排列組合部分

1、第1課時 排列與組合(一) ! ! ! nA m-n n A n n m n ，1. 1 ! ! 0 n n n r n CC rr-n n C，2. 課課 前前 熱熱 身身 2 2 98 100 10 10 11 11 12 12 11A C A AA 1. n n n n CC 3 21 -38 3 136 466 2.下圖為一電路圖，從下圖為一電路圖，從A到到B共有共有 _條不同的線條不同的線 路可通電路可通電. 8 3.語、數(shù)、外三科教師都布置了作業(yè)，在同一時刻語、數(shù)、外三科教師都布置了作業(yè)，在同一時刻4 名學(xué)生都做作業(yè)的可能情形有名學(xué)生都做作業(yè)的可能情形有( ) （A）43種種 （B

2、）34種種 （C）A34種種 （D）C34種種 B 4.現(xiàn)從某?，F(xiàn)從某校5名學(xué)生干部中選出名學(xué)生干部中選出4個人分別參加宿遷個人分別參加宿遷 市市“資源資源”、“生態(tài)生態(tài)”、“環(huán)保環(huán)保”三個夏令營，要三個夏令營，要 求每個求每個 夏令營活動至少有選出的一人參加，且每人只參加夏令營活動至少有選出的一人參加，且每人只參加 一個夏令營活動，則不同的參加方案的種數(shù)是一個夏令營活動，則不同的參加方案的種數(shù)是_. 180 5.不大于不大于1 000的正整數(shù)中，不含數(shù)字的正整數(shù)中，不含數(shù)字3的正整數(shù)的的正整數(shù)的 個數(shù)是個數(shù)是( ) （A）72 （B）648 （C）729 （D）728 B 【解題回顧解題回顧

3、】解法解法1先分類再分步，解法先分類再分步，解法2分步結(jié)合分步結(jié)合 排除法排除法.可見對同一問題有時既可按元素性質(zhì)分類思可見對同一問題有時既可按元素性質(zhì)分類思 考，也可從事件過程分步思考考，也可從事件過程分步思考. 1.有有4名男生、名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情名女生，全體排成一行，問下列情 形各有多少種不同的排法形各有多少種不同的排法? (1)甲不在中間也不在兩端；甲不在中間也不在兩端； (2)甲、乙兩人必須排在兩端；甲、乙兩人必須排在兩端； (3)男、女生分別排在一起；男、女生分別排在一起；(4)男女相間；男女相間； (5)甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定甲、乙、丙三人從左到

4、右順序保持一定. 【解題回顧】本題集排列多種類型于一題，充分體解題回顧】本題集排列多種類型于一題，充分體 現(xiàn)了元素分析法現(xiàn)了元素分析法( (優(yōu)先考慮特殊元素優(yōu)先考慮特殊元素) )，位置分析法，位置分析法 ( (優(yōu)先考慮特殊位置優(yōu)先考慮特殊位置) )、直接法、間接法、直接法、間接法( (排除法排除法) )、 捆綁法捆綁法、等機會法、插空法等常見的解題思路、等機會法、插空法等常見的解題思路. . 2.由由0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，這六個數(shù)字， (1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)? (2)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)? (3

5、)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少大的數(shù)有多少 個個? 【解題回顧】注意題中隱含條件零不能在首位解題回顧】注意題中隱含條件零不能在首位； 由零不能在首位的隱含條件導(dǎo)致由零不能在首位的隱含條件導(dǎo)致(3)必須分類求解必須分類求解. 3. 從從4名男生，名男生，3名女生中選出名女生中選出3名代表名代表. (1)不同的選法共有多少種不同的選法共有多少種? (2)至少有一名女生的不同選法共有多少種至少有一名女生的不同選法共有多少種? (3)代表中男、女生都要有的不同選法共有多少種代表中男、女生都要有的不同選法共有多少種? 【解題回顧解題回顧】選舉問題是一種典型的組

6、合問題，選舉問題是一種典型的組合問題， 常常 見的附加條件是分類選元見的附加條件是分類選元.在解在解(2)、(3)時易犯的錯時易犯的錯 誤是重復(fù)選，如解誤是重復(fù)選，如解(2)為為C1 13C2645種，解種，解(3)為為C13 C14C1560種種. 4. 有有11名外語翻譯人員，其中名外語翻譯人員，其中5名英語翻譯員，名英語翻譯員，4名名 日語翻譯員，另兩名英、日語都精通，日語翻譯員，另兩名英、日語都精通， 從中找出從中找出8 人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英人翻譯英 文，另文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作，問人翻譯日文，這兩個小組能同時工作

7、，問 這樣的分配名單共可開出幾張這樣的分配名單共可開出幾張? 【解題回顧解題回顧】首先注意分類方法，體會分類方法首先注意分類方法，體會分類方法 在在 解組合問題中的作用解組合問題中的作用.本題也可以先安排翻譯英文本題也可以先安排翻譯英文 人員，后安排翻譯日文人員進行分類求解，共有人員，后安排翻譯日文人員進行分類求解，共有 C45C46+C35C12C45+C25C22C44185種種. 5. 從從1到到200的自然數(shù)中，求各個數(shù)位上都不含有的自然數(shù)中，求各個數(shù)位上都不含有 數(shù)字數(shù)字8的數(shù)的個數(shù)的數(shù)的個數(shù). 【解題回顧解題回顧】注意此題沒有要求各位上數(shù)字不重復(fù)】注意此題沒有要求各位上數(shù)字不重復(fù).

8、 6.央電視臺央電視臺“正大綜藝正大綜藝”節(jié)目的現(xiàn)場觀眾來自四個單節(jié)目的現(xiàn)場觀眾來自四個單 位，分別在圖中位，分別在圖中4個區(qū)域內(nèi)坐定個區(qū)域內(nèi)坐定.有有4種不同顏色的種不同顏色的 服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝， 且相鄰兩個區(qū)域的顏色不同，且相鄰兩個區(qū)域的顏色不同， 不相鄰區(qū)域顏色相不相鄰區(qū)域顏色相 同與否則不受限制，那么不同的著裝方法共有多同與否則不受限制，那么不同的著裝方法共有多 少種少種? 【解題回顧解題回顧】當某種元素的不同限制條件】當某種元素的不同限制條件 對其他元素產(chǎn)生不同的影響時，應(yīng)以此元對其他元素產(chǎn)生不同的影響時，應(yīng)以此元 素

9、的不同限制條件作為分類的標準進行討論素的不同限制條件作為分類的標準進行討論. 問題問題1：是排列還是組合：是排列還是組合? 假期中全班假期中全班40名同學(xué)都分別給同學(xué)寫一封信，則共名同學(xué)都分別給同學(xué)寫一封信，則共 有多少封信有多少封信? 開學(xué)時，同班同學(xué)見面分別握一次手，開學(xué)時，同班同學(xué)見面分別握一次手， 共握手多少次共握手多少次? 誤解誤解 都是都是C240 正解正解 前者講次序，是排列問題，答案為前者講次序，是排列問題，答案為A240，后者，后者 不講次序，是組合問題，答案為不講次序，是組合問題，答案為C240. 問題問題2：在：在100件產(chǎn)品中有次品件產(chǎn)品中有次品3件，正品件，正品97件

10、，從件，從 中抽取中抽取4件，問至少抽得一件次品的方法數(shù)是多少件，問至少抽得一件次品的方法數(shù)是多少? 誤解誤解 從從3件次品中抽取件次品中抽取1件，再從余下來的件，再從余下來的2件次品件次品 和和97件正品件正品(共共99件件)中任意抽取中任意抽取3件，即件，即C13C399. 正解正解 上述解法是一種正確的上述解法是一種正確的“操作操作”，但得到的是，但得到的是 錯誤的答案，因為抽法違背了分類、分步原則，因錯誤的答案，因為抽法違背了分類、分步原則，因 而不符合計數(shù)原理，從而不能使用由計數(shù)原理推得而不符合計數(shù)原理，從而不能使用由計數(shù)原理推得 的組合數(shù)公式的組合數(shù)公式.正確的答案是：正確的答案是

11、： C13C397+C23C297+C33C197. 這是將方法數(shù)分成這是將方法數(shù)分成3類：抽取類：抽取1件、件、2件、件、3件次件次 品；然后每一類分兩步：先抽次品，再抽正品得到品；然后每一類分兩步：先抽次品，再抽正品得到 的的. 第2課時 排列與組合(二) r -n n r n CC 1. 1 1 -m n m n m n CCC 2. 1. 現(xiàn)要栽種現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種種一種且相種不同顏色的花，每部分栽種種一種且相 鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 _ 種種.(以數(shù)字作答以數(shù)字作答) 課課 前前 熱熱 身身 120

12、2. 每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷葷2素共素共4種種 不同的品種不同的品種.現(xiàn)在餐廳準備了現(xiàn)在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保種不同的葷菜，若要保 證每位顧客有證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需種以上的不同選擇，則餐廳至少還需 準備不同的素菜準備不同的素菜_種種.(結(jié)果用數(shù)值表示結(jié)果用數(shù)值表示) 7 【解題回顧解題回顧】由于化為一元二次不等式由于化為一元二次不等式n2-n-400求解求解 較繁，考慮到較繁，考慮到n為正整數(shù)，故解有關(guān)排列、組合的不等為正整數(shù)，故解有關(guān)排列、組合的不等 式時，常用估算法式時，常用估算法. 3. 某電視臺邀

13、請了某電視臺邀請了6位同學(xué)的父母共位同學(xué)的父母共12人，請這人，請這12位家位家 長中的長中的4位介紹對子女的教育情況，如果這位介紹對子女的教育情況，如果這4位中恰有位中恰有 一對是夫妻，那么不同選擇方法的種數(shù)是一對是夫妻，那么不同選擇方法的種數(shù)是( ) (A)60 (B)120 (C)240 (D)270 C 4表達式表達式nC2nAn-1n-1可以作為下列哪一問題的答案可以作為下列哪一問題的答案( ) (A)n個不同的球放入不同編號的個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個個盒子中，只有一個 盒子放兩個球的方法數(shù)盒子放兩個球的方法數(shù) (B)n個不同的球放入不同編號的個不同的球放入不同編

14、號的n個盒子中，只有一個個盒子中，只有一個 盒子空著的方法數(shù)盒子空著的方法數(shù) (C)n個不同的球放入不同編號的個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個個盒子中，只有兩個 盒子放兩個球的方法數(shù)盒子放兩個球的方法數(shù) (D)n個不同的球放入不同編號的個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個個盒子中，只有兩個 盒子空著的方法數(shù)盒子空著的方法數(shù) B 5. 某次數(shù)學(xué)測驗中，學(xué)號是某次數(shù)學(xué)測驗中，學(xué)號是i (i=1、2、3、4)的四位同的四位同 學(xué)的考試成績學(xué)的考試成績 f(i)86,87,88,89,90，且滿足，且滿足f(1) f(2)f(3)f(4)，則四位同學(xué)的成績可能情況有，則四位同學(xué)的成

15、績可能情況有( ) (A)5種種 (B)12種種 (C)15種種 (D)10種種 C 1. 有有9名同學(xué)排成兩行，第一行名同學(xué)排成兩行，第一行4人，第二行人，第二行5人，其人，其 中甲必須排在第一行，乙、丙必須排在第二行，問有中甲必須排在第一行，乙、丙必須排在第二行，問有 多少種不同排法多少種不同排法? 【解題回顧解題回顧】以上解法體現(xiàn)了先選后排的原則，分步以上解法體現(xiàn)了先選后排的原則，分步 先確定兩排的人員組成，再在每一排進行排隊先確定兩排的人員組成，再在每一排進行排隊.這是處這是處 理限制條件較多時的行之有效的方法理限制條件較多時的行之有效的方法. 3. 從從0，1，2，9這這10個數(shù)字中

16、選出個數(shù)字中選出4個奇數(shù)和個奇數(shù)和2個個 偶數(shù)，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)偶數(shù)，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)? 2. 某單位擬發(fā)行體育獎券，號碼從某單位擬發(fā)行體育獎券，號碼從000001到到999999， 購買時揭號兌獎，若規(guī)定：從個位數(shù)起，第一、三、購買時揭號兌獎，若規(guī)定：從個位數(shù)起，第一、三、 五位是不同的奇數(shù)，第二、四、六位均為偶數(shù)時為中五位是不同的奇數(shù)，第二、四、六位均為偶數(shù)時為中 獎號碼，則中獎面約為多少獎號碼，則中獎面約為多少?(精確到精確到0.01%). 【解題回顧解題回顧】由于第二、四、六位只要求是偶數(shù)，沒由于第二、四、六位只要求是偶數(shù)，沒 要求數(shù)字不重復(fù)，所以均

17、可從要求數(shù)字不重復(fù)，所以均可從0、2、4、6、8中任取中任取 一個排放一個排放. 【解題回顧解題回顧】先選后排是解決排列、組合綜合應(yīng)用題先選后排是解決排列、組合綜合應(yīng)用題 的常見思想方法的常見思想方法. 4. 有有6本不同的書：本不同的書： (1)全部借給全部借給5人，每人至少人，每人至少1本，共有多少不同的借法本，共有多少不同的借法? (2)全部借給全部借給3人，每人至少人，每人至少1本，共有多少不同的借法本，共有多少不同的借法? 【解題回顧解題回顧】“平均分堆平均分堆”問題是容易出錯的一類問問題是容易出錯的一類問 題題.解題時應(yīng)予以重視解題時應(yīng)予以重視. 5. 從從-3，-2，-1，0，1

18、，2，3，4八個數(shù)字中任取八個數(shù)字中任取3個個 不重復(fù)的數(shù)字構(gòu)成二次函數(shù)不重復(fù)的數(shù)字構(gòu)成二次函數(shù)y=ax2+bx+c.試問：試問： (1)共可組成多少個不同的二次函數(shù)共可組成多少個不同的二次函數(shù)? (2)在這些二次函數(shù)圖象中，以在這些二次函數(shù)圖象中，以y軸為對稱軸的有多少軸為對稱軸的有多少 條條?經(jīng)過原點且頂點在第一或第三象限的有多少條經(jīng)過原點且頂點在第一或第三象限的有多少條? 問題問題 將三本不同的書分成三堆，每堆一本，有多少種將三本不同的書分成三堆，每堆一本，有多少種 不同的分法不同的分法. . 誤解誤解 C13C12C116. 正解正解 三本不同書平均分成三堆，顯然只有一種方法三本不同書

19、平均分成三堆，顯然只有一種方法.誤誤 解的原因在于忽視了平均三堆的無序性解的原因在于忽視了平均三堆的無序性.正確答案是：正確答案是： 這顯然是一個很簡單的情形，但揭示了這一類問題的解這顯然是一個很簡單的情形，但揭示了這一類問題的解 題特征題特征. 3 3 1 1 1 2 1 3 A CCC 1. 二項式定理二項式定理 222110 baCbaCaCba -n n -n n n n n nn n -n-n n bCabC 11 2. 二項式展開的通項：二項式展開的通項： kk-nk nk yxCT 1 9 1. 已知已知 的展開式中，的展開式中，x3的系數(shù)為的系數(shù)為 ，則，則 常數(shù)常數(shù)a的值為的

20、值為_. 9 2 x x a 4 9 2. 在在 的展開式中，常數(shù)項為的展開式中，常數(shù)項為_. 5 2 2 1 152-4 x -xx15 【解題回顧解題回顧】在不影響結(jié)果的前提下，有時只要寫在不影響結(jié)果的前提下，有時只要寫 出二項展開式的部分項，此可稱為出二項展開式的部分項，此可稱為“局部運算法局部運算法”. B n x xx 4 1 3. 若若 的展開式中含有的展開式中含有x4的項，則的項，則n的的 一個值是一個值是( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D)8 B 5 2 2 y x4. 的展開式中系數(shù)大于的展開式中系數(shù)大于-1的項共有的項共有( ) (A) 5項項 (B) 4項項

21、(C) 3項項 (D) 2項項 B 10 3 1 2 x x5. 在在 的展開式中，常數(shù)項是的展開式中，常數(shù)項是 ( ) (A) 第第11項項 (B) 第第7項項 (C) 第第6項項 (D) 第第5項項 1. 若若(x+m)2n+1和和(mx+1)2n(nN+，mR且且m0)的的 展開式的展開式的 xn 項的系數(shù)相等，求實數(shù)項的系數(shù)相等，求實數(shù)m取值范圍取值范圍. 【解題回顧解題回顧】注意區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)注意區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù). 2. 在二項式在二項式 的展開式中，前三項的的展開式中，前三項的 系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項. n x x 4

22、 2 1 【解題回顧解題回顧】展開式中有理項的特點是字母展開式中有理項的特點是字母x的的 指數(shù)指數(shù) 即可，而不需要指數(shù)即可，而不需要指數(shù) Z 4 3 -4 r Z 4 3 -4 r 3. 求求 的展開式中，系數(shù)的絕對值最的展開式中，系數(shù)的絕對值最 大的項和系數(shù)最大的項大的項和系數(shù)最大的項. n x x 4 2 1 【解題回顧解題回顧】由于這個二項式的第二項分母中有由于這個二項式的第二項分母中有 數(shù)字數(shù)字2，所以展開式中的系數(shù)不是二項式系數(shù)，所以展開式中的系數(shù)不是二項式系數(shù)， 因此不能死背書上結(jié)論，以為中間項系數(shù)最大因此不能死背書上結(jié)論，以為中間項系數(shù)最大. 4. 求證求證 及及 的展開式中不能

23、同的展開式中不能同 時含有常數(shù)項時含有常數(shù)項. n x x 1 1 1 n x x 【解題回顧解題回顧】二項式定理解題活動中，涉及到二項式定理解題活動中，涉及到 的很多問題都是關(guān)于整數(shù)的討論，要注意其中的很多問題都是關(guān)于整數(shù)的討論，要注意其中 的字母取整數(shù)這一隱含條件的應(yīng)用的字母取整數(shù)這一隱含條件的應(yīng)用. 5. (1)求證：求證：kCkn=nCk-1n-1; (2)等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，an0，試化簡，試化簡 A=lga1-C1nlga2+C2nlga3-+(-1)nCnnlgan+1. 【解題回顧解題回顧】不僅要掌握二項式的展開式，而不僅要掌握二項式的展開式，而 且要習(xí)慣二項展開式的逆

24、用，即應(yīng)用二項式定且要習(xí)慣二項展開式的逆用，即應(yīng)用二項式定 理來理來“壓縮壓縮”一個復(fù)雜的和式，這一解題思想一個復(fù)雜的和式，這一解題思想 方法是很重要的方法是很重要的. 在本節(jié)里，容易出錯的就是二項展開式的結(jié)在本節(jié)里，容易出錯的就是二項展開式的結(jié) 構(gòu)，要注意構(gòu)，要注意(a+b) n展開式里，系數(shù) 展開式里，系數(shù)a的指數(shù)、的指數(shù)、b的的 指數(shù)的演變，正確寫出展開式，同時通項指數(shù)的演變，正確寫出展開式，同時通項Tr+1=Crn an-rbr是第是第 r+1項，容易被認為是第項，容易被認為是第r項項. 第4課時 二項式定理(二) 1. Ckn= Cn-kn；2. Ckn=Ckn-1+Ck-1n-1；

25、 3. C0n+C1n+C2n+Cnn=2n， C0n+C2n+C4n+=C1n+C3n+C5n+=2n-1； 4. 二項式系數(shù)最大項是展開式的中間一項二項式系數(shù)最大項是展開式的中間一項(n為偶數(shù)時為偶數(shù)時) 或中間兩項或中間兩項(n為奇數(shù)時為奇數(shù)時). 課課 前前 熱熱 身身 1. 已知已知(3-2x)5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則，則 (1)a2+a3+a4+a5的值為的值為_； (2)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=_. 568 2882 2. 2C02n+C12n+2C22n+C32n+2C2k2n+C2k+12n+C2n-12n +2C2

26、n2n=_. 322n-1 3. 若若 的展開式中只有第的展開式中只有第6項的系數(shù)最大，則項的系數(shù)最大，則 不含不含x的項為的項為( ) (A) 462 (B) 252 (C) 210 (D) 10 n x x 2 3 1 C 4. 已知已知(2x+1)n(nN+)的展開式中各項的二項式系數(shù)之的展開式中各項的二項式系數(shù)之 和為和為Sn，各項的系數(shù)和為，各項的系數(shù)和為Tn，則，則 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 12 (D) 1 nn nn n TS TS limA 5. 1-90C110+902C210-903C310+(-1)k90kCk10+9010C1010 除以除以88的余數(shù)

27、是的余數(shù)是( ) (A)-1 (B)1 (C)-87 (D)87 A 【解題回顧】解一、解二各有優(yōu)點，在具體的問題中解題回顧】解一、解二各有優(yōu)點，在具體的問題中 應(yīng)視情況不同選用應(yīng)視情況不同選用. 1. 求求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開式中的展開式中x2系數(shù)系數(shù). 2.已知已知 展開式的各項系數(shù)之和比展開式的各項系數(shù)之和比(1+2x)2n展展 開式的二項式系數(shù)之和小開式的二項式系數(shù)之和小240，求，求 展開式中展開式中 系數(shù)最大的項系數(shù)最大的項. n x x 3 1 n x x 3 1 【解題回顧】在解題回顧】在 展開式中，各項系數(shù)之和展開式中，各項系數(shù)之和 就等于二項式系數(shù)之和就等于二項式系數(shù)之和；而在；而在(1+2x)2n展開式中各項展開式中各項 系數(shù)之和不等于二項式系數(shù)之和系數(shù)之和不等于二項式系數(shù)之和，解題時要細心審，解題時要細心審 題題，加以區(qū)分，加以區(qū)分. n x