整理向量代數(shù)與空間解析幾何

1、精品文檔2 -11 -13-1I,IIIC = 5i j 7k十、向量代數(shù)與空間解析幾何1設(shè) a 二3, _1, _2 ,b =1,2, -1,求(2a) 3b 和 a b.解：(-2a)3b = ( 3 1( -1) 2 (2) ( 1) = -18精品文檔2. a =2 i -3 j k， b=i-j 3k， c = i2 j，求(a b) (be) 解:(a-b)(bc)=(3_4j4k)(2, _3j3#)i J3-42-3-44t-34|j +3-4-33232-3y3.求過點(3,0, -1),且與平面3x -7y - 5z -12 =0平行的平面方程。 解：因為所求平面與平面3x

2、 -7y - 5z _12=0平行，所以其法向量n =3： 7：5k由點法式得 所求的平 面方程為3(x-3) -7( y -0) 5(z 1) =0即3x -7y 亠5z -4=04 求過點M0(2,9, -6)且與連接原點O及點M0的線段OM0垂直的平面方程 解：向量OM。所求平面的法向量 n =2i 9J -6k由點法式得所求的平面方程為2( x -2)9( y -9) -6( z 6)=0即 2x 9y -6z-121 =05求過三點 R(0,4, 5)、F2(1,2,2)、P3(4,2,1)的平面方程。解：所求平面的法向量n同時垂直于線段rb ,所求平面的法向量n=n,漢n2 = -

3、14RP2 說-6* 7k、且 RP3 邛2 =4, -2j 6kJ k-6=-22*+34* + 26k-2 6由點法式得所求的平面方程為-22( 0 ) 34( 4 ) 26( z 5 0即-11x 17y 13z -3 =06求平行于平面 x2y _z _3 =0,且過點P(2, -5,3)的平面方程。 解：因為所求平面與平面 x 2y _z _3 =0平行，II所以其法向量n 2j-k，由點法式得所求的平面方程為(x_2)2(y 5)_(z_3) =0 即 x 2y_z 11=0x 3z 1一7.求過點(4, -1,3)，且與直線y平行的直線方程。2 5x 一3z 一1解：因為所求直線

4、與直線y平行，其方向向量為25S =2 j 5kz-18 .求過兩點9求過點(2,3, -8)且與直線解：PP2 =S = -4i +2j +面方程。R(3, 2,1)和 F2( 1,0,2)的直線方程。即為所求直線的方向向量S 一4丫 2彳k由點向式得所求的直線方程為 =2 = _1-421一8匸2垂直，23 七I.!I直線的方向向量S = 2, 3 j -8k即為所求平面的法向量 2* 3J1 -8k解：所求的平面直線x 1 y -6號4垂直的平-由點法式得所求平面方程為 2( x -2) 3( y -3) -8( z 8) =0即2x 3y 8z -77 =010設(shè)兩點M4, 2,1),

5、M2(3,0,2),計算向量MM?的模，方向余弦和方向角解：向量MM? -2 j - k所以M.M 的模二.(-1)2( 2 )2 12，-1: 21M1M2的方向余弦cosjcos -，cos2222 二3兀所以M1M2的方向角為:-， -。343由點向式得所求的直線方程為11 說出下列方程所代表的圖形名稱：22xz1橢圓柱面4922y 2x2Z2 =1 單葉雙曲面42 2 2xyz，“(5)222 1雙葉雙曲面abcx y z =1直線|x - y - z - -6x2z2(9)1雙曲柱面432 2 2y 51橢球面4992(4) y 1 = x拋物柱面2 _x y(6)+ = Z4拋物面

6、(8)x _2y 8z = 7 平面(10) z = x y 圓錐面x 2 y 3 z 412 .求直線與平面2 x y z - 6 = 0的交點.1 1 2求得t = 1Jx =t 2 x 2 v 3 z 4解：令t，貝U y = t 3代入平面方程2x y z-6 =0112Iz =2t +4所以求直線與平面的交點為 （3,4,6）13.求兩直線口與亠丄的夾角.1-41221.I|,1解：兩直線的方向向量分別為-4j k ,罷=2丫 -2j -k所以兩直線的夾角滿足1 2-4 (-2) 1 (-1)匸廠代仃廠廠1- 2兀，所求夾角為4本章補充題:、選擇題： 1設(shè)牙二 1,_ 1, k?,

7、6 =2, 4, 2，當(dāng) a與b 垂直，則 k=()A 1 B -1 C. 2 D.-22.設(shè) a 1,1,0?, b .1,0, 一1?則 a與 b 的夾角為()nnjiA.B.C.D.64323設(shè)b=i j k及c=2i j k垂直，則d乜=() 一 一 一 a . - j - k b . j _ kc . j k d . - j k4同時與a =臼，一 1,o?及 b =1, 0, -2 -垂直的單位向量是()A.2j 2k B . 22j k C .牛糾D . H 作3 333335.平面x -2y z 0與平面()垂直A . -x 2y-z-5=0 b . 2x-y 3z 3=0 c

8、. . x-y-3z 5 = 0 D . 3x-5y z1=0x 1 v 2 z +16 .直線L : 二丄上二與平面()平行-12-2A . 4x y-z10=0 b . x-2y3z 5=0c . 2x-3yz 6=0D .xy -5z3 = 07.直線L:=1_1與平面x 2y -z 3=0位置關(guān)系是()3-11A .垂直.B.直線在平面內(nèi)C.平行D .相交2 ,4 同時垂直的直線為（）8過點P(1, 2, 3)且與向量a, 2,2?及b -1,x 1 y 2z 3A .462x 1y 2z 3C .-4629 .在空間直角坐標(biāo)系中方程x1y2z3B .4 6-2x1y2z3D .4-6

9、22 2 2x (y -1) z =9 表示()A.球面 B.圓錐面 C.圓柱面10 .在空間直角坐標(biāo)系中方程A . 一個圓 B .圓柱面11 .在空間直角坐標(biāo)系中方程D.拋物面2 2 一x y 4z表示（）C.圓錐面 D .旋轉(zhuǎn)拋物面2y二x 1表示（）A .拋物線B .圓柱面12.在空間直角坐標(biāo)系中方程C .圓錐面 D .拋物柱面222 Zx y1表示()4A .球面B .圓柱面C.圓錐面 D.橢球面二、填空題：1. 設(shè)g =3卩+5+7喪的終點為B(1,_2,_3)則分 起點A的坐標(biāo)為()。2. 設(shè)：， , 是向量a的三個方向角，_則 sin2鳥，sin2 一： sin2 =。44-3設(shè)

10、 a - ;6, 3, -2?，已知 a 與 b 平行，且 b =14，則 b =。4已知 A(2,J, 2)，B( 0,2, 1)，C(2,3, 0)，則心ABC 的面積為。5. 已知向量a與b的夾角為，且a =2， b =1，則a -b與a b的夾角為。36. 設(shè)平面二過點(2,0, -1)且與平面4x -5y - 2z二0平行，則平面二方程為 。7. 設(shè)平面二過點(1, -1,2)且與直線_ = _ =垂直，則平面二方程為 。32-18已知直線L過點(2,-1,2)且與平面3x2y2z-5=0垂直，則直線L的方程為9.點M (1, 2 ,1)到平面二:3x -4y 5z 0的距離為。21

11、0坐標(biāo)面yOz上的曲線z =：4y繞z軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 。三、解答題：x 1 v 2 z +41.求直線與平面x-3y，2z-5=0的交點和夾角。2 12已知 A(2,1, 2)，B(0,2,1)，C(2,3,0)，求也 ABC 所在有平面方程。x 2y Z 7 = 03.把直線的方程改寫為點向式、參數(shù)式。、2x +y +z -1 =04已知平面二過點M(-1,-2,3)且與直線-:口=口 和直線L2 : -2二口 都平行,3 4612-8求平面二方程。5已知直線L過點P(0 ,1, 2)且與平面x，2y-5=0和y-3z，4=0都平行，求直線 L的方程。6已知點M (k ,1,

12、2)到平面二：2x _2y z 0的距離為1,求k7.已知直線X 2y -z - 7 -0與平面3x ky 5z 0垂直，求k -2x +y +z1 =08指岀下方程表示的圖形：2 2 x2y2 =9 x2y2 z2 -2x4y 4z = 0 x2 = 194 x2y2 -4z2 = 0 x2y2 -z = 0 2x2 y2-z2 = 1補充題參考答案或提示:一、選擇題1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 6. A 7. B 8. D 9. A 10. D 11. D 12. D二、填空題1. ( -2,-7,-10)2. 23.二12, 6, -4?4.1卜曲4 =g4,3, 1

13、x2,1,1卜 Q5 （4b）a+b）|af-|B(23卩屮+句/a I2 _2a bb(商 +?a 曲bf 呵6. 4x 5y 2z 6 = 07. 3x 2yz 1=0x2 y 1 z -28.3223X14X2+5X1+2運8. _=J32 +( _4)2 +5252 29. z =4( X2 y2)三、解答題：1.令 匸！= 紅2 =-4 =t代入平面方程 x - 3y 2z-5 = 0得t = 2 所以交點為（5,-4, -6） 2-3-1因為：直線的方向向量 s-；2,-3,-門平面的法向量n- ；1,-3, 2?,所以夾角滿足sin =coss, n $ %142.平面的法向量H=aB B-2,3,-1? 2,1,仃-23一1 j +-13-1-2所以.ABC所在有平面方程為 _2(x 2) 4( y 1) 8( z2 ) =0 即 x 2y 4z8 = 0。3.直線的方向向量 =4 n2二J k12-1-2113i j 5k,在直線取一點令Z = 0則x 2y -7| 2x y -1 =04.所以點向式為x -1平面的法向量n二為y -3T-，參數(shù)式為5x = 3t 1y二t 3 ( t為參數(shù))Iz =