立體幾何典型題型理科

1、DE/ACi DE 平面 CDBi, ACi 二平面 CDBi,立體幾何經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一空間向量及其運(yùn)算1.已知A, B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件試判斷：點(diǎn)P與A, B,C是否一定共面?x,y使或?qū)馕觯阂袛帱c(diǎn) P與代B,C是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對(duì)50P =0A 2OB 2OC (OP _OA) =2(OB -OP) 2(OC -OP)空間任一點(diǎn)。，有OP總xAB yAC。答案：由題意:IIIT r m t t *AP =2PB 2PC，即 PA - -2PB -2PC ,所以，點(diǎn)P與代B,C共面.點(diǎn)評(píng)：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)

2、候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算.2.如圖，已知矩形 ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn) M , N分別在對(duì)角線 BD , AE上，且11BM BD , AN AE 求證：MN/ 平面 CDE 33TNM可以用平面CDE內(nèi)的兩解析：要證明怦平吒DE，只要證明向量 個(gè)不共線的向量 DE和DC線性表示1答案:證明：如圖，因?yàn)?M在BD上，且BM =BD，所以31 1 1 1 1MB DB DA AB 同理 AN AD DE，又333CD =BA=-AB，所以 MN =MB11=(DA3一量定理，可知MN , CD ,DE 又CD與DE不共線，根據(jù)共面向3

3、EA4-c3_3AN21 11 2 12 AB) BA (AD DE) BA DE CD3 3_3333DE共面由于 MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN /平面CDE 點(diǎn)評(píng)：空間任意的兩向量都是共面的.與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開 考點(diǎn)二證明空間線面平行與垂直3.如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC= 3, BC= 4, AAl 4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)， （I）求證：AC丄BC仁（II）求證：AC 1/平面CDB1；解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來(lái)證明線線垂 直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過

4、面面平行得到線面平行答案：解法一 ：（I）直三棱柱 ABC A1B1C1，底面三邊長(zhǎng) AC=3, BC=4AB=5, AC丄BC,且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為 BC,. AC丄BC1;（II ）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連結(jié)DE ,T D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn), ACi/平面 CDBi；解法二：直三棱柱 ABC AiBiCi底面三邊長(zhǎng) AC = 3, BC= 4, AB = 5, AC、BC、CiC兩兩垂直，如圖，以 C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 CA、CB、CiC 分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 C(0,0，0)，A( 3,0,30)，Ci( 0,0，4)，B( 0,4，0

5、)，Bi( 0,4，4)，D ( , 2,0 )2(i AC =( 3,0 , 0), BCi =( 0, 4,0 ) , AC ? BCi = 0,CBAECByA AC 丄 BCi.3i(2)設(shè) CBi與 CiB 的交戰(zhàn)為 E,則 E( 0,2 , 2) . / DE =( , 0,2 ), ACi =( 3,0 , 4),. DEACi ,22 DE/ ACi.點(diǎn)評(píng)：2 平行問題的轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化面面平行，：線面平行：線線平行；主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理4. (2007武漢3月)如圖所示，四棱錐P ABCD中，AB _ AD ,CD _ AD ,PPA _ 底面 ABCD ,

6、 PA=AD=CD=2AB=2 , M 為 PC 的中點(diǎn)。(1) 求證：BM /平面PAD ;(2) 在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn) N，使MN _平面PBD ;(3) 求直線PC與平面PBD所成角的正弦。解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，.面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力答案：(1)打M是PC的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E，則ME “CD，又 AB= CD2 2四邊形ABME為平行四邊形BM / EA, BM 二平面 PADEA 平面PAD-BM / 平面 PAD(4 分)(2)以A為原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，則B 1,0,0),C

7、 2,2,0 , D 0,2,0 , P 0,0,2 , M 1,1,1 , E 0,1,1在平面 PAD 內(nèi)設(shè) N 0,y,z , MN 一 -1, y -1,z-1 , PB 二 1,0,-2 , DB 二 1,-2,0 由 MN PB1MN PB - -1 -2z 2 = 0z 二一2 1.MN DB - -1 _2y 2 =0. y 二一2（3）二 N 0, , i.22 丿設(shè)直線PC與平面PCI 2,2,一2 ,N是AE的中點(diǎn),PBD所成的角為MN*cos 二PC MN-22,362此時(shí)012二，故直線PC與平面PBD所成角的正弦為MN _平面PBD設(shè)；PC,MlN 為:si n-c

8、os（8 分）.2（12 分）解法二：（1）（2）M是PC的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E,貝U11ME CD，又 AB CD22.四邊形ABME為平行四邊形.BM / EA, BM 二平面 PADEA 平面PAD.BM / 平面 PAD （4 分）由（1）知ABME為平行四邊形PA _ 底面 ABCD PA _ AB，又 AB _ AD.AB _平面PAD 同理CD _平面PAD ,AE 平面PAD.AB _ AE ABM 曲矩形 CD / ME , CD _ PD，又 PD _ AEME _ PDPD _ 平面 A BM E平面PBD _平面ABMEPD二平面P B D 作MF _ EB故MF _平

9、面PBD MF 交 AE于 N，在矩形 ABME 內(nèi)，AB 二 ME = 1, AE 二.2（3）2，NVN為AE的中點(diǎn)時(shí)，MN _平面PBD（ 8分）知MF為點(diǎn)M至序面PBD的距離， MPF為直線PC與平面PBD所成的角，設(shè)為 二, sinMPN為AE的中點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) 由（2）MN _平面PBD-直線PC與平面PBD所成的角的正弦值為彳2）求斜線與平面所成的角只需在斜線證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條O點(diǎn)評(píng)：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（ 上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（ 相交直線垂直變可這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來(lái)考點(diǎn)三 求空間圖

10、形中的角與距離根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值， 注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一 解題時(shí)注意各種角的范圍：異面直線所成 角的范圍是090,其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0w90,其解法是作垂線、找射影；二面角0180其方法是：定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法另外也可借助空間向量求這三種角的大小5.(四川省成都市2007屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè))如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC 是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是.ADC =60：的菱形，M為PB的中點(diǎn)(I )求PA與底面ABCD所成角的大小；(n)求證：PA _ 平面 C

11、DM ；(川)求二面角D - MC -B的余弦值.解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法 求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法答案：(I)取DC的中點(diǎn)O,由APDC是正三角形，有 PO丄DC .又平面 PDC丄底面 ABCD , PO丄平面 ABCD于O.連結(jié)OA，則OA是PA在底面上的射影./ PAO就是PA與底面所成角./ ADC=60 ,由已知 APCD和AACD是全等的正三角形，從而求得 OA=OP= Q . / PAO=45 . PA與底面ABCD可成角的大小為 456分(II)由底面 ABCD 為菱形且/ ADC=60 DC=2 , DO

12、=1，有 OA 丄 DC .建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A( 3,0,0), P(0, 0, 3), D(0,0), B( 3, 2, 0), C(0,1,0).由M為PB 中點(diǎn), M呼JDM,2, f), PA =( .3, 0, .3), DC =(0, 2, 0). PA DM 332 0(_ 3) =02 2 ，PA DC =03 2 0 0 ( _ 3) =0 . PA丄 DM , PA丄 DC . PA丄平面 DMC .(III) CM,0, -?), CB =0 3,1,0).令平面 BMC 的法向量 n=(x,y,z),則 n CM=0，從而x+ z=0 ；，n CB=0，從而

13、j3x,：y=0 .由、，取 x=- 1，則 y = 3, z =1 .可取 n =(_1,、3, 1).由(II)知平面CDM的法向量可取PA=(.3,0, _.3), cos :：:n, PAn-PA23 =_衛(wèi).所求二面角的余弦值為一n pa105in 11 pai r - 6 一5法二：(i)方法同上(n)取AP的中點(diǎn)N，連接MN，由(I)知，在菱形 ABCD中，則 AO _ CD，又 PO _ CD，則 CD _ 平面 APO，即 CD _ PA,1 1又在 PAB 中，中位線 MN / AB , CO/ AB，貝U MN /CO ,2 =2則四邊形OCMN為，所以MC/ON，在 A

14、PO中，AO = PO ,則 ON _ AP，故 AP _ MC 而 MC 門CD 二 C , 則PA _平面MCD(川)由(n)知 MC _平面PAB，則 NMB為二面角D - MC - B的平面角,在 Rt PAB 中，易得 PA 、6, PB =-PA2 AB2+ 22由于.ADC 二 60 ,cos PBA芯10二 2105點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法， 綜合性較強(qiáng)用平移法求異面直線所105E NMB 8( PBA)=故，所求二面角的余弦值為n成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法6. (2007河北省唐山市三模)如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD

15、 ABC D 中，AD = AA =1, AB = 2, 點(diǎn)E在線段AB上.(I)求異面直線 D,E與A,D所成的角；(H)若二面角 Di - EC - D的大小為45，求點(diǎn)B到平面D1 EC的距離.解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí)，本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離，在求此類問題中，要將這些量歸結(jié)到三角 形中,最好是直角三角形，這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法 答案：解法一：(I)連結(jié) AD1。由已知， AA1D1D是正方形，有 AD1_A1D。 AB _平面AA1D1D , AD1是D1E在平面AADQ內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線定理， Ad _D1E得，則異面直線 D1E與A1D

16、所成的角為90 。作DF _ CE，垂足為F，連結(jié)QF ,則CE _ D1F所以.DFD1為二面角D1-EC-D的平面角， DFD1=45 .于是 DF =DD1 =1,D1F =易得 Rt BCE 三 Rt CDF，所以 CE =CD =2，又 BC =1，所以 BE =$3。設(shè)點(diǎn)B到平面D1 EC的距離為h . Vb_ced1 二Vd_bce,即-Ice d1f1 1 be bc dd1 ,3 23 2- CE D1F h 二 BE BC DD1，即 2、2h = 3 ,故點(diǎn)B到平面D1 EC的距離為解法二：分別以 DA, DB,DD1為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(I)由 A(1

17、,0,1)，得 DA =(1,0,1)設(shè) E(1,a,0)，又 D1 (0,0,1)，則 D1E =(1a, T)。寓辰=1 0一仁0 DA1-DiE則異面直線D1E與AD所成的角為90 。(n) m = (0,0,1)為面DEC的法向量，設(shè)n = (x,y, z)為面CED1的法向量，則|z|n =(x,y,z) |cos ： m, n |= T 2 = cos45 =| m | n | Jx2 + y2+z22 z2 = x2 y2.由 C(0,2,0)，得 DC =(0,2, -1)，則 n _ DiC，即 n DC =0由、，可取n =3,1,2)CB =(1,0,0)，所以點(diǎn)B到平面

18、D1EC的距離 |CB n |6d =| n|2血 4點(diǎn)評(píng)：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計(jì)算，這是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離，在求此類問題中，盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中，最好是直角三角形，這樣計(jì)算起來(lái)，比較簡(jiǎn)單，此外用向量也是一種比較好的方法，不過建系一定要恰當(dāng)，這樣坐標(biāo)才比較容易寫出來(lái)考點(diǎn)四探索性問題7. ( 2007年4月濟(jì)南市)如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且 DE=、2 , ED/AF 且/ DAF =90 。(1 )求BD和面BEF所成的角的余弦；(2)線段EF上是否存在點(diǎn) P使過

19、P、 存在，說(shuō)明理由。EP與PF的比值；若不、1010即BD和面BEF所成的角的余弦 1010(2 )假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，不妨設(shè) EP與PF的比值為 m，則P解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后 再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。答案：(1)因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系, 則 B(2，0，0)，D( 0，0，2)，E( 1, 1，2)，F(xiàn)(2, 2, 0)，則 DB =(2,0,0),BE =(-1,1,2),BF =(0,2,0)設(shè)平面BEF的法向量n =(x,y,z),則- x

20、y 2z = 0, y = 0，則可取 n = (2,1,0)，向量DB和n =(2,0,1)所成角的余弦為2 2+0-222 12 . 22 - ( -2)21 2m 1 2m 2 、點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，1 m 1m 1m1 2m 1 2m 21 2m 12 x則向量 AP =(,),，向量 CP =(,),1m 1 m 1 m1 m 1m1m所以21 2m1 m1 2m1 m1巾所以m=2。點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。8. (2007安徽文)如圖，在三棱錐V - ABC中，VC丄底面ABC , AC丄BC

21、 , D是AB的中點(diǎn)，且AC = BC =a，/ VDC+可(I)求證：平面VAB丄平面VCD ;(II )試確定角二的值，使得直線 BC與平面VAB所成的角為-6解析：本例可利用綜合法證明求解，也可用向量法求解答案:解法1：(i) t AC=BC=a，ACB是等腰三角形，又 D是AB的中點(diǎn), CD _ AB，又 VC _ 底面 ABC . VC _ AB .于是 AB _ 平面 VCD .又AB 平面VAB，平面VAB _平面VCD .(n) 過點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CH _ VD于H，則由(I)知 CD _平面VAB . 連接BH，于是 CBH就是直線BC與平面VAB所成的角.n依題意.CB

22、HU，所以在 Rt CHD 中，CHasi nr ；2n a在 Rt BHC 中,CH =asin 6 2二 sin -.2 0，-.24nn故當(dāng)時(shí)，直線BC與平面VAB所成的角為一.46解法2 ：(1)以 CA, CB, CV所在的直線分別為 x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0) A(a,O,O)B(0, a,0)DV0,0= atan.2于是,VD _ 22AB = (-a, a?0).fa a ) 11從而 ABCD =( -a, a,0)，一,0a2a2 0 = 0，即 AB _ CD .2 2 丿 22i a aa,0)a 2 即 AB _VD 又 CD

23、VD 二 D , 又AB 平面VAB .平面VAB _平面VCD .同理ABVD =(-a,-atan.2(n)設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n = (x y, z),則由 n-AB =0, n-VD =0 . AB _ 平面 VCD .1 2 a2-ax ay = 0,得aa2-x -y-aztan丁 -0.2 2 2可取曰 疋匚2亠,a，2 2cot2 v 2n = (1,1 一 2cot 力，又 BC =(0, - a,0),即sin2nn/ 0，.“ =-24解法3:(I)以點(diǎn) D為原點(diǎn)，以DC, DB所在的直線分別為 x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,n故交二二一時(shí)，直線4nBC

24、與平面VAB所成的角為 .60 , - a, 0-B 0 - a , 0cL 0, 0、-vL 旦,0,返 atanj1 2丿1 2丿1 2丿1 2 2 丿則 D(0,0,0) A于是DV二上a, 0,二2 2atan 日,a, 0,02,AB = (0,2a,0).從而AB-DC=(0 , ,2a , 0) -2a, 0, 0 =0 ,即 AB 丄 DC . 2J22)a ,0 ,atan 日=0 ,即 AB 丄 DV . 22丿又 DC 門 DV 二 D ,二 AB _ 平面 VCD .又AB 平面VAB ,平面VAB _平面VCD .同理 AB-DV =(0, ,2a , 0) (n)設(shè)

25、平面VAB的一個(gè)法向量為 n = (x, y, z),則由n-AB = 0, n- DV = 0 ,、.2ay =0,得血+V2te 0-ax + az ta nH =0.-2 2可取n =(tan ,0,1)，又 BCa, 0 ,Jnsin =6n-BCnBCa 1 tan2I,2n即 sin:0-n . n r =-.24n 即直線BC與平面VAB所成角為 .6n故角，蔦時(shí),點(diǎn)評(píng)：證明兩平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求線面角一是找線在平面上的射影在直角三角形中求解運(yùn)用更多的是建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解考點(diǎn)五折疊、展開問題9. (2006年遼寧高考)已知正方形 ABCD E、示，記二面角 A-DE -C的大小為二(0 ： v :二)(I) 證明BF /平面ADE(II) 若LACD為正三角形,試判斷 點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結(jié)論， 并求角0的余弦值”F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將L ADE沿DE折起,如圖所分析：充分發(fā)揮空間想像能力， 重點(diǎn)抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明解：(I)證明：EF分別為正方形 ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn),E