2011高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換素材 蘇教版選修4-2

1、選考4-2二階矩陣與平面向量知識體系幾種常見的平面變換矩陣與變換變換的復(fù)合與矩陣的乘法逆變換與逆矩陣特征值與特征向量矩陣的簡單運(yùn)用最新考綱1. 二階矩陣與平面向量了解矩陣的有關(guān)概念，掌握二階矩陣與平面列向量的乘法.2. 幾種常見的平面變換理解矩陣對應(yīng)的變換，把平面上的直線變成直線，即A(1+2)1A+2A.理解幾種常見的平面變換：恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換；了解單位矩陣.3. 矩陣的復(fù)合與矩陣的乘法掌握二階矩陣的乘法，理解矩陣乘法的簡單性質(zhì)（不滿足交換律、滿足結(jié)合律、不滿足消去律）.4. 逆變換與逆矩陣?yán)斫饽婢仃嚨囊饬x，掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件.理解逆矩陣的

2、唯一性和等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義.會從幾何變換的角度求出AB的逆矩陣.了解二階行列式的定義,會用二階行列式求逆矩陣.了解用變換與映射的觀點(diǎn)解二元線性方程組的意義.會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解二元線性方程組.理解二元線性方程組解的存在性、唯一性.5. 特征值與特征向量掌握二階矩陣特征值與特征向量的意義.會求二階矩陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個不同實(shí)數(shù)的情形）.會用二階矩陣的特征值、特征向量解決簡單的問題.了解三階或高階矩陣.了解矩陣的簡單應(yīng)用.基礎(chǔ)熱身1. 矩陣的相關(guān)概念(1) 矩陣定義：在數(shù)學(xué)中，我們把形如這樣的 陣列稱為矩陣.同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的

3、 ，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的 ，而組成矩陣的每一個數(shù)（或字母）稱為矩陣的 .（2）上述三個矩陣分別是21矩陣，22矩陣（二階矩陣），23矩陣，注意行的個數(shù)在前.（3）矩陣相等：行數(shù)、列數(shù)分別 ,對應(yīng)的元素也分別 的兩個矩陣，此時記作A=B.（4）行矩陣：a11,a12（僅有一行），列矩陣：（僅有一列）.（5）向量a=(x,y)，平面上的點(diǎn)P(x,y)都可以看成行矩陣x,y或列矩陣，規(guī)定所有的平面向量均寫成向量xy的形式.(6)重點(diǎn)在于對矩陣概念的理解，二階矩陣與平面列向量的乘法運(yùn)算.明確一個二階矩陣和一個平面向量的乘法對應(yīng)著一個變換，它把平面上的一個向量變成另一個向

4、量.2. 二階矩陣與平面向量的乘法（1）定義：規(guī)定行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則為= ，二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則為= .（2）由矩陣M確定的變換T通常記作，要求能夠熟練地進(jìn)行矩陣的乘法形式與坐標(biāo)形式之間的轉(zhuǎn)換，并能從幾何的角度理解這種變換.3. 二階矩陣與線性變換（1）一些常見的基本的變換矩陣，如：等，理解這些變換的幾何意義.（2）二階矩陣對于平面向量所實(shí)施的變換，都是，即有M（1+2）=1M +2M ，這樣，我們在研究多邊形以及直線在矩陣的變換作用下所形成的圖形時，只須考慮端（頂）點(diǎn)的變化結(jié)果即可，這也是后面運(yùn)用特征值與特征向量求解問題的依據(jù).（3）伸壓、反射、切變變換這三種幾何變換稱為 ，對應(yīng)

5、的變換矩陣稱為 .4. 變換的復(fù)合、矩陣的乘法以及矩陣乘法的簡單性質(zhì)（1）數(shù)乘平面向量：由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應(yīng)于變換的復(fù)合，一一對應(yīng)的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或的 復(fù)合.（2）矩陣的乘法：一般地，對于矩陣，規(guī)定乘法法則為.(3)性質(zhì)：設(shè)A、B、C為三個不相等的非零矩陣，則ABBA（即矩陣不滿足交換律）.A（BC）=（AB）C（即矩陣滿足結(jié)合律）.若AB=AC，但BC（即矩陣不滿足消去律）.5. 二階行列式與逆矩陣、逆矩陣與二元一次方程組（1）逆矩陣的定義：對于二階矩陣A，B，若有AB=BA= ，則稱A是可逆的，B稱為A的 .逆矩陣是唯一的.（2）性質(zhì)：若二階矩陣A，

6、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且= .已知A，B，C為二階矩陣，且AB=AC，若矩陣A存在逆矩陣，則 .（3）行列式定義：我們把稱為 ，它的運(yùn)算結(jié)果是一個 ，記為det(A)=.6. 特征值與特征向量（1）定義：設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實(shí)數(shù)，存在一個 向量a，使Aa=a，那么 稱為A的一個特征值，而a稱為A的屬于特征值的一個 .（2）特征多項(xiàng)式：設(shè)A=是一個二階矩陣，R,我們把行列式f()= 稱為A的特征多項(xiàng)式.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. = .2. 點(diǎn)M（1，3）在矩陣作用下變換得到點(diǎn)M1，點(diǎn)M1在矩陣作用下變換得到點(diǎn)M2，則M2的坐標(biāo)是 .3. 曲線y=在M=作用下變換的結(jié)果是曲線方程 .4.

7、 已知方程AX=B，其中A=,B=，則X= .5. 已知向量1=,2=,=，若=m1+n2，則m,n的值分別為 .互動學(xué)案典例分析【例1】（1）已知變換，試將它寫成坐標(biāo)變換的形式；（2）已知變換，試將它寫成矩陣乘法的形式.分析 對矩陣變換的基礎(chǔ)知識，首先要理解二階矩陣與平面向量的乘法對應(yīng)著平面向量之間的變換，并掌握這種變換的坐標(biāo)形式與矩陣乘法的形式.解 （1）T：.（2）T：.舉一反三1. 向量=在矩陣作用下變換得到的向量是 .【例2】計(jì)算下列各式，并從變換角度說明其幾何意義.（1）；（2）;（3）.分析 運(yùn)用二階矩陣與平面向量的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，通過比較變換前后的點(diǎn)的坐標(biāo)說明其幾何意義.解

8、（1），顯然變換前后點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)相反，這是關(guān)于x軸對稱的反射變換.（2），變換前后點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)交換，這是關(guān)于直線y=x對稱的反射變換.（3），此變換保持點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按縱坐標(biāo)的一倍減少，這是沿x軸負(fù)方向的切變變換.舉一反三2. 直線y=-3x在矩陣M=作用下變換得到的圖形是 .【例3】按要求解方程組.（1）用行列式求解；（2）用逆矩陣求解.分析 用行列式求解二元一次方程組，就是求相應(yīng)的D,Dx,Dy，而運(yùn)用矩陣解方程組，首先要把方程組改寫為AX=B的形式，再由X=求解.解 (1)因?yàn)镈=32-(-1)1=7，Dx=52-(-1)(-3)=7,Dy=3(-3)-51=-14，

9、所以，即,即原方程組的解為.（2）設(shè)A=,X=,B=，則方程組可以表示為AX=B的形式，因?yàn)?，所以X=B=，則原方程組的解為.舉一反三3. 利用逆矩陣解下列方程組.(1)；（2）.【例4】求下列矩陣的特征值和特征向量.（1）；（2）.分析 常規(guī)方法應(yīng)是根據(jù)矩陣寫出特征多項(xiàng)式f()，由f()=0求出特征值，代入方程A=求出相應(yīng)的特征向量，但若矩陣變換有明顯的幾何意義，則可根據(jù)變換特點(diǎn)寫出特征值與特征向量.解 （1）從變換的幾何意義來看，矩陣的作用是關(guān)于直線y=-x的反射變換，因此，與直線y=-x平行的向量保持變換前后的大小與方向都不變，有特征值1=1及相應(yīng)的特征向量（1，-1）；又與直線y=-

10、x垂直的向量保持變換前后大小不變而方向相反，故有特征值2=-1及相應(yīng)的特征向量（1，1）.（2）特征多項(xiàng)式f()=-5+6.由f（）=0，解得1=2，2=3.當(dāng)1=2時 ；2=3時，.綜上所述，矩陣有特征值1=2及相應(yīng)的特征向量（2，1）；特征值2=3及相應(yīng)的特征向量（1，1）.舉一反三4. 設(shè)矩陣A=的一個特征值為-1，則x的值是 .【例5】為了保證信息安全傳輸，設(shè)計(jì)一種密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：明文X密文Y密文Y明文X現(xiàn)在加密方式為：把發(fā)送的數(shù)字信息X寫為“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩陣A=，再左乘矩陣B=，得到密文Y，現(xiàn)在已知接收方得到的密文是4,12,32,64，

11、試破解該密碼.分析 加密的過程經(jīng)過了兩次矩陣變換，可以先運(yùn)用矩陣的乘法求出其變換的復(fù)合，再求其逆矩陣破解密碼.解由題意，BA=,=,（BA）X=，X=.即發(fā)送的數(shù)據(jù)信息是2008.舉一反三5. 當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時，若忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，兩個種群的變化有如下規(guī)律：由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長10%，狐貍數(shù)每年減少15%；由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；第n年時，兔子數(shù)量用Rn表示，狐貍數(shù)量用Fn表示；初始時刻（即第0年），兔子數(shù)量有R0=100只，狐貍數(shù)量有F0=30只.請用所學(xué)知識解決如下問題：（1）列出

12、兔子與狐貍的生態(tài)模型；（2）求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式；（3）討論：當(dāng)n越來越大時，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由.易錯警示【例1】求AB的逆矩陣,其中A=，B=.錯解 .錯解分析 運(yùn)用公式求出AB的逆矩陣，而“錯解”中錯將公式記憶成.正解 ，.【例2】求矩陣的特征值和特征向量.錯解 特征多項(xiàng)式f()=-3+2.由f()=0，解得1=1，2=2.錯解分析 行列式的運(yùn)算公式運(yùn)用錯誤導(dǎo)致特征值求錯.常規(guī)方法應(yīng)是根據(jù)矩陣寫出特征多項(xiàng)式f()，由f()=0求出特征值，代入方程A=求出相應(yīng)的特征向量.正解 特征多項(xiàng)式f()= =-3-18.由f()=0,解得1=6,2=-3

13、.當(dāng)1=6時，；當(dāng)2=-3時，.綜上所述，矩陣有特征值1=6及相應(yīng)的特征向量(2,1)；特征值2=-3及相應(yīng)的特征向量（1，-4）.考點(diǎn)演練1. 向量=在矩陣作用下變換得到的向量是 .2. 如果矩陣把點(diǎn)A變成點(diǎn)B（3，1），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .3. 計(jì)算= ; = .4. 已知點(diǎn)P(x,y)在矩陣M的作用下變換為點(diǎn)P(-y,-x)，則矩陣M= .5. 若=x,則x= .6. 若曲線+4xy+2=1在矩陣的作用下變換成曲線-2=1，則a+b= .7. 已知矩陣M=,N=，則= .8. 若N，則N= .9. 已知二階矩陣A有特征值1=3及對應(yīng)特征向量1=, 特征值2=-1及對應(yīng)特征向量2=,則矩陣A

14、= .10. 已知A=,B=,若AX=B，則X= .11. 研究函數(shù)y=2sinx在矩陣M=對應(yīng)的變換作用下的結(jié)果.12. 已知矩陣M=，=,=,求, .參 考 答 案選考4-2基礎(chǔ)梳理1. (1) 矩形數(shù)字（或字母） 行 列 元素（3）相等 相等2. （1）a11b11+a12b213. （2）線性變換 (3)初等變換 初等變換 矩陣4. （1）多次5. （1）E 逆矩陣(2) B=C（3）二階行列式數(shù)值6. （1）非零 特征向量 （2）-(a+d)+ad-bc基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. 解析：.2. （-1，3） 解析：.3. y=解析：由TM：，即TM:，顯然TM實(shí)施的是關(guān)于直線y=x的對稱變換，曲線

15、y=關(guān)于直線y=x對稱的方程是y=.4. 解析：由AX=B得X=B.因?yàn)锳=，所以= ，即X=B=.5. ， 解析：由=m1+n2得舉一反三1. 解析:.2. y=x 解析：由知TM：，即有,所以x=-3y,即y=x.3. （1）設(shè)A=，X=，B=，則方程組可表示為AX=B,又，則X=，即原方程組的解為.（2）設(shè)A=,X=,B=，則方程組可表示為AX=B，又，則X=，即原方程組的解為.4. 1 解析：矩陣A的特征多項(xiàng)式為f()=-(x+2-x)+x(2-x)+2=0，所以f(-1)=1+2+x(2-x)+2=0，整理得-2x-5=0，解得x=1.5. （1）(n1).（2）設(shè)n=,M=，n=M

16、n-1=M(Mn-2)=0.又矩陣M的特征多項(xiàng)式f()=-1.95+0.95=(-1)(-0.95).令f()=0,得1=1,2=0.95.特征值1=1對應(yīng)的一個特征向量1=，特征值2=0.95對應(yīng)的一個特征向量為2=,且0=701-1102，n=0=701-1102=,.(3)當(dāng)n越來越大時，越來越接近于0，Rn,Fn分別趨向于常量210，140.即隨著時間的增加，兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加，當(dāng)時間充分長后，兔子與狐貍的數(shù)量將達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài).考點(diǎn)演練1. 解析：.2. （2，1） 解析：設(shè)A（x,y），則有，所以.3. 解析：；.4. 解析：設(shè)M=，由題意得M,即，即. M=5. -2或3 解析：=-6.由-6=x,得-x-6=0，解得x=-2或x=3.6. 2 解析:由，知.，即，比較系數(shù)得，解得，所以a+b=2.7. 解析：由矩陣變換的幾何意義不難得出,.8. 解析：的逆矩陣是，N=.9. 解析：設(shè)A=，則有,即有，及，解得a=1,