02第二章極限與連續(xù)[共27頁]

1、第二章 極限與函數(shù)一、本章學習要求與內(nèi)容提要（一）學習要求1了解極限的描述性定義2了解無窮小、無窮大的概念及其相互關(guān)系和性質(zhì)3會用兩個重要極限公式求極限4掌握極限的四則運算法則5理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念,知道間斷點的分類6了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) （最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理） 7會用函數(shù)的連續(xù)性求極限重點 極限的求法,兩個重要極限,函數(shù)在一點連續(xù)的概念難點 間斷點的分類,分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性（二）內(nèi)容提要極限的定義(1) 函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表類型 描述性定義 極限記號x設函數(shù) y f ( x) 在 x b (b 為某個正 lim

2、f (x) A或x時函數(shù)實數(shù)) 時有定義,如果當自變量 x的絕對值無限增大時, 相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù) A,則稱 A 為x （讀作“x趨于無窮”）時函數(shù) f ( x) 的極限f (x) A(xf (x)的極限)1x 設函數(shù) y f ( x)在(a, )(a 為某個實數(shù) )時函數(shù)內(nèi)有定義,如果當自變量 x 無限增大時,f ( x)的相應的函數(shù)值 f (x) 無限接近于某一個固定的常數(shù) A,則稱 A為x （讀作“x 趨極限lim f (x) A 或xf (x) A(x)于正無窮”）時函數(shù) f ( x) 的極限x 設函數(shù) y f (x)在( , a) ( a 為某個實時函數(shù)數(shù)) 內(nèi)有

3、定義,如果當自變量 x 無限增大f ( x)的 且x 0時,相應的函數(shù)值 f (x) 無限接近于極限某一個固定的常數(shù) A,則稱 A 為x （讀作“ x趨于負無窮”）時函數(shù) f ( x) 的極限lim f (x) A 或xf (x) A(x)x 設函數(shù) y f (x) 在點 x0 的去心鄰域x0limx x0f (x) A 或時函數(shù)N(x? , ) 內(nèi)有定義,如果 當自變量 x 在0f (x) A(x x0 )f (x) N(x?0, ) 內(nèi)無限接近于 x0 時,相應的函數(shù)值的極限 f (x) 無限接近于某一個固定的常數(shù) A ,則稱 A 為當x x （讀作“ x 趨近于 x0 ”）時0函數(shù) f

4、(x) 的極限設函數(shù) y f (x) 在點x 的左半鄰域0limx x0f ( x) A或xx0( x0 ,x0 ) 內(nèi)有定義,如果當自變量 x在此f (x) A( xx0)時函數(shù)半鄰域內(nèi)從 x0 左側(cè)無限接近于 x0 時,相應或f(x00) Af (x) 的函數(shù)值 f (x) 無限接近于某個固定的常的極限數(shù) A,則稱 A 為當 x 趨近于x 時函數(shù) f (x) 的0左極限xx0(x)的時函數(shù)f極限設函數(shù) y f ( x) 的右半鄰域 ( )x0 x, 0內(nèi)有定義,如果當自變量 x 在此半鄰域內(nèi)從x 右側(cè)無限接近于 x0 時,相應的函數(shù)值0f (x) 無限接近于某個固定的常數(shù) A ,則稱A為當

5、 x趨近于 x0 時函數(shù) f ( x) 的右極限limf(x x0f (x)或f(x0x)A(0)Ax或x0A)對于數(shù)列 un ,若當自然數(shù) n無限增大lim u A或nn數(shù)列u 的n極限時,通項u 無限接近于某個確定的常數(shù) ,nu 的極限,nu 收斂于 Anx 的極限不存在,則稱數(shù)列n則稱 A為當n趨于無窮時數(shù)列或稱數(shù)列若數(shù)列 發(fā)散xnun A(nlim u 不存在nn)（2）單側(cè)極限與極限的關(guān)系定理2lim f x A 的充分必要條件是 lim f ( x)( )x xlim f (x) Ax f x Alimx ( )x0的充分必要條件是 lim ( )f xx x 0limx x0f

6、(x) A（）極限存在準則單調(diào)有界數(shù)列極限的存在定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限夾逼準則若當 x ( ? , ) 時,有 g( x） f (x) h( x) ,且 g x AN x lxim ( )0x 0, h x Alimx ( )x0,則 f x Alim ( )x x 0夾逼準則對自變量的其他變化過程也成立 .2. 極限的四則運算法則設 lim ( )f xx x0及 lim ( )g xx x0都存在,則(1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) f x g x f x g xx x x x x x0 0 0；(2) xlim ( ) ( ) lim ( ) lim (

7、) ,f x g x f x g xx x x x x0 0 0limx x0Cf( )xClimx x0f()x( C 為任意常數(shù) );(3) f (x) f ( x)lim limx 0 g xx )g(x xx ( )0(lim g(x)x x00)上述極限四則運算法則對自變量的其他變化過程下的極限同樣成立3 兩個重要極限(1) lim sin 1,xx0 xsin u( x)一般形式為 1（其中u(x) 代表x 的任意limu( x) 0 u( x)函數(shù)）x(2) lim 1 1 e,x x3u ( x)1一般形式為 elim 1u( u( x)x)（其中 u(x) 代表 x 的任意函

8、數(shù)） 無窮小量與無窮大量在討論無窮小量與無窮大量的概念及其相關(guān)性質(zhì)時 , 均以xx0的極限變化過程為例 . 其他極限變化過程 , 有完全類似的結(jié)論（）無窮小量在自變量的某個變化過程中,以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量,簡稱無窮小例如 , 如果 lim ( ) 0f xx x0,則稱當xx0時, f (x) 是無窮小量注意 一般說來,無窮小表達的是變量的變化狀態(tài),而不是變量的大小,一個變量無論多么小,都不能是無窮小量,數(shù)零是惟一可作為無窮小的常數(shù)（） 無窮大量 在自變量的某個變化過程中,絕對值可以無限增大的變量稱為這個變化過程中的無窮大量,簡稱無窮大應該注意的是：無窮大量是極限不存在的

9、一種情形,我們借用極限的記號 lim ( )f xx x 0,表示“當 x x0 時, f (x) 是無窮大量” （）無窮小量與無窮大量的關(guān)系在自變量的某個變化過程中,無窮大量的倒數(shù)是無窮小量,非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量（）無窮小量的運算 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量 有限個無窮小量的乘積是無窮小量 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量（5）無窮小量的比較下表給出了兩個無窮小量之間的比較定義無窮小量的比較表4設在自變量x x 的變化過程中, ( x)與 ( x) 均是無窮小量0無窮小的比較 定 義 記 號(x)(x)是比 (x) 0高階的無窮小limx x0

10、(x)( x) (x)（x x ）0(x)C C(x x ( )與 ( ) lim 為不等于零的常數(shù)是同階的無窮小x x(x)0(x)a(x x 1)與 ( ) lim 是等階無窮小)與 ( ) limx ( )x0 a x(x) (x)（x ）x0（） 極限與無窮小量的關(guān)系定理lim f xx ( )x0A的充分必要條件是 f (x) A ( x) ,其中 a( x) 是當x x 時0的無窮小量（） 無窮小的替換定理設當x 時, 1 ( x) ( x) , 1( x) ( x) ,x2 20(x)2lim0 (x)x x2存在,則(x) (x)1 2l i mx x (x) ( )0 x1

11、25函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在一點連續(xù)的概念 函數(shù)在一點連續(xù)的兩個等價的定義：定義 設函數(shù) f (x) 在點 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義, 若當自變量的 增量 x x x 趨于零時,對應的函數(shù)增量也趨于零,即0lim lim ( 0 ) ( 0)y f x x f xx 0 x 00 ,則稱函數(shù) f ( x) 在點x 處連續(xù),或稱0x 是 f ( x) 的一個連續(xù)點0x ,則稱函數(shù) f ( x) 在點 x0 處連續(xù)x定義 若lim ( ) ( )f x f x00x ,則稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處左x 左右連續(xù)的概念 若 lim ( ) ( )f x f x0 0連續(xù)；若x ,則稱函數(shù) f (

12、x) 在點 x0 處右連續(xù)xlim 0f (x) f (x ) 0 函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件函數(shù) f (x) 在點x 處連續(xù)的充分必要條件是 f (x) 在點0x 處既左連續(xù)05又右連續(xù)由此可知,函數(shù) f ( x) 在點 x 處連續(xù),必須同時滿足以下三個條件：0 函數(shù) f (x) 在點x 的某鄰域內(nèi)有定義,0 lim ( )f xx x 0存在, 這個極限等于函數(shù)值 f (x ) 0 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù), 稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間如果連續(xù)區(qū)間包括端點,那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù),在左端點連續(xù)是指右連續(xù)

13、 間斷點若函數(shù) f ( x) 在點x 處不連續(xù),則稱點0x 為函數(shù) f (x) 的間斷點0 間斷點的分類設x 為 f ( x) 的一個間斷點,如果當0x 時, f (x) 的左極限、右極x0限都存在,則稱類間斷點x 為 f ( x) 的第一類間斷點；否則,稱0x 為 f (x) 的第二0對于第一類間斷點有以下兩種情形： 當lim ( )f xx x0與lim ( )f xx x0都存在,但不相等時,稱x 為 f (x) 的跳躍間0斷點； 當lim ( )f xx x0存在,但極限不等于 f ( )時,稱x0x 為 f ( x) 的可去間斷0點 初等函數(shù)的連續(xù)性定理基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)

14、的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值 根 的存在 定理 設 f ( x) 為閉 區(qū)間 a,b 上的連 續(xù)函數(shù),且 f (a)與f (b) 異號,則至少存在一點 (a,b) ,使得 f ( ) 0 介值定理 設 f (x) 是閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)函數(shù),且 f (a) f (b) ,則對介于 f (a)與f (b) 之間的任意一個數(shù) ,則至少存在一點 ( a,b) ,使6得 f ( ) 二、主要解題方法1求函數(shù)極限方法(1) 利用極限存在的充分必要條件求極限例1 求下列函數(shù)的極限：（1）xlim2x2 x

15、24,（2）f x1x sin 1 xx2a,xx00,當a為何值時, f (x) 在x 0的極限存在.解 (1)x 2 2 xlim lim22 x 4 (x 2)( xx x 22)14,x 2 x 2lim lim22 x 4 (x 2)( xx x 22)14,因為左極限不等于右極限,所以極限不存在（2）由于函數(shù)在分段點 x 0處,兩邊的表達式不同,因此一般要考慮在分段點 x 0處的左極限與右極限于是,有1 1lim f (x) lim (x sin a) lim (x sin ) lim a a,x xx 0 x 0 x 0 x 0limx 0f()x 2 lim (1 )x 0x1

16、,為使 lim ( )f xx 0存在,必須有 lim f (x)x 0= lim ( ) f xx 0,因此 ,當a=1 時, lim ( )f xx 0存在且 lim f (x)x 0=1小結(jié) 對于求含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點處的極限,要用左右極限來求,只有左右極限存在且相等時極限才存在,否則,極限不存在7（3）利用極限運算法則求極限例2 求下列函數(shù)的極限：(1)22xlimx1 x312x 9, (2) lim2x x 5x 6, (3)2 1lim( )2x 1 x 1 x1,(4)limx5xx12解 (1)22xlimx1 x13=2lim (2x 3)x =1lim (x

17、1)x 112(2) 當x 3 時,分子、分母極限均為零,呈現(xiàn)00型,不能直接用商的極限法則,可先分解因式,約去使分子分母為零的公因子,再用商的運算法則2x 9 (x 3)( x 3) x 3原式= 6lim lim lim2x 5x 6 x 3 x x 2) 23 x ( 3)( xx 3(3) 當x 1時,2 1,21 x 1 x的極限均不存在,式2 121 x 1 x呈現(xiàn)型,不能直接用“差的極限等于極限的差”的運算法則,可先進行通分化簡,再用商的運算法則即2 1 2 (1 x)原式=lim( ) lim2 2x 1 x 11 x 1 x 1 x(1 x) 1 1lim limx 1 (1

18、 x )(1 x) x 1 1 x 2(4) 當x 時,分子分母均無極限,呈現(xiàn) 形式需分子分母同時除以 x ,將無窮大的 x 約去,再用法則求8 15x原式= 5limx 21x小結(jié) （I ）應用極限運算法則求極限時,必須注意每項極限都存在（對于除法,分母極限不為零）才能適用（II ）求函數(shù)極限時,經(jīng)常出現(xiàn)0 等情況,都不能直接0, ,運用極限運算法則, 必須對原式進行恒等變換、 化簡,然后再求極限。常使用的有以下幾種方法（i ）對于 型,往往需要先通分,化簡,再求極限,（ii ）對于無理分式,分子、分母有理化,消去公因式,再求極限,（iii ）對分子、分母進行因式分解,再求極限,（iv ）對

19、于當 x 時的 型,可將分子分母同時除以分母的最高次冪,然后再求極限（3）利用無窮小的性質(zhì)求極限例 3 求下列函數(shù)的極限（1）2xlimx1 x11, （2）limxx sin x13x解（1） 因為lim ( 1) 0xx 12而lim ( 1) 0xx 1,求該式的極限需用無窮x 1小與無窮大關(guān)系定理解決 因為 0lim2x 1 x1x,所以當 x 1時,2x11是無窮小量,因而它的倒數(shù)是無窮大量,即2xlimx 1 x11（2）不能直接運用極限運算法則,因為當 x 時分子,極限91xx不存在,但sin x 是有界函數(shù), 即 sin x 1而 0lim limx 3 x11 x13x,因此

20、當 x 時,x31 x為無窮小量 . 根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理,即得x sin xlim 0x 31 x.小結(jié) 利用無窮小與無窮大的關(guān)系,可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零,而分子極限存在的函數(shù)極限） ；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小定理可得一類函數(shù)的極限 （有界量與無窮小之積的函數(shù)極限）（4）利用兩個重要極限求函數(shù)的極限例4 求下列函數(shù)的極限：（1）limx 0cos xcos 3x2x, （2）1x2 lim (1 )x x解（1）分子先用和差化積公式變形,然后再用重要極限公式求極限原式=limx 02 sinxxsin22xsin x sin 2x= ) 1 4 4li

21、m lim (4x0 xx x 2（2）解一 原式=1 1 1 1x x xlim (1 ) (1 ) lim (1 ) lim (1x x x x xx 0 x)x1=ee 1 1,1 (2解二 原式=( x )lim 1( 2 ) x x1 x)=e0 1sin x小結(jié) （I ）利用 1limx0 x求極限時,函數(shù)的特點是0 型,滿足0sin u( x)limu( x ) 0 u x)(的形式,其中 u x 為同一變量；10（II ）用1xlim 求極限時,函數(shù)的特點 1 型冪指函數(shù),其形式(1 )x x1為 1 x ( x) 型,( )x 為無窮小量,而指數(shù)為無窮大,兩者恰好互為倒數(shù)；（

22、III ）用兩個重要極限公式求極限時,往往用三角公式或代數(shù)公式進行恒等變形或作變量代換,使之成為重要極限的標準形式。(5) 利用等價無窮小代換求極限常用等價無窮小有當x 0 時, x sin x tan x arcsin x arctan x ln( 1 x) ex 1,11 x x , 2x sin 2x tan 2x cos 22例 5 求下列函數(shù)的極限（1）1 coslim2x x0 3x, （2）limx 0tan x sin x3x解 （1）1 coslim2x0 3xx122x=lim 2x0 3x16（12x 0,1 cos x x ）2（2）tan x sin xlim =x

23、0 sin3xsin x(1 coslim3x x cos x0x)limx 0sin x (1 cos x) 12x x cosx=limx 02sin2x2x2=1 （22x x2x 0, sin ） 2 2小結(jié) 利用等價無窮小可代換整個分子或分母, 也可代換分子或分母中的因式,但當分子或分母為多項式時,一般不能代換其中一項。否則會出錯11tan x sin x x x如上題 lim 0lim3 3x x 00 sin x x, 即得一錯誤結(jié)果（6）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6 求下列函數(shù)的極限（1）2x sin xlimx 2 x 2e 1 x, （2） lim arcsin( 2 x x)xx解 (1) 因為2xxesin1 xx2是初等函數(shù),在 x 2 處有定義,所以 2 x s