人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)案(2)

1、余弦定理、正弦定理（大教A版）第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標、知識目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相 關(guān)術(shù)語；2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達題意和應(yīng) 用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.2、核心素養(yǎng)L數(shù)學(xué)抽象：方位角、方向角等概念：2 .邏輯推理：分清已知條件與所求，逐步求解問題的答案；3 .數(shù)學(xué)運算：解三角形；4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量, 從而得到實際問題的解.重點難點重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角

2、形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解: 難點：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖.學(xué)習(xí)過程一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本48-51頁，填寫。1、實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量中，根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線方時與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平而內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角翠角水平線 線視線方 向 角從指定方向線到的水平角（指定方向線是指正北或正南或正東或止西，方向角小于90。）北西南偏西60（指以正南方 向為始邊，轉(zhuǎn) 向目標方向線 形成的角）方位角從正北的方向線按時針到目標方向線所轉(zhuǎn)過的水平角北0)120。小試牛刀1 .判斷下列命題是否正

3、確.（正確的打7”,錯誤的打“X）（D已知三角形的三個角，能夠求其三條邊（）（2）兩個不可到達的點之間的距離無法求得（）（3）方位角和方向角是一樣的（）2 .若尸在。的北偏東44。50,方向上，則。在尸的 （）A.東偏北45。10,方向上 B.東偏北45。50,方向上C.南偏西44。50,方向上 D.西偏南45。50,方向上3 .從處望B處的仰角為a,從8處望d處的俯角為,則a, 的關(guān)系為（）A. aB. a=BC. a+=90 D. a+=180。4.如圖，已知,4, B, C三地，其中.4,。兩地被一個湖隔開，測得,45=3 km, 8=45。，C=30,貝上4,兩地的距離為 kin.自主

4、探究題型一測量高度問題 例1濟南泉城廣場上的泉標是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟南的標志和象征.李明同學(xué)想測量泉 標的高度，于是他在廣場的,4點測得泉標頂端的仰角為60。，他又沿著泉標底部方向前進15.2 m,到達3 點，測得泉標頂部仰角為80。.你能幫李明同學(xué)求出泉標的高度嗎？（精確到1 m） 跟蹤訓(xùn)練一1、乙兩樓相距200m,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0。，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0。，則甲、乙兩樓的 高分別是多少？題型二測量角度問題例2如圖所示，.4, 8是海面上位于東西方向相距5（3+4）111皿人的兩個觀測點.現(xiàn)位于.4點北偏東45。 方向、8點北偏西60。方向的。點有一做輪

5、船發(fā)出求救信號，位于3點南偏西60。且與B點相距2073 nimle 的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30 nmile.h則該救援船到達。點需要多長時間？跟蹤訓(xùn)練二1、在海岸,4處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距離H處（小一Dnimle的B處有一艘走私船，在工處北偏西75。的 方向，距離.4 2 nimle的C處的緝私船奉命以1沖 nimle的速度追截走私船.此時，走私船正以lOnmile/li 的速度從8處向北偏東30。方向逃南，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？題型三測量距離問題例3如圖所示，要測量一水塘兩側(cè).4, 8兩點間的距離，其方法先選定適當?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測出角a， 再分別測

6、出，4C，8C的長6, a則可求出$8兩點間的距離.若測得C4=400m, C5=600m, ZACB=60, 試計算.鋁的長.例4如圖所示，4, B兩點在一條河的兩岸，測量者在H的同側(cè)，且3點不可到達，要測出5的距離, 其方法在月所在的岸邊選定一點C,可以測出擊C的距離加，再借助儀器，測出NKC8=a, NC43=,在.15C中，運用正弦定理就可以求出XA若測出dC=60m, NA4c=75。，N3C4=45。，則乂，3兩點間的距離為 m._跟蹤訓(xùn)練三1.如圖，X, B兩點在河的同側(cè),且,4, 8兩點均不可到達，測出,4, B的距離,測量者可以在河岸邊選定兩 點 C, D,測得 CD=a,同

7、時在 C,。兩點分別測得/ACD=B，ZCDB=y, /BDA=6.在aADC 和HOC中，由正弦定理分別計算出KC和BC,再在詼中,應(yīng)用余弦定理計算出,如若測得8邛 km, NJD8=NCD8=30。，ZACD=60 乙4c8=45。，求 4 8 兩點間的距離.當堂檢測1.已知4 5兩地的距離為地km, B, 1兩地的距離為地km,現(xiàn)測得NXBC= 120。，則工，1兩地的距離為（）A. 10 kinB.小 kinC. 10y/5 km D. 10巾 km2 .某公司要測量一水塔CD的高度，測量人員在該水塔所在的東西方向水平線上選工，3兩個觀測點，在a 處測得該水塔頂端。的仰角為G,在8處測

8、得該水塔頂端。的仰角為,己知,45=弓0/3,，C=200+sin 30。=400,由題意可知NMCQ= ZmC=30, AJ8 為等腰三角形./ 14002由余弦定理得乂。2=4)2+82 ZS CD cos 120, 4002 =.W2 +.W2-5) = 1W2, -1D2=, .ID=蛆里士故甲樓高為2005 m,乙樓高為m.例2【答案】 救援船到達。點需要的時間為lh.【解析】由題意,知45 = 5(3+/)nmile,/DBA = 90-60。=30。，ZDAB = 90-45=45% /. ZADB =180o-(45o+30o)=105.DF)ID在中，由正弦定理得-/nL /

9、g sin Z DAB sin /ADBABsmZD.lB 5(3 + ) sin 45 即 BD = ： / .=二=sin Z. WBsinl05?=5(3+向 sin 45=帖)sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60又NDBC= NDBA + /ABC=60, 50=2073 nimle,.在Q3C中，由余弦定理，得CD =yjBDBC2 - IBDBCcos ZDBC=00+1 200 - 2*1即乂2(7=30 n mile, 則救援船到達D點需要的時間為群1 h.跟蹤訓(xùn)練二 1、【答案】緝私船沿北偏東60。方向能最快追上走私船.【解析】 設(shè)緝私船用rh在。處追上

10、走私船，畫出示意圖，則有 8=10，BD=W,A在45。中，-.18=V3-h AC=29 NA4C=120。，由余弦定理, 得 5C2=AB2+AC2-2AB AC cosZBAC=(V3-1)2+22-2-(V3- 1)-2-cos 120。=6,AA 萬BC=6,且 sinZABC= sinZBAC=-2 = 2 NA8C=45。，8C與正北方向成90。角.AZCBD=9O+3O0=12O0, 在BCD中，由正弦定理，得sinZBCD=BD-sin ZCBDCDIQrsin 120 Jigf 一 N5CD=30。,即緝私船沿北偏東60。方向能最快追上走私船.例3【答案】A, 8兩點間的距

11、離為20附m. 【解析】在及。中，由余弦定理得AB2 =AC2+BC2-UC BCcos/ACB, ：.AB2=4002+6002-2x400x600cos 60=280 000.：.AB=2Q0y7 (m).即4 B兩點間的距離為20077 m.例4【答案】2Oj6 .【解析】ZABC= 180-75-45=60%J D所以由正弦定理得，毫=靠團AC sin C 60xsin 45 ,一= sin 8 = sin 60。=2 喳(m).即M, 8兩點間的距離為20玳m.跟蹤訓(xùn)練三1.【答案】4，8兩點間的距離為乎km.【解析】V ZADC= ZADB+ ZCDS=60% ZACD=60,.,.ZDAC=60, .AC=QC=乎.在BCD 中，NQBC=45。,也LDC2由正弦定理，得8c=仙、/sinNBDC=/；心sin 30。=乎. Sill Z LzO VSill -fJ*+在ABC中，由余弦定理，得AB1 = AC2+BC22AC- BCcos 450=+12xxx=1.AB=(km). .A, 8兩點間的距離為# km.當堂檢測1-3.DAB 4. 3