高考數(shù)學(xué)專題七選修選修4-5不等式選講課件文

1、選修4-5 不等式選講 熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型1 1絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式 【感悟經(jīng)典感悟經(jīng)典】 【典例典例】(2018(2018合肥二模合肥二模) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.f(x)=|2x-a|+a. (1)(1)當(dāng)當(dāng)a=2a=2時(shí)時(shí), ,求不等式求不等式f(x)6f(x)6的解集的解集. . (2)(2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.g(x)=|2x-1|.當(dāng)當(dāng)xRxR時(shí)時(shí),f(x)+g(x)3,f(x)+g(x)3,求求a a 的取值范圍的取值范圍. . 【聯(lián)想解題聯(lián)想解題】(1)(1)看到解絕對(duì)值不等式看到解絕對(duì)值不等式, ,想到利用絕對(duì)想到利用絕對(duì) 值的意義值

2、的意義. . (2)(2)看到看到xRxR時(shí)的恒成立問(wèn)題時(shí)的恒成立問(wèn)題, ,想到分類討論解絕對(duì)值想到分類討論解絕對(duì)值 不等式不等式. . 【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=2a=2時(shí)時(shí),f(x)=|2x-2|+2.,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式解不等式|2x-2|+26,|2x-2|+26,得得-1x3,-1x3, 因此因此f(x)6f(x)6的解集為的解集為x|-1x3.x|-1x3. (2)(2)當(dāng)當(dāng)xRxR時(shí)時(shí), , f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a= |

3、1-a|+a,|1-a|+a, 當(dāng)當(dāng)x= x= 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立, , 所以當(dāng)所以當(dāng)xRxR時(shí)時(shí),f(x)+g(x)3,f(x)+g(x)3等價(jià)于等價(jià)于|1-a|+a3.|1-a|+a3. 1 2 當(dāng)當(dāng)a1a1時(shí)時(shí), ,等價(jià)于等價(jià)于1-a+a3,1-a+a3,無(wú)解無(wú)解; ; 當(dāng)當(dāng)a1a1時(shí)時(shí), ,等價(jià)于等價(jià)于a-1+a3,a-1+a3,解得解得a2;a2; 所以所以a a的取值范圍是的取值范圍是2,+).2,+). 【規(guī)律方法規(guī)律方法】 含絕對(duì)值不等式的常用解法含絕對(duì)值不等式的常用解法 (1)(1)基本性質(zhì)法基本性質(zhì)法: :對(duì)對(duì)a0,|x|0,|x|a-axa-axaxaxa或或 x-a.

4、x-a. (2)(2)平方法平方法: :兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào). .這適應(yīng)于兩邊都這適應(yīng)于兩邊都 是正數(shù)的絕對(duì)值不等式是正數(shù)的絕對(duì)值不等式. . (3)(3)零點(diǎn)分區(qū)間法零點(diǎn)分區(qū)間法( (或叫定義法或叫定義法):):含有兩個(gè)或兩個(gè)以上含有兩個(gè)或兩個(gè)以上 絕對(duì)值符號(hào)的不等式絕對(duì)值符號(hào)的不等式, ,可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符 號(hào)號(hào), ,將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式 ( (組組) )求解求解. . (4)(4)幾何法幾何法: :利用絕對(duì)值的幾何意義利用絕對(duì)值的幾何意義, ,畫出數(shù)軸畫出數(shù)軸,

5、,將絕對(duì)將絕對(duì) 值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解. . (5)(5)數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法: :在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì) 應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象, ,利用函數(shù)圖象求解利用函數(shù)圖象求解. . 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+2|.f(x)=|x-a|+|x+2|. (1)(1)當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)時(shí), , 求不等式求不等式f(x)5f(x)5的解集的解集. . (2)(2)x x0 0R,f(xR,f(x0 0)|2a+1|,)|2a+1|,求求a a的取值范圍的取值范圍. . 【

6、解析解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)時(shí),f(x)=|x-1|+|x+2|,f(x)=|x-1|+|x+2|, 當(dāng)當(dāng)x-2x-2時(shí)時(shí),f(x)=-2x-1,f(x)=-2x-1, 令令f(x)5f(x)5即即-2x-15,-2x-15,解得解得-3x-2,-3x-2, 當(dāng)當(dāng)-2x1-2x1時(shí)時(shí),f(x)=3,f(x)=3, 顯然顯然f(x)5f(x)5成立成立, ,所以所以-2x1,-2x1, 當(dāng)當(dāng)x1x1時(shí)時(shí),f(x)=2x+1,f(x)=2x+1, 令令f(x)5f(x)5即即2x+15,2x+15,解得解得1x2,1x2, 綜上所述綜上所述, ,不等式的解集為不等式的解集為x|-3x2

7、.x|-3x2. (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)=|x-a|+|x+2|(x-a)-(x+2)|=|a+2|,f(x)=|x-a|+|x+2|(x-a)-(x+2)|=|a+2|, 因?yàn)橐驗(yàn)閤 x0 0R,R,有有f(x)|2a+1|f(x)|2a+1|成立成立, , 所以只需所以只需|a+2|2a+1|,|a+2|2a+1|, 化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)可得a a2 2-10,-10,解得解得a-1a-1或或a1,a1, 所以所以a a的取值范圍為的取值范圍為(-,-11,+).(-,-11,+). 2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=|2x-4|+|x+1|,xR.f(x)=|2x-4|+|x+1|,xR.

8、 (1)(1)解不等式解不等式f(x)9.f(x)9. (2)(2)若方程若方程f(x)=-xf(x)=-x2 2+a+a在區(qū)間在區(qū)間0,20,2有解有解, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的取的取 值范圍值范圍. . 【解析解析】(1)f(x)9(1)f(x)9可化為可化為|2x-4|+|x+1|9|2x-4|+|x+1|9 或或 或或 ; ; 2x42x4或或-1x2-1x2或或-2x-1; -2x-1; 所以不等式的解集為所以不等式的解集為-2,4.-2,4. x2 3x39 1x2 5x9 x1 3x39 (2)(2)由題意由題意:f(x)=-x:f(x)=-x2 2+a+aa=xa=x2 2-x

9、+5,x0,2,-x+5,x0,2, 所以方程所以方程f(x)=-xf(x)=-x2 2+a+a在區(qū)間在區(qū)間0,20,2有解有解函數(shù)函數(shù)y=ay=a和函和函 數(shù)數(shù)y=xy=x2 2-x+5-x+5圖象在區(qū)間圖象在區(qū)間0,20,2上有交點(diǎn)上有交點(diǎn), , 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)x0,2x0,2時(shí)時(shí),y=x,y=x2 2-x+5 ,7, -x+5 ,7, 所以所以a ,7 .a ,7 . 19 4 19 4 【提分備選提分備選】 1.(20181.(2018南陽(yáng)三模南陽(yáng)三模) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=|3x+2|.f(x)=|3x+2|. (1)(1)解不等式解不等式f(x)4-|x-1|.f(x)0),

10、m+n=1(m,n0),若若|x-a|-f(x) + (a0)|x-a|-f(x) + (a0) 恒成立恒成立, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的取值范圍的取值范圍. . 1 m 1 n 【解析解析】(1)(1)不等式不等式f(x)4-|x-1|,f(x)4-|x-1|, 即即|3x+2|+|x-1|4,x .|3x+2|+|x-1|4,x . (2) + = (m+n)(2) + = (m+n) =1+1+ + 4,=1+1+ + 4, 5 1 (,) 4 2 1 m 1 n 11 () mn n m m n 令令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|g(x)=|x-a|-f(x)=

11、|x-a|-|3x+2| = = 2 2x2a,x, 3 2 4x2a,xa, 3 2x2a,xa, 所以所以x=- x=- 時(shí)時(shí),g(x),g(x)max max= +a, = +a,要使不等式恒成立要使不等式恒成立, ,只只 需需g(x)g(x)max max= +a4 = +a4 即即0a .00).|ax-2|+|ax-a|2(a0). (1)(1)當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)時(shí), ,求此不等式的解集求此不等式的解集. . (2)(2)若此不等式的解集為若此不等式的解集為R,R,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的取值范圍的取值范圍. . 【解析解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)時(shí), ,不等式為不等式為|x-

12、2|+|x-1|2,|x-2|+|x-1|2, 由絕對(duì)值的幾何意義知由絕對(duì)值的幾何意義知, ,不等式的意義可解釋為數(shù)軸上不等式的意義可解釋為數(shù)軸上 的點(diǎn)的點(diǎn)x x到點(diǎn)到點(diǎn)1,21,2的距離之和大于等于的距離之和大于等于2.2. 所以所以x x 或或x .x . 5 2 1 2 所以不等式的解集為所以不等式的解集為 注注: :也可用零點(diǎn)分段法求解也可用零點(diǎn)分段法求解. . 15 x xx. 22 或 (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閨ax-2|+|ax-a|a-2|,|ax-2|+|ax-a|a-2|, 所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為R R等價(jià)于等價(jià)于|a-2|2,|a-2|2, 所以所以a4a4

13、或或a0.a0.又又a0,a0,所以所以a4.a4. 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是4,+).4,+). 熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型2 2不等式的證明不等式的證明 【感悟經(jīng)典感悟經(jīng)典】 【典例典例】1.(20171.(2017江蘇高考江蘇高考) )已知已知a,b,c,da,b,c,d為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù), ,且且 a a2 2+b+b2 2=4,c=4,c2 2+d+d2 2=16,=16,證明證明ac+bd8.ac+bd8. 2.2.已知已知x, yR.x, yR. (1)(1)若若x, yx, y滿足滿足|x-3y| , |x+2y| ,|x-3y| , |x+2y| , 求證求證: |x|

14、 .: |x| . (2)(2)求證求證: x: x4 4+16y+16y4 42x2x3 3y+8xyy+8xy3 3. . 1 2 1 6 3 10 【聯(lián)想解題聯(lián)想解題】1.1.看到看到a a2 2+b+b2 2,c,c2 2+d+d2 2與與ac+bd,ac+bd,想到利用柯想到利用柯 西不等式西不等式. . 2.(1)2.(1)看到絕對(duì)值不等式看到絕對(duì)值不等式, ,想到利用想到利用|a+b|a|+|b|.|a+b|a|+|b|. (2)(2)看到高次多項(xiàng)式的證明看到高次多項(xiàng)式的證明, ,想到利用作差比較法想到利用作差比較法. . 【規(guī)范解答規(guī)范解答】1.1.由柯西不等式可得由柯西不等式

15、可得: : (ac+bd)(ac+bd)2 2(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2),), 因?yàn)橐驗(yàn)閍 a2 2+b+b2 2=4,c=4,c2 2+d+d2 2=16,=16, 所以所以(ac+bd)(ac+bd)2 264,64, 因此因此ac+bd8.ac+bd8. 2.(1)2.(1)因?yàn)橐驗(yàn)閨5x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|2(x3y)|5x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|2(x3y)| +|3(x+2y)|2+|3(x+2y)|2 +3 +3 = , = , 所以所以|x| ,|x| , 1 2 1 6 3 2 3 10 (2)x(2)x4

16、4+16y+16y4 4-(2x-(2x3 3y+8xyy+8xy3 3) ) =x=x3 3(x-2y)-8y(x-2y)-8y3 3(x-2y)(x-2y) =(x-2y)(x=(x-2y)(x3 3-8y-8y3 3) ) =(x-2y)=(x-2y)2 2(x(x2 2+2xy+4y+2xy+4y2 2) ) =(x-2y)=(x-2y)2 2(x(x2 2+2xy+y+2xy+y2 2)+3y)+3y2 20,0, 即得即得x x4 4+16y+16y4 42x2x3 3y+8xyy+8xy3 3. . 【規(guī)律方法規(guī)律方法】 絕對(duì)值不等式的證明絕對(duì)值不等式的證明 含絕對(duì)值不等式的證明

17、題主要分兩類含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類: :一類是比較簡(jiǎn)單一類是比較簡(jiǎn)單 的不等式的不等式, ,往往可通過(guò)公式法、平方法、換元法等去掉往往可通過(guò)公式法、平方法、換元法等去掉 絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明題絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明題, ,或利用絕對(duì)值三角或利用絕對(duì)值三角 不等式性質(zhì)定理不等式性質(zhì)定理:|a|-|b|a:|a|-|b|ab|a|+|b|,b|a|+|b|,通過(guò)通過(guò) 適當(dāng)?shù)奶怼⒉痦?xiàng)證明適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明; ;另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含 絕對(duì)值的不等式絕對(duì)值的不等式, ,往往可考慮利用一般情況成立則特殊往往可考慮利用一般情況成立則特殊 情況也成立

18、的思想情況也成立的思想, ,或利用一元二次方程的根的分布等或利用一元二次方程的根的分布等 方法來(lái)證明方法來(lái)證明. . 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=|x+1|.f(x)=|x+1|. (1)(1)求不等式求不等式f(x)|2x+1|-1f(x)f(a)-f(-b). :f(ab)f(a)-f(-b). 【解析解析】方法一方法一:(1):(1)當(dāng)當(dāng)x-1x-1時(shí)時(shí), ,原不等式可化為原不等式可化為 -x-1-2x-2,-x-1-2x-2,解得解得x-1,x-1, 此時(shí)原不等式的解是此時(shí)原不等式的解是x-1;x-1; 當(dāng)當(dāng)-1x- -1x- 時(shí)時(shí), ,原不等式可化為原不等

19、式可化為x+1-2x-2,x+1-2x-2,解得解得 x-1,x-1, 此時(shí)原不等式無(wú)解此時(shí)原不等式無(wú)解; ; 1 2 當(dāng)當(dāng)x- x- 時(shí)時(shí), ,原不等式可化為原不等式可化為x+12x,x+11,x1, 此時(shí)原不等式的解是此時(shí)原不等式的解是x1;x1; 綜上綜上,M=x|x-1,M=x|x1.x1. 1 2 (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閒(ab)=|ab+1|=|(ab+b)+(1-b)|f(ab)=|ab+1|=|(ab+b)+(1-b)| |ab+b|-|1-b|ab+b|-|1-b| =|b|a+1|-|1-b|.=|b|a+1|-|1-b|. 因?yàn)橐驗(yàn)閍,bM,a,bM,所以所以|b|1,|a

20、+1|0,|b|1,|a+1|0, 所以所以f(ab)|a+1|-|1-b|,f(ab)|a+1|-|1-b|, 即即f(ab)f(a)-f(-b).f(ab)f(a)-f(-b). 方法二方法二:(1):(1)同方法一同方法一. . (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閒(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1| |a+1-(-b+1)|=|a+b|,|a+1-(-b+1)|=|a+b|, 所以所以, ,要證要證f(ab)f(a)-f(-b),f(ab)f(a)-f(-b), 只需證只需證|ab+1|a+b|,|ab+1|a+b|, 即證即證|ab+1|ab+1|2 2|a+b|a+b|2 2, , 即證即證a a2 2b b2 2+2ab+1a+2ab+1a2 2+2ab+b+2ab+b2 2, , 即證即證a a2 2b b2 2-a-a2 2-b-b2