln2 .列 表討論能求出f (x)的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值.(2)設(shè) g ( x) =ex - x2+2ax - 1, x R,于是 g (x) =ex - 2x+2a, x 只.由(1)知

16、 當(dāng) a ln2 - 1 時(shí)，g( x )最小值為 g(l n2) =2 (1 - l n2+a ) 0.于是對(duì)任意 x R, 都有g(shù) (x) 0,所以g (x)在R內(nèi)單調(diào)遞增由此能夠證明 exx2- 2ax+1.解答：(1)解：/ f (x) =ex - 2x+2a , x R,- f (x)=ex - 2, x R.令 f ( x)=0 ,得 x=ln2 .于是當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f (x)的變化情況如下表：x(-a, ln2)In2(In2 , + a)f (x)0+f ( x )單調(diào)遞減2 (1 - In2+a)單調(diào)遞增故 f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-a, ln2),單調(diào)遞增區(qū)

17、間是(In2, + a),f (x )在x=ln2處取得極小值，極小值為f (In2) =e - 2ln2+2a=2 (1 - In2+a).(2)證明：設(shè) g (x) =ex - x2+2ax - 1, x R, 于是 g (x) =ex- 2x+2a , x R.由(1)知當(dāng)a ln2 - 1時(shí)，g (x)最小值為 g (In2) =2 (1 - In2+a) 0.于是對(duì)任意x R,都有g(shù) (x) 0,所以g (x)在R內(nèi)單調(diào)遞增. 于是當(dāng)aIn2 - 1時(shí)，對(duì)任意x (0, + ),都有g(shù) ( x) g (0). 而 g (0) =0 ,從而對(duì)任意 x ( 0, + a), g (x )

18、 0.即 ex - x2+2ax- 1 0,故 ex x2 - 2ax+1 .點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計(jì)算和不等式性質(zhì)的應(yīng)用.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.6.函數(shù) f (x) =ln (x+2) - a (x+1) (a 0).(1) 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 假設(shè) x- 2，證明：1 - 耳n (x+2) $+1 .x+2考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。 專題：綜合題。分析：1 - 2a .Ml-a (x )(1)函數(shù) f (x)的定義域?yàn)?-2, + a), f (x)

19、= _- a=ak+2由a 0,能求出函數(shù)f (x)的單調(diào)遞區(qū)間.(2)由(1)知，a=1時(shí)，f (x) =ln (x+2 )-( x+1),此時(shí)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,- 1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1 , + a).所以，x 2時(shí)，- 1 - 1y+1S點(diǎn)(戒)，由此能證明當(dāng) x- 2時(shí)，1(x+2) 0,得-2vxv令 f (X)所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,L-2a),單調(diào)遞減區(qū)間為(2)由(1)知，a=1 時(shí)，f (x) =ln 此時(shí)f ( x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2, 單調(diào)遞減區(qū)間為(-1, +R).a(x+2)-( x+1),-1),所以，x 2時(shí),* f A

20、_1_1 x 啓(x+2) 2好1(H2)當(dāng) x (- 2, - 1)時(shí)，g (x)v 0, 當(dāng) x (- 1 , +8)時(shí)，g (x) 0.當(dāng) x- 2 時(shí)，g (x) Sg (- 1),+_x+2- In ( x+2).x+21即 In (x+2)-1為,所以，當(dāng)x- 2時(shí)，1 -耳n (x+2) - 1，證明：1K41函數(shù) f (x) =ln (x+1) - x.I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間;考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；禾U用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。專題：綜合題。 分析：(I )函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-1 , + 8). f (x)=-，由此能求出函數(shù)

21、的單調(diào)遞減區(qū)間.(n )由(I )知，當(dāng) x (- 1 , 0)時(shí)，f (x) 0,當(dāng) x ( 0, + 8)時(shí),v 0,故 In (x+1 ) - xO, In (x+1)纟.令(x+1x+1Ck+1)心+1由此能夠證明當(dāng) x - 1時(shí),1 -；式 In x-l-1-解答：I解：函數(shù)f x的定義域?yàn)?1, +由 f (x)v 0 及 x 1,得 x 0.當(dāng)x (0, +8)時(shí)，f (x)是減函數(shù)， 即f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, + ). -4(H )證明：由(I )知，當(dāng) x ( 1 , 0)時(shí)，f (x ) 0,當(dāng) x (0, +8)時(shí)，f (x)v 0,因此，當(dāng)x 1時(shí)，f (x)

22、郵(0),即 In (x+1) x 切, In ( x+1)纟.(6 分)令g (i) =ln (+1) +At - 1，8分當(dāng) x ( 1, 0)時(shí)，g (x)v 0, 當(dāng) x (0, +8)時(shí)，g (x) 0.10 當(dāng) x 1 時(shí)，g (x) Sg (0),即為，綜上可知，當(dāng)x 1時(shí)，有 1 - Cln x+112 分點(diǎn)評(píng)：此題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比擬高，有一定的探索性.綜合性強(qiáng)，難度 大，是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.&函數(shù)fK二衛(wèi)+丄孔01 當(dāng)a=1時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f 乂

23、在0, 1內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)；2當(dāng)x 0, + 8時(shí)fx昌恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)恒成立問(wèn)題。占：八、專計(jì)算題。題：分(1)先任意取兩個(gè)變量，且界定其大小，再作差變形看符號(hào)，注意變形到等價(jià)且到位.析：(2)先化簡(jiǎn)不等式，f (x) 0,再由分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化整式不等式ax2-x+1茅恒成立，然后采用別離常數(shù)法求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.解解：(1)任意取 xi, x2 (0, 1且 X1VX2.答：f (冷)-壬(乂J(工+)- (-(垃_ 垃C1 -)=(工一玄？)x |x 2X | K 2因?yàn)?Xiv x2,所以 xi - X2V 00 V X1X2V 1,所以 x1x2 - 1 V 0所以 f (X1)- f (x2) 0,即 f ( X1) f ( X2 ),所以f (x)在(0, 1上是單調(diào)減函數(shù).(2) / x (0, +), f ( x)丄一L恒成立,XX等價(jià)于當(dāng)x (0, +8)時(shí)ax2- x+1為 恒成立即可，y 1-Il a 在 x (0, + a)恒成立又(0, + ),12X2瓦2