考點27與基本不等式有關的應用題(解析版)

1、考點27與根本不等式有關的應用題16【知識框圖】假設點27與根本不等式右關的應用趣【自主熱身，歸納總結 】1、 ( 2021江蘇高考)某公司一年購置某種貨物600噸，每次購置x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲之和最小，那么x的值是.答案30600900900解析總費用4x 64(x ) 240,當且僅當x ，即x 30時等號成立.xxx2、(2021常州期末)某學校為了支持生物課程基地研究植物生長，方案利用學?？盏亟ㄔ煲婚g室內面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m,三塊矩形區(qū)域的前、后與

2、內墻各保存1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左、右內墻保留3 m寬的通道，如圖.設矩形溫室的室內長為x(m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(m2).(1) 求S關于x的函數關系式；(2) 求S的最大值.標準解答(1)由題設得S= (x 8)900 2 = 2x 7200+ 916, x (8,450). (6 分)xx7 2007200八2因為 8x 2、/2x= 240, 8 分當且僅當x= 60時等號成立.10分從而 SW 676.12 分答：當矩形溫室的室內長為60 m時，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676 m2.i4分3、2021無錫期末某公司生產的某批

3、產品的銷售量P萬件生產量與銷售量相等與促銷費用x萬元滿x+ 21足P = 其中0w x2時，促銷費用投入 2萬元時，廠家的利潤最大；9分當x0 ,此時函數y在0,2上單調遞增，所以當a 2時，促銷費用投入 2萬元，廠家的利潤最大；當 a 0,sin2e ,sin2e3223tane 0，得 tan 3,nn0 v e v,0ve v.22所以四邊形MNP面積為由(*)S= 2(N冉 MEMN1 22 3 sin2 e + 3 tan e X 22 2=6 tan e sin2 e222 sin=6 tan e2cos2sin cos=6 tan e +(12 分)tan ew 6 2 tan

4、e ta： e= 6 - 2 3.當且僅當tan e = ta e，即卩tan e =羽,%e = 3 時取“=14 分此時，*成立.答：當/ EFD= n時，沿直線PE裁剪，四邊形 MNP面積最大，最大值為6 2 3 m2.16分3【變式1】2021南京學情調研 如圖，某小區(qū)擬在空地上建一個占地面積為240001的矩形休閑廣場，按照設計要求，休閑廣場中間有兩個完全相同的矩形綠化區(qū)域，周邊及綠化區(qū)域之間是道路圖中陰影部分，道路的寬度均為 2m.怎樣設計矩形休閑廣場的長和寬，才能使綠化區(qū)域的總面積最大？并求出其最大面積.標準解答設休閑廣場的長為xm那么寬為2 400xm,綠化區(qū)域的總面積為St那

5、么S= (x- 6)2 400 - 4(6 分)=2424 4x+ 6X2 400x3 600=2 424 4 x + , x (6,600) . (8 分)x因為x (6,600)，所以x +3 600x3 600x120,當且僅當x=3 600即x = 60時取等號(12此時S取得最大，最大值為 1944.答：當休閑廣場的長為 60m寬為40m時，綠化區(qū)域總面積最大值，最大面積為1 944m2.(14分)【變式2】(2021鎮(zhèn)江期末)如圖，某工業(yè)園區(qū)是半徑為10km的圓形區(qū)域，離園區(qū)中心O點5km處有中轉站P,現準備在園區(qū)內修建一條筆直公路AB經過中轉站，公路 AB把園區(qū)分成兩個區(qū)域.(1

6、) 設中心O對公路AB的視角為a ,求a的最小值，并求較小區(qū)域面積的最小值；(2) 為方便交通，準備過中轉站P在園區(qū)內再修建一條與 AB垂直的筆直公路 CD求兩條公路長度和的最小值.d標準解答 如圖1，作OHL AB設垂足為H,記OHk d, a = 2/AOH因為cos / AOH兀，1分 要使a有最小值，只需要 d有最大值，結合圖像可得，dw 01 5 km, 3 分當且僅當 ABL 0P時，dmax= 5 km.,n 2 n,此時 a min= 2 / AOH= 2 X 3 = 3 .4 分33設AB把園區(qū)分成兩個區(qū)域，其中較小區(qū)域面積記為S,由題意得 S= f a = S扇形& ao=

7、 50 a sin a , 6 分f a = 501 COS a 0恒成立，所以f a為增函數，7分-2 n2 n l32、所以 Smin= f 3 = 50 km .8 分332答：視角的最小值為2n，較小區(qū)域面積的最小值是502； 23km.9分332圖1(2)如圖2,過 O分別作 OHL AB 0H丄CD垂足分別是 H, H,記 OHk di, 0H= d2,由 可知di 0,5,所以 d2 + d2= OP= 25,且 d2= 25-di, (10 分)因為 AB= 2 100 di, CD= 2 100-d2,所以 AB CD= 2(寸100 d1 + 100 d2)=2(、，100

8、 d： + 75+ d2) , (11 分)記 L(d = A聊 CD= 2(100 d1 +75+ d1),可得 L2( d1) = 4175 + 2 100 d1275 d12 , (12 分)由 d1 0,25，可知 d2= 0 或 cf = 25 時，L2(dJ 的最小值是 100(7 + 4 3),從而AB+ CD的最小值是(20 + 10 3) km.(13 分)答：兩條公路長度和的最小值是(20 + 10 3) km.(14分)圖2解后反思 (1) 主要利用 OP 為定值這一條件，從而根據垂徑定理得出取得最值的特殊位置來解題；(2)利用OP為定值和勾股定理構造根本不等式解題.【變

9、式 3】 (2021 南京、鹽城二模) 在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3 600 平方厘米的矩形紙板ABCD然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)設小正方形邊長為 x厘米，矩形紙板的兩邊 AB BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a b.(1) 當a= 90時，求紙盒側面積的最大值；(2) 試確定a, b, x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值.思路分析(1)紙盒側面積S(X)是關于X的函數，即求S(X)max2先猜測并證明a= b時，底面積取最大，這樣問題變?yōu)榍篌w積關于x的函數的最大值.標準解答1當所以紙盒的側面積a= 9

10、0時，b= 40,紙盒的底面矩形的長為S(x) = (260 - 8x) x=- 8x2 + 260x，其中90 - 2x,x (0,20)寬為40 2x，周長為260- 8x.,(3 分),65故 S(x)max= S 4 =4 2252答：當a= 90時，紙盒側面積的最大值為平方厘米.(6分)(2)紙盒的體積 V= (a-2x)( b-2x)x,其中 x 0, | , ab0,且 ab= 3 600.(8 分)因為(a 2x)( b- 2x) = ab-2(a+ b)x+ 4x2 ab-4 abx+4x2= 4(x2- 60x+ 900)，當且僅當 a= b= 60時 取等號，所以 VW

11、4(x3-60x2+ 900x) , x (0,30) . (10 分)32記 f (x) = 4(x - 60x + 900x) , x (0,30),那么 f (x) = 12(x- 10)( x-30),令f (x) = 0，得x= 10,列表如下：x(0,10)10(10,30)fX+0f(x)極大值由上表可知，fx的極大值是f10 = 16 000，也是最大值.12分答：當a= b= 60,且x= 10時，紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米.14分【變式4】2021鹽城三模一位創(chuàng)業(yè)青年租用了一塊邊長為1百米的正方形田地 ABC咪養(yǎng)蜂、產蜜與售蜜，他在正方形的邊 BC CD上

12、分別取點E, F不與正方形的頂點重合，連結AE, EF, FA使得/ EAF= 45 .現擬將圖中陰影局部規(guī)劃為蜂源植物生長區(qū)，AEF局部規(guī)劃為蜂巢區(qū)， CEF局部規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū)假設蜂源植物生長區(qū)的投入約為2X 105元/百米2，蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為105元/百米2,那么這三個區(qū)域的總投入最少需要多少元？標準解答設陰影局部面積為 S,三個區(qū)域的總投入為T.那么T= 2 x 105 S+ 105 (1 S) = 105 (S+ 1)，從而只要求 S的最小值即可.(2分)設/ EAB= a (0 a ：(2 2 2) = 2 1,2x 12當且僅當x+ 1 = x+1 即x =J 2 1

13、時取等號.(12分)從而三個區(qū)域的總投入 T的最小值約為 2 x 105元.14分題型二利用根本不等式解決利潤的最值問題知識點撥：與利潤有關的問題關鍵是要認真審題，只有在審題的根底上才可以正確列出函數的解析式,要特別注意函數的定義域和單位的統(tǒng)一。例2、2021南京學情調研銷售甲種商品所得利潤是 P萬元，它與投入資金t萬元的關系有經驗公式 P= -aL;銷售乙種商品所得利潤是Q萬元，它與投入資金t萬元的關系有經驗公式Q = bt,其中a, b為常t +19數現將3萬元資金全部投入甲、乙兩種商品的銷售；假設全部投入甲種商品，所得利潤為4萬元；假設全部投入乙種商品，所得利潤為1萬元假設將3萬元資金中

14、的x萬元投入甲種商品的銷售，余下的投入乙種商品的銷售，那么所得利潤總和為f(x)萬元.(1) 求函數f(x)的解析式；(2) 怎樣將3萬元資金分配給甲、乙兩種商品，才能使得利潤總和最大，并求最大值.標準解答(1)由題意P=(7，Q= bt,故當 t= 3 時，P= 3a = 9, Q= 3b= 1. (3 分)3 + 141解得 a= 3, b= 3. (5 分)3t1所以 P=, Q = 1t.t + 13從而 f(x) = 3x- + 壬產，x . (7 分)X十133x 3-x 133 x 十 1由(1)可得f(x)=石十=亍-不十丁. (9分)因為x,所以x十1,3x 十 13 X 十

15、 1137故3十x十 2，當且僅當3= x十，即x= 2時取等號從而f(x) :- 2= 7.(11分)x 十 13x 十 1333 所以f(x)的最大值為答：分別投入2萬元、1萬元銷售甲、乙兩種商品時，所得利潤總和最大，最大利潤是3萬元.(14分)3【變式1】(2021南京學情調研)某工廠有100名工人接受了生產1000臺某產品的總任務，每臺產品由9個甲型裝置和3個乙型裝置配套組成，每個工人每小時能加工完成1個甲型裝置或3個乙型裝置.現將工人分成兩組分別加工甲型和乙型裝置設加工甲型裝置的工人有x人，他們加工完甲型裝置所需時間為t1小時，其余工人加工完乙型裝置所需時間為t2小時.設f(x) =

16、 t1 + t2.(1) 求f(x)的解析式，并寫出其定義域；(2) 當x等于多少時，f(x)取得最小值？思路分析此題分為兩個階段：建模和解模，建模階段就是用自變量x表示時間t1, t2.解模階段就是根911據解析式f(x) = 1 000 丫十求出最小值，思路1,分母的和為常數，運用“1 = x十(100 X)的x 100 x100代入法；思路2,用導數求最值.標準解答 因為ti = 9 000 ,(2分)X3 0001 000 一八、t2= 3 ( 100- x) = 100 x，()9 0001 000所以 f(x) =t1+ t2=+, (5 分)x 100 x定義域為x|1 x0,

17、x 0,x100 x9( 100-x) * x ?29( 100-x) x = 6, (12 分)x100 x x 100 x9 (100 x)x當且僅當9 ( x)=,即當x = 75時取等號.(13分)x100 x答：當x= 75時，f(x)取得最小值.(14分)解法2(導數)f (=二器十右1嚴，令f (=0得，x = 75, x N*(10分)x( 100 x)當 x (0, 75)時，f (x)0 , (13 分)故當x= 75時，f(x)取得最小值.(14分)易錯警示 此題要注意定義域的書寫，人只能是正整數個，即x N*.一般地，求解函數解析式時，必須給出定義域，否那么高考閱卷時會

18、扣分，即便在后面列表中有范圍，也沒有用.【變式2】(2021揚州期末)如圖，射線OA和OB均為筆直的公路，扇形 OPQ區(qū)域(含邊界)是一蔬菜2 n種植園，其中P, Q分別在射線 OA和OB上經測量得，扇形 OPQ的圓心角(即/ POQ)為三、半徑為1 千米，為了方便菜農經營，打算在扇形 OPQ區(qū)域外修建一條公路 MN，分別與射線 OA , OB交于M, N兩 點，并要求MN與扇形弧PQ相切于點S.設/ POS= a單位：弧度)，假設所有公路的寬度均忽略不計.(1) 試將公路MN的長度表示為 a的函數，并寫出 a的取值范圍；(2) 試確定a的值，使得公路 MN的長度最小，并求出其最小值.標準解答1因為MN與扇形弧PQ相切于點S,所以OS丄MN.在RtA OSM中，因為OS= 1,3a,所以SN2 n/ MOS = a,所以 SM = tan a 在 RtA OSN 中，/ NOS = =ta n2n3所以 MN = tan a + tan3tan a 1其中6 a 0,因為 6 a 0.那么 tan a= 3 t + 1,所以 MN = 3 t + 4 + 2 .8 分由根本不等式得MN?專32 tx 4 + 2 = 2 3, 10 分7t t,7t 2，故 a= 3 .13 分4當且僅當t= 4 ,即卩t = 2時取f冗此時tan