解析幾何新題型的解題技巧總結(jié)

1、第七講解析幾何新題型的解題技巧【命題趨向】 解析幾何例 命題趨勢：1. 注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置關(guān)系，此類題大多都屬中、低檔題，以選擇、 填空題的形式出現(xiàn)，每年必考2. 考查直線與二次曲線的普通方程，屬低檔題，對稱問題常以選擇題、填空題出現(xiàn)3. 考查圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和基本方法的題多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)有一定靈活性和綜合性較強(qiáng) 的題，如求軌跡，與向量結(jié)合，與求最值結(jié)合，屬中檔題分值一般在17-22分之間，題型一般為 1個(gè)選擇題，1個(gè)填空題，1個(gè)解答題.【考點(diǎn)透視】一. 直線和圓的方程1 理解直線的斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握

2、直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件 熟練地求出直線方程.2. 掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的/亠護(hù)方位置關(guān)糸.3. 了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.4. 了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡單的應(yīng)用.5. 了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.6. 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.二. 圓錐曲線方程1. 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).2. 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).3. 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).4. 了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.【

3、例題解析】考點(diǎn)1.求參數(shù)的值求參數(shù)的值是高考題中的常見題型之一，其解法為從曲線的性質(zhì)入手，構(gòu)造方程解之.2 2例1 . （2006年安徽卷）若拋物線 y 2px的焦點(diǎn)與橢圓 工 乂 的右焦點(diǎn)重合，貝U p的值為（）6 2A.2B. 2 C .4D. 4考查意圖：本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì)2 2解答過程：橢圓 1 仝1的右焦點(diǎn)為（2,0），所以拋物線y 2px的焦點(diǎn)為（2,0）,則p 4，故選D.6 2考點(diǎn)2.求線段的長求線段的長也是高考題中的常見題型之一，其解法為從曲線的性質(zhì)入手 ，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式解之例2. （2007年四川卷文）已知拋物線y-x

4、 2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn) A、B,則|AB|等于考查意圖：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公式的應(yīng)用解：設(shè)直線 AB的方程為yx b，由yx2 32x x b 3 0x1 x21，進(jìn)而可求出AB的中點(diǎn)1111M（，b），又由 M（，22222二x x 20，由弦長公式可求出b）在直線x y 0上可求出b 1,AB 1 12 12 4 ( 2)3 2 .故選C2 2例3. （2006年四川卷）如圖，把橢圓 冬y_ 1的長軸2516AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作 x軸的垂線交橢圓的上半部則 PF| |F2F| |眛| IP4FI IP5F |P6q IP7F .考查意

5、圖：本題主要考查橢圓的性質(zhì)和距離公式的靈活應(yīng)用2 2解答過程：由橢圓二y_ 1的方程知a225, a 5.25167 2a- |PF |F2F| RF RF F5F |RF| |F7F7 a 7 5 35.故填35.考點(diǎn)3.曲線的離心率曲線的離心率是高考題中的熱點(diǎn)題型之一，其解法為充分利用：（1）橢圓的離心率e= C （0,1） （ e越大則橢圓越扁）;a 雙曲線的離心率e= C （1,） （ e越大則雙曲線開口越大）.a結(jié)合有關(guān)知識來解題.例4. （2007年全國卷）文（4)理（4）已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是（4,0） , （4,0），則雙曲線方程為2 2222 222A.11 B .x

6、L 1c .x_1Dx ” ,乂 14 1212410 6610考查意圖：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念解答過程：Q e C 2,c 4,所以 a 2,b2 12.故選（A）.a 小結(jié)：對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念，要注意認(rèn)真掌握.尤其對雙曲線的焦點(diǎn)位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會(huì).例5. （2006年廣東卷）已知雙曲線 3x2 y2 9,則雙曲線右支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之比等于（）A.2B.2 3 C. 23考查意圖：本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和離心率e= c （1, +8 ）的有關(guān)知識的應(yīng)用能力.a解答

7、過程：依題意可知a V3,cVa2 b239 2*3 -考點(diǎn)4.求最大（?。┲登笞畲螅ㄐ。┲?，是高考題中的熱點(diǎn)題型之一.其解法為轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題或利用不等式求最大（小）值:特別是，一些題目還需要應(yīng)用曲線的幾何意義來解答.例6. （2006年山東卷）已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P（4,0）的直線與拋物線相交于A（X1,y”,B（x 2,y 2）兩點(diǎn)，貝U y/+y22的最小值是.考查意圖：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及利用不等式求最大（?。┲档姆椒?解:設(shè)過點(diǎn)P（4,0）的直線為y k x 4 , k2 x2 8x 164x,k2x28k24 x16k20,228k241y：討;4 人

8、 X24216 2232.kk故填32.考點(diǎn)5圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用；常用的 解題技巧要熟記于心.例7. （2007年廣東卷文）與圓CQ的坐所求的圓的方程為(2)由已知可得橢圓的方程為2a2x25(x 2)210 ,2乞1 ,9(y 2)2 8a 5.右焦點(diǎn)為 F( 4, 0);假設(shè)存在Q點(diǎn),22.2sin使QFOF， 22 2 .2 cos42 2 2sin4 整理得 sin 3cos2 .2 ,代入 sin2得:10cos2122coscos2cos12 21012 2 2,210在平面直角坐標(biāo)系

9、xOy中,已知圓心在第二象 限、半徑為2斗2的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn) O橢圓蘭 蘭=1 孑9的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.(1) 求圓C的方程；(2) 試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn) Q,使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段 OF的長若存在，請求出點(diǎn) 標(biāo)；若不存在，請說明理由考查目的本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解 決問題的能力.解答過程 設(shè)圓C的圓心為(m, n)則m n，解得m 2,n .2 2 2,n 2.因此不存在符合題意的 例8. (2007年安徽卷理)如圖，曲線G的方程為y22x(y 0).以原點(diǎn)為圓心，以

10、t(t0)為半徑的圓分別與曲線 G和y軸的正半軸相交于 A與點(diǎn)B.直線AB與x軸相交于點(diǎn)C(I)求點(diǎn) A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；(H)設(shè)曲線 G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a 2,求證：直線CD的斜率為定值.考查目的本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標(biāo)素中的 兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力與思維能力，綜合分析問題的能力 解答過程(I )由題意知，A(a, 2a).因?yàn)?|OA| t,所以a2 2a t2.由于t 0,故有ta2 2a.(1)由點(diǎn)B( 0, t), C( c, 0)的坐標(biāo)知，直線 BC的方程為 y 1c t又因點(diǎn)A在直

11、線BC上，故有a1c t ,將(1)代入上式，得a 2a_ 1解得c a 2、_2).c .a(a 2)(II )因?yàn)镈(a 2 2(a 2)，所以直線CD的斜率為,2(a 2)v2(a 2)2(a 2),kcD1 a 2 c a 2 (a 2 2(a 2)72(a 2)所以直線CD的斜率為定值.2 2例9已知橢圓E：篤 與1(a b 0)，AB是它的一條弦，M(2,1)是弦AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)M(2,1)為焦點(diǎn)，橢圓E a b的右準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線C和直線AB交于點(diǎn)N(4, 1)，若橢圓離心率 e和雙曲線離心率e,之間滿足eq 1 ,求：(1)橢圓E的離心率；(2)雙曲線C的方程.解答過程

12、：(1)設(shè) A、B坐標(biāo)分別為 A(x !，y!),B(x2,y2),2 222貝y X1y11 5X2y2 1，二一式相減得:孑畀2 ab2 1kABy1y2(X12X2)b22b2k2kMN12(4) 1，X1X2(y1y2)aa所以a22b22(a22 2c ), a2c2,則 e 2 J ；a 2(2)橢圓2e的右準(zhǔn)線為x a_(2c)22c，雙曲線的離心率e12,cce設(shè)P(x, y)是雙曲線上任一點(diǎn)，則:|PM | (X 2)2 (y 1)22，|x 2c|x 2c|兩端平方且將N(4, 1)代入得：c 1或c 3，當(dāng)c 1時(shí)，雙曲線方程為：(X 2)2 (y 1)20,不合題意，舍

13、去；當(dāng)c 3時(shí)，雙曲線方程為：(x 10)2 (y 1)2 32，即為所求小結(jié)：(1)“點(diǎn)差法”是處理弦的中點(diǎn)與斜率問題的常用方法；(2)求解圓錐曲線時(shí)，若有焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，則通常會(huì)用到第二定義考點(diǎn)6利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計(jì)算典型例題：2 2例10. (2006年山東卷)雙曲線 C與橢圓 y_ 1有相同的焦點(diǎn)，直線 y= 3x為C的一條漸近線.8 4(1)求雙曲線C的方程； 過點(diǎn)P(0,4)的直線l，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合)當(dāng)PQ 1QA 2QB，且8時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).3,以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，方

14、程和轉(zhuǎn)化2 2(I)設(shè)雙曲線方程為解答過程:考查意圖：本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力 的思想解決問題的能力2 由橢圓x_82y 1，求得兩焦點(diǎn)為(2,0),(2,0),47 7 1,對于雙曲線C:c 2，又y3x為雙曲線C的一條漸近線b 3 解得 a21,b23,2雙曲線C的方程為x2 y 13(n)解法一 由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)I的方程:kx 4,A(x，yJ , B(xz,y2)，則 Q(存).uur Q PQiuntQA，1(x14kY1).1(X4k-Q A(X1,y1)在雙曲線C上,16 1J21160-216 32 1 16 116

15、2k30.(16k2)32 116 蘭 k230.同理有：(16 k2)160.若16k2 0,則直線I過頂點(diǎn),不合題意162k 0,2是二次方程2 2(16 k )x32x 162 0的兩根.322 k2 168, k234，此時(shí)0, k 2.所求Q的坐標(biāo)為(2,0).解法二：由題意知直線I的斜率k存在且不等于零設(shè)1的方程，ykx 4,A(x,yJ, B(x2,y2)，則 Q( - ,0) . kuLiruuuq pq 1qa,uuiq分PA的比為1.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得41X1k 1104 心11xiy1(11)下同解法一解法三：由題意知直線I的斜率k存在且不等于零設(shè)1的方程：y kx 4

16、, A(x,y1), By)，則 Q( 4,0). kuur q pquuruuu1 qa 2 QB，(4Jk4)1(x1 -k4,y1)2(x2, y2)k41 y1 2 y2 ,14，24?y1y2又18 12丄25即 3(y1y2)2%y2.3yy232將 y kx 4代入 x2 乞 1 得(3 k2)y2 24y 48 3k20.3Q3 k20 ,否則I與漸近線平行24丫- 口-48 3k2k2-2448 3k3 -3 k-3 k-Q( 2,0).解法四：由題意知直線得斜率k存在且不等于零，設(shè)I的方程:y kx 4 , A(X1,yJ, B(x-, y-),則 q( ,。) kuuv

17、Q PQuuviQA,4,4)41(X1 W4k4k44.同理kxi 44kx24kx14 kx2422k xn5k(x x2)(*)y kx-y 彳X13消去y得(3 k-)x-當(dāng)3 k-0時(shí)，8kx則直線190.與雙曲線得漸近線平行，不合題意，3 k- 0.由韋達(dá)定理有:X1X2XlX28k3 k2193k2代入(*)式得所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(例11 . (2007年江西卷理)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A I , 0)和B(1 , 0)的距離分別為d1和d2,/ APB= 2 0 ,且存在常數(shù)入(0 v入v 1 =,使得d1d2 sin 2 0 =入.(1) 證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出 C的方程；

18、(2) 過點(diǎn)B作直線交雙曲線 C的右支于 M N兩點(diǎn)，試確定入的范圍， 使OM ON = 0,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).考查目的本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.k24,k2,0) 解答過程解法 1 : (1 )在厶 PAB 中，AB 2，即 2- d1- d； 2d1d-cos2 ,4 (d1 d-)- 4d1d- sin-，即 d1 d2|44did2 sin222 (常數(shù))，點(diǎn)P的軌跡C是以A, B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2方程為：丄12a 2 1 的雙曲線.(2)設(shè) M(x,2y- 1.y), n(x2,討2N(1, 1)在雙

19、曲線上.1，所以 Aj .21，M (1,1),當(dāng)MN垂直于X軸時(shí)，MN的方程為X1、5，因?yàn)?2當(dāng)MN不垂直于X軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y k(x 1).2 2由1y k(x1得:(1 )k2 x2 2(1 )k2x (1)(k2)1)由題意知:(1)k20，所以X1X222k (12(1)(k(1疋：1)(X2因?yàn)镺M ONk2 21)2 (1 )kN在雙曲線右支上,所以X1X2Zx1x20X1X20k2k2由知,.5解法2:(1)1 0),則直線l的方程為y=x-x o,設(shè)直線I與橢圓相交于 P （xi, yi） , Q（X2、y2）,由y=x-x 0XiX2?3Xi X23i6Xo228X

20、o48I XiX2 1(XiX2)24xix29即4 i432.4 -.i4iX2 |xiX2 1，2333 2 xo =4,又 xoo,. xo=2, A (2,o).9. i; k | PFi | |PF|(a ex)(a ex)2 a2 e4xo2j36 2x。2 .3 36 2x。2 .2 x2+2y2=1222xo i2io.ii .解（i）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y），則點(diǎn)Q（o, y） , PQuuu(x,o), PAC-2 x, y),ULU PB(2x, y),UUU ULU PA PBX222 y ,因?yàn)閁UL PAUUL PBUUUU2PQ2 ,所以2 X2 y22x2,

21、即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：2y2 X2 ；(2)設(shè)直線 m： y k(x , 2)(o k i),依題意，點(diǎn)C在與直線m平行，且與m之間的距離為 2的直線上,設(shè)此直線為mi: y kx2222，整理得：(k i)x 2kbx (b 2) o ,b，由I辦b| 2，即b22 2kb 2,則4k2b24(k2i)(b2 2)22o,即 b 2k 2 ,由得：k2 5,b55此時(shí)，由方程組2 5ioyX55C(2 .2, io)*2yX22把y kx b代入y2 x22212 解：（1）依題意得：c 3，ac4，所以 a 2，b23x2所求雙曲線C的方程為4(2)設(shè) P(xo,y。),M(x i,yi)

22、 , N(X2,y2)，則 Ai(2,0),A 2(2,0),juurA1P (x2,yo)，uuruuuur10A2P (X0 2,y)，A1M(三1)，uuurA2N2 、3,%)，uuujruuur因?yàn)锳1P與A1M共線，故10(x 02)y 1 y0，yi10y3(x0，同理:2）y22y 03(x02)uuuj 13則FM (亍yj，uuuuF2Nuuun ujiu所以FJM F2N659yy =65920y29(x24)65920,5(x2 4)429(X0 4)10 -13.解:(1)因?yàn)閡uu|OF|2，則 F(2,0)ULU，OF (2,0)，設(shè) Q(x,y)，則 FQ(X0

23、2,y),UUUOFuuriFQ2(X02)解得Xuuu1由S 2|OF|y0|yly。1，故 Q(-,2 22)，所以，PQ所在直線方程為uur(2)設(shè) Q(X0,y)，因?yàn)?|OF|UJUc(c 2)，則 FQ(x。c,y。），uuu uuu由 OF FQ c(x0 c) 1 得:x13又 S c|y01 c,則 y0 小43 uurr 2-)，|OQ|2 (c221 Q(cc32 與 c易知，當(dāng)c 2時(shí),94uur5|OQ|最小，此時(shí)Q(5,23），2設(shè)橢圓方程為務(wù)a2y_b21,(a b0），則a2 b2254a 494b2，解得1a210b26 所以，橢圓方程為106urir3 uuury)，由PM-MQ得：2P(0,(3,y)(x, 3y)0，即 y24x14解:（1）設(shè) M（x,y2x2uur unr由HP PM 0得:x)，Q(3,0)，由點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，故X 0，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以（0,0）為頂點(diǎn)，以（1,0）為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn);(2)設(shè) m:y k(x 1)(k0)，代入 y 4x 得：2299k x2 (k2 )x k 0設(shè)A(x !, y!), B(x 2,y2)，則xX2是方程的兩個(gè)實(shí)根,則 x1 x22(k22)2 k