向量數(shù)乘運算及其幾何意義

1、第四單元向量數(shù)乘運算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)1、通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及幾何意義的過程，掌握實數(shù)與向量積的定義，理解實數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實數(shù)與向量的積的運算律。2、理解兩個向量共線的等價條件，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行。3、通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神。通過解決具體問題，體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用。重點難點教學(xué)重點： 1、實數(shù)與向量積的意義。 2、實數(shù)與向量積的運算律。 3、兩個向量共線的等價條件及其運用。教學(xué)難點：對向量共線的等價條件的理解運用。教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路前面兩節(jié)課， 我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運算，這一

2、節(jié)， 我們將在加法運算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計算及推廣。在代數(shù)運算中， a+a+a=3a，故實數(shù)乘法可以看成是相同實數(shù)加法的簡便計算方法，那么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算。推進(jìn)新課新知探究提出問題已知非零向量a，試一試作出a+a+a 和 (-a)+(- a)+(- a)。你能對你的探究結(jié)果作出解釋，并說明它們的幾何意義嗎?引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎?怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識并猜想結(jié)果，對于運算律的驗證，點撥學(xué)生通過作圖來進(jìn)行。通過學(xué)生的動手作圖，讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運算的運算律及其幾何意義。教師要引導(dǎo)學(xué)

3、生特別注意 0a=0，而不是0a=0 。這個零向量是一個特殊的向量，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯，所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系。實數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加、減運算，比如+a， -a 都無法進(jìn)行。向量數(shù)乘運算的運算律與實數(shù)乘法的運算律很相似，只是數(shù)乘運算的分配律有兩種不同的形式：( +)a=a+a 和 (a+b)= a+b，數(shù)乘運算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同。判斷兩個向量是否平行(共線 )，實際上就是看能否找出一個實數(shù)，使得這個實數(shù)乘以其中一個向量等于另一個向量。一定要切實理解兩向量共線的條件，它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等

4、問題的有效手段。對問題，學(xué)生通過作圖1 可發(fā)現(xiàn)，OC = OA+AB + BC =a+a+a。類似數(shù)的乘法，可把 a+a+a 記作3a，即OC =3 a。顯然3a 的方向與a 的方向相同，3a 的長度是a 的長度的3倍，即|3a|=3|a|。同樣，由圖1 可知，圖1PN =PQQMMN=(- a)+(- a)+(- a)，即 (-a)+(- a)+(- a)=3(- a)。顯然 3(-a)的方向與a 的方向相反，3(-a)的長度是倍，這樣， 3(- a)=-3 a。對問題，上述過程推廣后即為實數(shù)與向量的積。我們規(guī)定實數(shù)與向量a 的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a 的長度的3a，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)| a|=| a|;|(2)當(dāng) 0時， a 的方向與a 的方向相同 ;當(dāng)