數(shù)的整除特征

1、數(shù)的整除性質(zhì)主要有:(1) 若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。(2) 若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù) 整除。(3) 幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除， 那么它們的積也能被 這個(gè)數(shù)整除。(4) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除， 那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互 質(zhì)數(shù)的積整除。(5) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù) 整除。(6) 若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自 然數(shù)中的一個(gè)。(7) 個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都能被2整除。(8) 個(gè)位上是0或者5的數(shù)都能被

2、5整除。(9) 若一個(gè)整數(shù)各位數(shù)字之和能被 3 (或9)整除，則這個(gè)整數(shù)能被3 (或9) 整除。(10) 若一個(gè)整數(shù)末尾兩位數(shù)能被 4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。(11) 若一個(gè)整數(shù)末尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。(12) 若一個(gè)整數(shù)各位數(shù)字之和能被 9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。(13) 個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7( 11或13)整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減小)能否被7( 11或13)整除(14) 末位數(shù)字為零的整數(shù)必能被10整除(15) 另外，一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)也是11的倍數(shù)

3、.(一個(gè)整數(shù)的個(gè)位、百位、萬(wàn)位、稱為奇數(shù)位，十位、千位、百萬(wàn)位 稱為偶數(shù)位.)(16) 至于6和12的整除特性，通過(guò)以上的原則判斷即可：各位數(shù)之和能被3 整除的偶數(shù)能被6整除；各位數(shù)之和能被3整除且末兩位數(shù)字組成的兩位 數(shù)能被4整除的整數(shù)能被12整除。（17）能被7整除的數(shù)的特征：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字去掉，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減 去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù),則原數(shù)能被7整除。如果數(shù)字仍然太 大不能直接觀察出來(lái)，就重復(fù)此過(guò)程。方法1、（適用于數(shù)字位數(shù)少時(shí)）一個(gè)數(shù)割去末位數(shù)字，再?gòu)牧粝聛?lái)的數(shù)中減去所割去數(shù)字的2倍，這樣，一次次減下去，如果最后的結(jié)果是7的倍數(shù)（包括0）,那么，原來(lái)的這個(gè)數(shù)就一定能

4、被 7整除例如：判斷133是否7的倍數(shù)的過(guò)程如下：13- 32 = 7,所以133是7的倍數(shù)；又例 女口判斷6139是否7的倍數(shù)的過(guò)程如下：613- 9X2= 595， 59- 52 = 49,所以6139是7的倍數(shù)，余類推。方法2、（適用于數(shù)字位數(shù)在三位以上）一個(gè)多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差，如果能被7整除，那么，這個(gè)多位數(shù)就一定 能被7整除.如判斷數(shù)280679末三位數(shù)字是679,末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是 280,679- 280=399, 399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也適用于判斷能否被11或13整除的問(wèn)題。女口： 283679的末三位數(shù)字是6

5、79,末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是 283, 679 283=396, 396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除.如：判斷383357能不能被13整除.這個(gè)數(shù)的未三位數(shù)字是357,末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)是 383,這兩 個(gè)數(shù)的差是：383-357=26, 26能被13整除，因此，383357也一定能被 13整除.方法3、首位縮小法，在首位或前幾位，減于7的倍數(shù)。例如，判斷452669能不能被7整除，452669-420000=32669只要32669 能被 7 整除即可。對(duì) 32669可繼續(xù)，32669-28000=4669,4669-4200=469, 469-420=49

6、, 49當(dāng)然被7整除，所以452669能被7整除。（18）能被11整除的數(shù)的特征：除了前面講的被7整除的方法二適用于11之外， 還可以把一個(gè)數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加 起來(lái),再求它們的差，如果這個(gè)差是11的倍數(shù)（包括0）,那么,原來(lái)這個(gè)數(shù)就一 定能被11整除。例如：判斷491678能不能被11整除。奇位數(shù)字的和9+6+8=23，偶位數(shù)位的和 4+1+7=12 , 23-12=11 因此,491678 能被 11 整 除。這種方法叫 奇偶位差法”。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查 7的割尾法處理！過(guò)程唯一不同的 是：倍數(shù)不是2而是1。(19) 能被13整除的數(shù)的特征：除了

7、前面講的被7整除的方法二適用于13之外，還可以把一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字去掉，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的 4 倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果數(shù)字仍然太大不能直 接觀察出來(lái)，就需要繼續(xù)上述截尾、倍大、相加、驗(yàn)和的過(guò)程，直到 能清楚判斷為止，重復(fù)此過(guò)程。例如：判斷1284322能不能被13整除。128432+2X4=128440，12844+0 4=12844，1284+4 4=1300,130013=100 所以，1284322 能被13整除。(20) 能被17整除的數(shù)的特征：把一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字去掉，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中， 減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果

8、數(shù)字 仍然太大不能直接觀察出來(lái)，就重復(fù)此過(guò)程。例如：判斷1675282能不能被17整除。167528-2 =16751816751-8 5=167111671-1 5=1666166-6 5=136如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述截尾、倍 大、相減、驗(yàn)差的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。6X5=30,現(xiàn)在個(gè)位X5=30剩下的13,就用大數(shù)減去小數(shù)，30-13=17，17勻7=1;所以1675282能被17整除。若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù) 能被17整除。(21) 能被19整除的數(shù)的特征：把一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字去掉，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中， 加上個(gè)位數(shù)的

9、2倍，如果和是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果數(shù)字 仍然太大不能直接觀察出來(lái)，就重復(fù)此過(guò)程。若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù) 能被19整除。(22) 被4或25整除的數(shù)的特征如果一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除，那么，這個(gè)數(shù)就一定能被 4或 25整除。例如：4675= 46X100+ 75由于100能被25整除，100的倍數(shù)也一定能被25整除，4600與75均能 被25整除，它們的和也必然能被25整除.因此，一個(gè)數(shù)只要末兩位數(shù)能 被25整除，這個(gè)數(shù)就一定能被25整除.又如：832= 8X100+ 32由于100能被4整除，100的倍數(shù)也一定能被4整除，800

10、與32均能被4 整除，它們的和也必然能被4整除因此，因此，一個(gè)數(shù)只要末兩位數(shù)字能被4整除，這個(gè)數(shù)就一定能被4整除.(23) 被8整除的數(shù)的特征如果一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8或125整除，那么，這個(gè)數(shù)就一定能被 8 或125整除.例如：9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整 除.72375的末三位數(shù)是375, 375能被125整除，72375就一定能被125 整除。(24) 1與0的特性：1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對(duì)于任何整數(shù) a，總有1|a.0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a 0,為整數(shù)，則a|0.(25) 被23或29整除的數(shù)的特征：若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的 差能被

11、23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23(或29)整除重點(diǎn)難點(diǎn)數(shù)的整除概念、性質(zhì)及整除特征為解決一些整除問(wèn)題帶來(lái)了很大方便，在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛。要學(xué)好數(shù)的整除問(wèn)題，就必須找到規(guī)律，牢記上面的整除性質(zhì)， 不可似是而非。學(xué)法指導(dǎo)能被2和5, 4和25, 8和125整除的數(shù)的特征是分別看這個(gè)數(shù)的末一位、末兩 位、末三位。我們可以綜合推廣成一條：末 n位數(shù)能被（或）整除的數(shù)，本身必 能被（或）整除；反過(guò)來(lái)，末n位數(shù)不能被（或）整除的數(shù)，本身必不能被（或） 整除。例如，判斷253200、371601能否被16整除，因?yàn)?，所以只要看各?shù)的末 四位數(shù)能否被16整除。學(xué)習(xí)這一講知識(shí)要學(xué)會(huì)舉一反三。經(jīng)典例題例1在

12、568后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除, 且使這個(gè)數(shù)盡可能小。思路剖析這個(gè)六位數(shù)分別被3、4、5整除，故它應(yīng)滿足如下三個(gè)條件：（1）各位數(shù)字和是3的奇數(shù)；（2）末兩位數(shù)組成的兩位數(shù)是4的倍數(shù)；（3）末位數(shù)為0或5。按此條件很容易找到這個(gè)六位數(shù)。解答不妨設(shè)補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字后的位數(shù)為，由于這個(gè)六位數(shù)被4、5整除，因?yàn)楸?整除, 所以c不能是5而只能是0,且b只可能是2、4、6、8、0。又因，所以3| （5+6+8+a+b+0）,所以：當(dāng) b=2 時(shí)，3|（ 5+6+8+a+2）, a 可為 0、3、6、9；當(dāng) b=4 時(shí)，3|（ 5+6+8+a+4）, a 可為 1、4、7

13、；當(dāng) b=6 時(shí)，3|（5+6+8+a+6）, a可為 2、5、8；當(dāng) b=8 時(shí)，3|（ 5+6+8+a+8）, a 可為 0、3、6、9；當(dāng) b=0 時(shí)，3|（ 5+6+8+a+0）, a 可為 2、5、8。為了使六位數(shù)盡可能地小，則 a應(yīng)取0、b應(yīng)取2、c應(yīng)取0。故能被3、4、5整除的最小六位數(shù)應(yīng)為568020。例2四位數(shù)能同時(shí)被2、3、5整除，問(wèn)這個(gè)四位數(shù)是多少？思路剖析能同時(shí)被2、3、5整除，所以滿足以下三個(gè)條件：個(gè)位數(shù)字 B在0、2、4、6 8 之中，各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，個(gè)位數(shù)B在0、5之中。第一個(gè)和第三個(gè)條件 都是針對(duì)個(gè)位數(shù)字的，所以先根據(jù)第二個(gè)條件確定百位數(shù)字A。解答要使能

14、同時(shí)被2和5整除，個(gè)位數(shù)字只能是B=0;又要使能被3整除，所以各位 數(shù)字之和8+A+1+0=9+A應(yīng)能被3整除?？梢钥闯觯?dāng) A取0、3、6、9時(shí)，各 位數(shù)字之和9+A可以被3整除。所求的四位數(shù)是8010、8310、8610、8910。例3有兩堆糖果，第一堆有513塊，第二堆有633塊，哪一堆可以平均分給9 個(gè)小朋友而無(wú)剩余？思路剖析本題實(shí)際上是判斷513與633能否被9整除。解答513各位上數(shù)字之和是5+1+3=9,能被9整除；633各位上數(shù)字的和是6+3+3=12， 不能被9整除。所以，第一堆可以平均分給9個(gè)小朋友而無(wú)剩余，第二堆平均分給9個(gè)小朋友還 剩余3塊。例4有一個(gè)四位數(shù)是9的倍數(shù)，

15、求A的值。思路剖析四位數(shù)是9的倍數(shù)，即能被9整除，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，這個(gè)四位數(shù)的 各位數(shù)字之和一定是9的倍數(shù)。解答（1）當(dāng)和是 9 時(shí)，3+A+A+1=9，即 2A=5，所以 A=2 . 5 （舍）；（2）當(dāng)和是 18 時(shí)，3+A+A+1=18，即 2A=14，A=7 ;（3）當(dāng)和是 27 時(shí)，3+A+A+1=27，即 2A=23，可見 A=11 . 510 （舍）。所以，A的值是7。例5 位馬虎的采購(gòu)員買了 72只桶，洗衣時(shí)將購(gòu)貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到： 72只桶，共口67 9元（內(nèi)的數(shù)字洗爛了），請(qǐng)你幫他算一算，他一共用了多 少錢？思路剖析用整除性質(zhì)：一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)數(shù)和的積整除，

16、那么這個(gè)數(shù)就能同時(shí)被這兩個(gè)數(shù)整 除。例如，整數(shù)a能被15整除，那么這個(gè)數(shù)一定能同時(shí)被 3和5整除。這種方 法是分析整數(shù)問(wèn)題的基本方法。解答將口679元看做口679分，這是72只桶的總價(jià)，因?yàn)閱蝺r(jià)X 72=口679所以口679口 能被72整除。72=8X9，所以 679應(yīng)該能被8和9整除。如果口679能被8整除，那么它的末三位一定能被 8整除，即8|79 容易算出 內(nèi)是2。因?yàn)榭?792能被9整除，所以其各數(shù)之和能被9整除。 +6+7+9+2W +24顯然， 中的數(shù)只能是3。所以這筆賬是367. 92元。答：一共用了 367. 92元。例6在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得六位數(shù) 678被& 9和25整除

17、。解答解法一：根據(jù)& 9和25整除的數(shù)的特征很容易解出此題。這個(gè)六位數(shù)能被25整除，根據(jù)能被25整除的數(shù)的特征知，六位數(shù)的末兩位數(shù)可 能是00、25、50、75;該數(shù)又能被8整除，所以這個(gè)六位數(shù)的末三位數(shù)應(yīng)能被 8 整除，而在800、825、850、875中只有800滿足條件，所以這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位、 十位都是0;又因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能被9整除，所以這個(gè)六位數(shù)的各位數(shù)字之和（不 妨設(shè)首位為x）為：x+6+7+8=21+x能被9整除，可推出x只能為6,所以這個(gè)六位數(shù)為667800。解法二：根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)（4）：如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù) 整除，那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。因?yàn)?2

18、5=200,而且8與25互質(zhì)，根據(jù)整除的性質(zhì)（4）,所求的六位數(shù)能被 200整除，所以個(gè)位、十位都應(yīng)該是 0。然后由這六位數(shù)能被9整除，和解法一 一樣的方法可知這個(gè)六位數(shù)為 667800。例7有一水果攤一天進(jìn)貨6筐，分別裝著香蕉和蘋果，重量為8千克、9千克、 16千克、19千克、23千克和27千克。頭一天賣出一筐蘋果，在剩下的5筐中， 香蕉的重量是蘋果重量的2倍。問(wèn)賣掉的那筐重多少千克？剩下的 5筐，哪幾筐 是蘋果，哪幾筐是香蕉？思路剖析根據(jù)已知條件：剩下的5筐中香蕉的重量是蘋果的2倍?？赏瞥觯菏Ｏ碌?筐中 香蕉重量與蘋果重量之和是3的倍數(shù)，即能被3整除。解答因?yàn)?筐水果的總重量：8+9+16

19、+19+23+27=102 （千克），根據(jù)題意，剩下的 5 筐中香蕉與蘋果總重量之和是3的倍數(shù)，那么賣出的一筐蘋果也必須是3的倍數(shù)。從6筐水果數(shù)中可知有兩種情況，賣出一筐蘋果可能是9千克或是27千克。如果賣出的一筐蘋果是9千克，那么102-9=93（千克）。根據(jù)剩下的5筐中香蕉 的重量與蘋果總重量的2倍，則蘋果為93（ 1+2） =31 （千克）。從剩下的8、 16、19、23和27中可知8千克和23千克為蘋果（8+23=31）。最后剩下16千 克、19千克和27千克這三筐為香蕉。如果賣出的一筐蘋果是27千克，同理，102- 27=75（千克），蘋果為75說(shuō)1+2）=25（千 克），即16千克

20、與9千克這兩筐。香蕉便是最后剩下的 8千克、19千克和23千 克這三筐。所以本題有兩種答案：如果賣出的那筐是9千克蘋果，則剩下的5筐中8千克、 23千克兩筐為蘋果，16千克、19千克和27千克三筐為香蕉。如果賣出的那筐 是27千克蘋果，則剩下的5筐中9千克、16千克兩筐為蘋果，8千克、19千克、 23千克三筐為香蕉。例8把1至1997這1997個(gè)自然數(shù)依次寫下來(lái)，得一個(gè)多位數(shù)1234567891011121319941995199619Q7試求這個(gè)多位數(shù)除以 9的余數(shù)。思路剖析根據(jù)一個(gè)數(shù)能被9整除的特征可以知道：一個(gè)自然數(shù)除以9的余數(shù)，等于這個(gè)自 然數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù)。所以上面求多

21、位數(shù)除以9的余數(shù)問(wèn)題，便 轉(zhuǎn)化為求1至1997這1997個(gè)自然數(shù)中所有數(shù)字之和是多少的問(wèn)題。解答解法一：因?yàn)?至9這9個(gè)數(shù)字之和為45,所以10至19,20至29,30至39,， 80至89,90至99這十個(gè)數(shù)的各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：45+10,45+20,45+30, 45+40,，45+80, 45+90。所以，1至99這99個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和為： 45+55+65+125+135=900因?yàn)?至99這99個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和為 900,所以100至199, 200至299,，800至899,900至999這些100個(gè)數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：900+100, 900+200,

22、，900+800, 900+900。所以，1至999這999個(gè)自然數(shù)各位上數(shù)字 之和為：900+1000+1700+1800=13500因?yàn)?至999這999個(gè)自然數(shù)各位上數(shù)字和為13500,所以1000至1999這1000 個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為 13500+1000=1450(,這樣1至1999這1999個(gè)自 然數(shù)各數(shù)位的數(shù)字和為：13500+14500=28000 1998、1999這兩個(gè)數(shù)各數(shù)位上的 數(shù)字和為：27、28。28000- 27- 28=27945, 9能整除27945,所以多位數(shù)除以9 余0解法二：將0至1999這2000個(gè)自然數(shù)一頭一尾搭配成如下的 100組：(0,

23、 1999),( 1, 1998),( 2, 1997),( 3, 1996),( 4, 1995),( 5,1994),(6, 1993)(7,1992),(8, 1991)(9,1990), (10,1989),，(994, 1005), (995, 1004), (996, 1003), (997, 1002), (998, 1001)(999, 1000),以上各組兩數(shù)之和為1999,并且每一組數(shù)相加時(shí)都不進(jìn)位，1 至1999這1999個(gè)自然數(shù)的所有數(shù)字之和等于：(1+9+9+9) X1000=280001998、1999這兩個(gè)數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和為：27、28。28000 27 28

24、=27945,9能整除27945,所以多位數(shù)除以9余0。解法三：因?yàn)橐来螌懗龅娜我膺B續(xù) 9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)，一定能被 9 整除。而從 1 至 1997 共有 1997 個(gè)數(shù)，1997- 9=2218, 1990、1991、1992、 1993、1994、1995、1996、1997這8個(gè)數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字和為 19+20+21+22+23+24+25+26=180, 180能被9整除，所以多位數(shù)除以 9余0。點(diǎn)津?yàn)槭裁匆来螌懗龅娜我膺B續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被 9整除呢？下面 解釋一下。因?yàn)槿我膺B續(xù)的9個(gè)自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字和除以 9的余數(shù)，必定 是0，1, 2，7, 8這9個(gè)數(shù)，而這9個(gè)數(shù)的和為36, 36能被9整除，所以任 意依次寫出的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)一定能被 9整除。發(fā)散思維訓(xùn)練1 這個(gè)四位數(shù)，同時(shí)能被2、3、4、5、9整除，求此四位數(shù)。2. 55塊糖分給甲、乙、丙三人，甲分到糖的塊數(shù)是乙的2倍，丙最少，但也多 于10塊，三個(gè)人各分幾塊？3. 已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？4. 老師買了 72本相同的書，當(dāng)時(shí)沒有記住每本書的價(jià)格，只用鉛筆記下了用掉 的總錢數(shù)口 13 7元，回校后發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)數(shù)