數(shù)學(xué)概念形成探究論文_0

1、數(shù)學(xué)概念形成探究論文 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用（包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運用）等階段。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，很多教師往往不注重概念的形成過程，只重視概念的運用，忽視數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與形成的重要階段，強行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，無從體現(xiàn)學(xué)生的主體性，將嚴(yán)重影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，阻礙學(xué)生的能力發(fā)展。造成這種現(xiàn)象的原因，一方面是由于教師的教學(xué)觀念比較陳舊，在教學(xué)中不重視學(xué)生的思維活動,不能使學(xué)生的認(rèn)知過程成為一個再創(chuàng)造的過程,實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用；另一方面是許多教師不知如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動。

2、在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何設(shè)計有效的問題情景，充分調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)活動，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動，探究規(guī)律，得出新的數(shù)學(xué)概念。從而使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，提高他們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識水平，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)要研究的首要問題。 一、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景的途徑 數(shù)學(xué)概念有些是由生產(chǎn)、生活實際問題中抽象出來的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)概念源于生活實際，但又依賴已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生。根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式及數(shù)學(xué)思維的一般方法，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點，可以用下列幾種方法來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景。 （一）回顧已有

3、相似概念，創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景 中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。 例1異面直線的距離的教學(xué) （1）展示概念背景：向?qū)W生指出：刻劃兩條異面直線的相對位置的一個幾何量異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，若要刻劃其遠(yuǎn)近程度，需要用另一個量異面直線之間的距離。 （2）創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景：先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下過去學(xué)過的有關(guān)距離的概念（點與點間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離），并概括出它們的共同點：各種距

4、離概念都?xì)w結(jié)為點與點間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。 （3）啟迪發(fā)現(xiàn)階段：指出定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，然后引導(dǎo)學(xué)生討論：異面直線a、b上哪兩點之間的距離最??？為什么？ 進(jìn)一步誘導(dǎo)：如右圖，過直線a上一點B作 AB直線b，垂足為點A，則線段AB的長為異面直線a,b間的距離,對嗎?因為過A作AC直線a，垂足為C，在RTABC中有ABAC,即AB不具有最小性。再過C作CD直線b，如此下去，線段只垂直于a、b中的一條時,總是某直角三角形的斜邊,不可能是a、b上任兩點間距離的最小者，那么，異面直線a、b上任兩點間距離的最小者到底應(yīng)該是哪條線段的長呢？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：可能是與異面直線

5、a、b都垂直相交的線段。 （4）表述論證階段：最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：異面直線a、b的公垂線段MN的長度具有最小性,又公垂線是唯一的，所以，可以把線段MN定義為異面直線a,b之間的距離。 以上通過引導(dǎo)學(xué)生研究已有“距離”概念的本質(zhì)特點，即產(chǎn)生新的概念的“生長點”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學(xué)生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)的模與實數(shù)的絕對值類比、二次方程與一次方程的類比、空間的二面角與平面的角類比等等。 這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新舊概念的相似點，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，

6、如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無限的類比，還有方法類比、結(jié)構(gòu)類比、形式類比等等），可使學(xué)生更好地認(rèn)識、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯誤的類比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。 （二）由已有相關(guān)概念的比較，創(chuàng)設(shè)歸納發(fā)現(xiàn)的問題情景 有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念。 例2復(fù)數(shù)概念的教學(xué) 先回顧已經(jīng)歷過的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實： 正整數(shù)自然數(shù)非負(fù)有理數(shù)有理數(shù)實數(shù)，然后教師提出以下問題: （1）上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？ 實際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運算無法進(jìn)行，數(shù)集的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了如下規(guī)律：

7、每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素； 在原數(shù)集內(nèi)成立的運算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立； 擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題。 有了上述準(zhǔn)備后，教師提出問題：負(fù)數(shù)不能開平方的事實說明實數(shù)集不夠完善，因而提出將實數(shù)集擴(kuò)充為一個更為完整的數(shù)集的必要性。那么，怎樣解決這個問題呢？ （2）借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)充實數(shù)集，引入新元素i，并作出兩條規(guī)定。（略） 這樣學(xué)生對i的引入不會感到疑惑，對復(fù)數(shù)集概念的建立也不會覺得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。 這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是揭示出相關(guān)概念的擴(kuò)充發(fā)展的背景及其規(guī)律，從而引發(fā)新的

8、數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。 （三）聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)引發(fā)猜想的問題情景 許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點設(shè)計成問題情景，引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。 例3異面直線所成角的概念教學(xué) （1）展示概念背景：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請學(xué)生觀察圖中有幾對異面直線？接著提問：從位置關(guān)系看，同為異面直線，但它們的相對位置，是否就沒有區(qū)別？教師緊接著說：既然有區(qū)別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對位置顯然是不夠的。在生產(chǎn)實際與數(shù)學(xué)問題中，有時還需要進(jìn)一步精確化，這就提出了一個新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對位置，或者說，引進(jìn)一些什么

9、數(shù)量來刻劃這種相對位置？ (2)情境設(shè)計階段：我們知道平面幾何中用“距離”來刻劃兩平行直線間的相對位置，用“角”來刻劃兩相交直線間的相對位置，那么用什么來刻劃兩異面直線的相對位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個角，用它的大小來度量異面直線的相對傾斜程度。為了解決這個問題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線、（但交點在紙外）現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出、所成的角的大??？ (3)猜想發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問題的方法是過一點分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后

10、能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線的角（即過一點分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角） (4)表述論證階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？（以上即是存在性和確定性問題）通過解決以上兩個問題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在（0，內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點O（一線的平行線與另一線的平行線的交點）的選取無關(guān)，點O可任選一般總是將點選在特殊位置至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個過程中滲透了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法。 這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新、舊數(shù)學(xué)概念間的本質(zhì)屬性

11、，為新概念的產(chǎn)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)墓讨c，使其孕育新的數(shù)學(xué)概念的形成。 （四）提供感性材料,創(chuàng)設(shè)抽象與概括的問題情景 有些數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實生活，是從生產(chǎn)、生活實際問題中抽象出來的，對于這些概念的教學(xué)要通過一些感性材料，創(chuàng)設(shè)抽象與概括的情景，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。 例4數(shù)軸概念的教學(xué) 教師先出示下列問題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，那么，小張從家出發(fā)，走到書店應(yīng)記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計顯示零上20C，零下3C，你如何用有理數(shù)表示。 教師接著要求學(xué)生將上述兩個問題分別用簡單形象的圖示方法來描述它們，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出它們的共同屬性

12、： （1）能用圖線表示事物的數(shù)量特征（可用同一直線上的線段來刻劃）（2）度量的起點（0C和小張家）（3）度量的單位（溫度計每格表示1C）（4）有表示相反意義的方向（向東為正，向西為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)） 這樣就啟發(fā)學(xué)生用直線上的點表示數(shù)，對于“表示相反意義的方向”用箭頭“”表示正方向，從而引進(jìn)“數(shù)軸”的概念。這樣做符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，給學(xué)生留下深刻持久的印象，同時也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極參與教學(xué)活動，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和素質(zhì)的提高。 這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要遵循認(rèn)識規(guī)律，從感性到理性，從具體到抽象，通過學(xué)生熟悉的實際例子，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計一些問題，讓學(xué)生經(jīng)過比較、

13、分類、抽象等思維活動，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，最后通過概括得出新的數(shù)學(xué)概念。 （五）通過學(xué)生實驗，創(chuàng)設(shè)觀察、發(fā)現(xiàn)的問題情景 有些數(shù)學(xué)概念可以通過引導(dǎo)學(xué)生從自己的親自實驗或通過現(xiàn)代教育技術(shù)手段演示及自己操作（如幾何畫板提供了很好的工具）去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成，讓學(xué)生在動手操作、探索反思中掌握數(shù)學(xué)概念。 例5橢圓概念的教學(xué) 可分下列幾個步驟進(jìn)行：（1）實驗獲得感性認(rèn)識（要求學(xué)生用事先準(zhǔn)備的兩個小圖釘和一長度為定長的細(xì)線，將細(xì)線的兩端固定，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動，畫得圖形為橢圓）（2）提出問題，思考討論。橢圓上的點有何特征？當(dāng)細(xì)線的長等于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？當(dāng)細(xì)線的長

14、小于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？你能給橢圓下一個定義嗎？（3）揭示本質(zhì)，給出定義。象這樣，學(xué)生經(jīng)歷了實驗、討論后，對橢圓的定義的實質(zhì)會掌握得很好，不會出現(xiàn)忽略橢圓定義中的定長應(yīng)大于兩定點之間的距離的錯誤。 這類數(shù)學(xué)概念的形成一定要學(xué)生動手操作實驗，仔細(xì)觀察，并能根據(jù)需要適當(dāng)變換角度來抓住問題的特征以解決問題。培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力是解決這類問題的關(guān)鍵。除了真實的實驗外，還可以充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)設(shè)計一些仿真實驗，實驗的設(shè)計不能只是作為教師來演示的一種工具，而是要能由學(xué)生可以根據(jù)自己的思路進(jìn)行動手操作的學(xué)具，讓學(xué)生通過實際操作學(xué)會觀察、學(xué)會發(fā)現(xiàn)！ 以上列舉的幾種方法不是獨立的，而是相互聯(lián)系的

15、，有些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與形成過程需要綜合運用多種方法才能創(chuàng)設(shè)出利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題情景。 二、數(shù)學(xué)概念形成階段教學(xué)應(yīng)注意的問題 在創(chuàng)設(shè)問題情景時，還應(yīng)創(chuàng)設(shè)師生共同研究問題的良好氛圍。教師要積極鼓勵學(xué)生獨立提出問題、獨立分析、解決問題，還要鼓勵學(xué)生之間互相研討問題，大膽向教師提問題或提出創(chuàng)見性的觀點，努力營造一種師生之間平等共同研討、分析解決問題的民主氣氛，形成師生間和諧良好的人際關(guān)系，使課堂教學(xué)充滿活力。在教學(xué)中要注意以下問題： （一）注意問題的呈示方式 有了合適的問題情景，還必須注意問題的呈示方式。我們認(rèn)為：問題的呈示要以學(xué)生主體的充分發(fā)揮為前提，重視知識的發(fā)現(xiàn)和探索過程，重視學(xué)生的內(nèi)心體驗。通

16、過問題的呈示能使學(xué)生充分地展開思維活動（包括動手、動腦），教師應(yīng)留給學(xué)生一定的思考時間和空間，不要急于將答案告訴學(xué)生，應(yīng)把發(fā)現(xiàn)問題的機會，大智若愚地讓給學(xué)生，讓學(xué)生的思維得到充分的暴露，教師根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的一些問題，有針對性地組織討論、辨析，并在關(guān)鍵處予以點撥，真正使學(xué)生體驗到新的數(shù)學(xué)概念的形成過程。 （二）教學(xué)形式要多樣化 課堂教學(xué)從本質(zhì)上說是一種“溝通”與“合作”的活動，是教師主導(dǎo)與學(xué)生主體相互作用以實現(xiàn)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的過程，要使這個過程順利進(jìn)行，必須充分發(fā)揮師生雙方的積極性和主動性。為了充分調(diào)動學(xué)生的積極性，教學(xué)形式應(yīng)盡可能多樣化。教學(xué)不能只是教師的講授，還應(yīng)包括學(xué)生的獨立自主探究，集體研

17、究，小組討論或先學(xué)生獨立研究再相互交流，或帶著問題自學(xué)等多種方式。這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。至于如何確定教學(xué)形式，這要考慮所研究問題的難易程度及學(xué)生的知識和思維水平。一般來說，要盡可能讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動，只要學(xué)生有能力通過活動解決的問題，就應(yīng)該讓學(xué)生獨立完成。對有一定難度的問題，可先讓學(xué)生獨立研究，再組織小組交流（教師參與小組研究，并在關(guān)鍵處作適當(dāng)點撥），最后師生一起探索得出結(jié)論。 （三）滲透數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識點，是感性認(rèn)識飛躍到理性認(rèn)識的結(jié)果，而飛躍的實現(xiàn)要依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成。因此教師應(yīng)注意將在解決問題的過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法顯化，對解決問題的思維策略進(jìn)行提煉，讓學(xué)生學(xué)會思維，提高自我探索、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的能力。如例5中學(xué)生根據(jù)操作過程類比圓的概念產(chǎn)生這樣