工程中關(guān)于公差模型的數(shù)學(xué)方法

1、公差模型的數(shù)學(xué)方法公差模型的數(shù)學(xué)方法 報(bào)告人：劉嬌 12021/6/7 目目錄錄 CONTENTS 1 2 建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究 面向剛性、柔性裝配的公差分析方法面向剛性、柔性裝配的公差分析方法 22021/6/7 目目錄錄 CONTENTS 1 2 建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究 面向剛性、柔性裝配的公差分析方法面向剛性、柔性裝配的公差分析方法 32021/6/7 1 2 5 漂移公差帶模型漂移公差帶模型 虛擬邊界模型虛擬邊界模型 齊次變換矩陣法齊次變換矩陣法 建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究 3 矢量空間模型（圓度公

2、差數(shù)學(xué)模型）矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型） 4 基于積分映射的輪廓度公差建?；诜e分映射的輪廓度公差建模 42021/6/7 1 2 5 漂移公差帶模型漂移公差帶模型 虛擬邊界模型虛擬邊界模型 齊次變換矩陣法齊次變換矩陣法 建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究 3 矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型） 4 基于積分映射的輪廓度公差建?；诜e分映射的輪廓度公差建模 52021/6/7 1漂移公差帶模型漂移公差帶模型 閔科夫斯基和（Minkowski sum） 是兩個(gè)歐幾里得空間（一個(gè)特別的度量空間它使我們能夠?qū)?其的拓?fù)湫再|(zhì)加以調(diào)查）的點(diǎn)集的和，以德

3、國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫 斯基命名。點(diǎn)集A與B的閔可夫斯基和就是 A + B=a+b|aA,bB。例如，平面上有兩個(gè)三角形， 其坐標(biāo)分別為A = (1, 0), (0, 1), (0, 1)及B = (0, 0), (1, 1), (1, 1)，則其閔可夫斯基和為A + B = (1, 0), (2, 1), (2, 1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2)。 62021/6/7 例：例： += 72021/6/7 MMC：Maximum Material Condition 最大實(shí)體條件MMC=A +B LMC：Least Material

4、Condition 最小實(shí)體條件 LMC=A-B 公差帶公差帶可以認(rèn)為是處于MMC和LMC狀態(tài)下的 兩個(gè)實(shí)體的差集，只不過(guò)該集合使用漂移技 術(shù)得到的 82021/6/7 如圖所示，移動(dòng)一個(gè)半徑為如圖所示，移動(dòng)一個(gè)半徑為r的圓盤(pán)，其圓心位于圖的圓盤(pán)，其圓心位于圖(a)所示矩所示矩 形邊上，所掃過(guò)的空間區(qū)域如圖形邊上，所掃過(guò)的空間區(qū)域如圖 (b)所示，它是圖所示，它是圖(a)矩形的擴(kuò)矩形的擴(kuò) 展型，即矩形和圓盤(pán)的閔可夫斯基和；類似的，可得如圖展型，即矩形和圓盤(pán)的閔可夫斯基和；類似的，可得如圖(c) 所示的圖所示的圖(a)中矩形的縮減型；求擴(kuò)展型和縮減型的差，便得中矩形的縮減型；求擴(kuò)展型和縮減型的差

5、，便得 圖所示的公差帶。圖所示的公差帶。 （a）一個(gè)矩形）一個(gè)矩形 （b）擴(kuò)展形）擴(kuò)展形 （c）收縮型）收縮型 MMC LMC （d）公差帶）公差帶 92021/6/7 漂移模型漂移模型(offettingmodel) 這個(gè)模型用點(diǎn)集形式來(lái)表示，實(shí)體這個(gè)模型用點(diǎn)集形式來(lái)表示，實(shí)體S是歐氏空間的一個(gè)正則子集，用點(diǎn)集定義了是歐氏空間的一個(gè)正則子集，用點(diǎn)集定義了 其上特征其上特征 ，公差的數(shù)學(xué)表達(dá)：，公差的數(shù)學(xué)表達(dá)： i F S為所需添加公差的實(shí)體為所需添加公差的實(shí)體 i F為該名義實(shí)體的邊界為該名義實(shí)體的邊界 ij A 是公差要求是公差要求 上述定義的公差經(jīng)過(guò)漂移，得到漂移實(shí)體上述定義的公差經(jīng)過(guò)漂

6、移，得到漂移實(shí)體 =( ,)oS : ( , )P d p S 0 * (, * )SoC S0 ( ,) iij TSFA 為漂移量為漂移量(與公差有關(guān)與公差有關(guān)) -* 為正規(guī)差為正規(guī)差 C* 為正規(guī)補(bǔ)為正規(guī)補(bǔ) ( , )d p S點(diǎn)點(diǎn)p到實(shí)體到實(shí)體S的距離的距離 102021/6/7 漂移公差帶模型漂移公差帶模型 （a）一個(gè)矩形）一個(gè)矩形 （b）擴(kuò)展形）擴(kuò)展形 （c）收縮型）收縮型 （d）公差帶）公差帶 假定一個(gè)實(shí)體假定一個(gè)實(shí)體S，它的正漂移，它的正漂移a0定義為定義為S*a，相當(dāng)于，相當(dāng)于 在實(shí)體在實(shí)體S外加上一層與實(shí)體外加上一層與實(shí)體S邊界的距離值小于等于邊界的距離值小于等于a的所的

7、所 有的點(diǎn)（圖有的點(diǎn)（圖b）；）；a0為負(fù)漂移，定義為為負(fù)漂移，定義為S*|a|,相當(dāng)于除相當(dāng)于除 去實(shí)體去實(shí)體S上與實(shí)體上與實(shí)體S邊界的距離值小于邊界的距離值小于a的所有的點(diǎn)（圖的所有的點(diǎn)（圖c） 112021/6/7 國(guó)標(biāo)和國(guó)標(biāo)和ISO采用極限尺寸判采用極限尺寸判 斷原則：斷原則： （1）孔和軸的作用尺寸不）孔和軸的作用尺寸不 允許超過(guò)允許超過(guò)最大實(shí)體尺寸。最大實(shí)體尺寸。孔，孔， 作用尺寸應(yīng)不小于最小尺寸；作用尺寸應(yīng)不小于最小尺寸； 軸，不應(yīng)大于最大極限尺寸。軸，不應(yīng)大于最大極限尺寸。 （2）在任何位置上實(shí)際尺）在任何位置上實(shí)際尺 寸不允許超過(guò)寸不允許超過(guò)最小實(shí)際尺寸最小實(shí)際尺寸。 孔，實(shí)

8、際尺寸應(yīng)不大于最大孔，實(shí)際尺寸應(yīng)不大于最大 尺寸；軸，不應(yīng)小于最小極尺寸；軸，不應(yīng)小于最小極 限尺寸。限尺寸。 122021/6/7 1 2 5 漂移公差帶模型漂移公差帶模型 虛擬邊界模型虛擬邊界模型 齊次變換矩陣法齊次變換矩陣法 建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究 3 矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型） 4 基于積分映射的輪廓度公差建模基于積分映射的輪廓度公差建模 132021/6/7 2 虛擬邊界模型虛擬邊界模型 定義：定義：R.J和和V.S在在漂移理論漂移理論上，將裝配件的功上，將裝配件的功 能要求描述為能要求描述為虛擬表面虛擬表面的功能要

9、求剛性集合。的功能要求剛性集合。 這種用虛擬表面或虛擬半空間的邊界的剛性這種用虛擬表面或虛擬半空間的邊界的剛性 集合來(lái)描述的功能要求的方法稱為集合來(lái)描述的功能要求的方法稱為虛擬表面法虛擬表面法 或虛擬邊界要求法或虛擬邊界要求法(VBRS)。 裝配要求裝配要求 材料體積要求材料體積要求 VBRS 相當(dāng)于對(duì)材料增加量相當(dāng)于對(duì)材料增加量 的限制，即對(duì)孔而言的限制，即對(duì)孔而言 限制其最小極限尺寸，限制其最小極限尺寸， 對(duì)軸而言限制其最大對(duì)軸而言限制其最大 極限尺寸極限尺寸 相當(dāng)于對(duì)零件材料減相當(dāng)于對(duì)零件材料減 少量的限制，即對(duì)孔少量的限制，即對(duì)孔 而言限制其最大極限而言限制其最大極限 尺寸，對(duì)軸而言限

10、制尺寸，對(duì)軸而言限制 其最小極限尺寸其最小極限尺寸 142021/6/7 裝配要求：（在兩個(gè)零件之間建立指定的空間關(guān)系）裝配要求：（在兩個(gè)零件之間建立指定的空間關(guān)系） 柱銷和墊片的裝配要求柱銷和墊片的裝配要求 152021/6/7 柱銷柱銷應(yīng)滿足的集合約束關(guān)系采應(yīng)滿足的集合約束關(guān)系采 用用虛擬表面剛性集合虛擬表面剛性集合表述：表述： （1）Vs-1位于法蘭面的非位于法蘭面的非 材料邊材料邊 (2)法蘭面與法蘭面與Vs-1緊密接觸緊密接觸 （3） Vs-2包容圓柱面包容圓柱面 墊片墊片應(yīng)滿足的集合約應(yīng)滿足的集合約 束關(guān)系采用束關(guān)系采用虛擬表面虛擬表面 剛性集合剛性集合表述：表述： （1） Vs-

11、1存在于基存在于基 面的非材料邊面的非材料邊 (2)基面與基面與Vs-1緊密緊密 接觸接觸 （3） Vs-2被墊片的被墊片的 圓柱孔表面包圍圓柱孔表面包圍 162021/6/7 材料體積要求：材料體積要求： 功能要求功能要求:圓筒圓柱壁材料所占的體積包容由規(guī)定直圓筒圓柱壁材料所占的體積包容由規(guī)定直 徑和壁厚所確定的空心圓柱體積。徑和壁厚所確定的空心圓柱體積。 關(guān)鍵部位的材料幾何特性稱為關(guān)鍵部位的材料幾何特性稱為材料體積要求材料體積要求，只與，只與 材料量有關(guān)，與零件個(gè)部分之間的空間關(guān)系無(wú)關(guān)。材料量有關(guān)，與零件個(gè)部分之間的空間關(guān)系無(wú)關(guān)。 虛擬表面剛性集合虛擬表面剛性集合表述：表述： （1）Vs-

12、outer位于外圓柱的位于外圓柱的 材料邊且被外圓柱包圍材料邊且被外圓柱包圍 （2）Vs-inner存在于內(nèi)圓柱存在于內(nèi)圓柱 的材料邊且包容內(nèi)圓柱的材料邊且包容內(nèi)圓柱 虛擬邊界實(shí)際上是滿足公差定義的零偏差的虛擬邊界實(shí)際上是滿足公差定義的零偏差的極值極值 邊界邊界，所以虛擬邊界模型可用于，所以虛擬邊界模型可用于極值公差分析極值公差分析， 但不適用于尺寸鏈復(fù)雜的裝配體。但不適用于尺寸鏈復(fù)雜的裝配體。 172021/6/7 1 2 5 漂移公差帶模型漂移公差帶模型 虛擬邊界模型虛擬邊界模型 齊次變換矩陣法齊次變換矩陣法 建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究 3 矢量空間模型（圓度公差

13、數(shù)學(xué)模型）矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型） 4 基于積分映射的輪廓度公差建模基于積分映射的輪廓度公差建模 182021/6/7 3矢量空間模型矢量空間模型 Hoffman認(rèn)為幾何實(shí)體由三維歐氏空間的認(rèn)為幾何實(shí)體由三維歐氏空間的點(diǎn)矢量點(diǎn)矢量構(gòu)成，公差模型定義為一系構(gòu)成，公差模型定義為一系 列以點(diǎn)矢量為參數(shù)的公差函數(shù)族。滿足公差要求就是滿足下式：列以點(diǎn)矢量為參數(shù)的公差函數(shù)族。滿足公差要求就是滿足下式：( )Lf xU x 為零件的參數(shù)矢量為零件的參數(shù)矢量f為公差函數(shù)為公差函數(shù)L、U為公差域的上、下界為公差域的上、下界 Turner擴(kuò)展了這一模型。首先需要定義擴(kuò)展了這一模型。首先需要定義公差變量公差

14、變量、設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量和和模型變量模型變量 公差變量：公差變量：表示零件名義尺寸的偏差表示零件名義尺寸的偏差 設(shè)計(jì)變量：設(shè)計(jì)變量：由設(shè)計(jì)者確定，用以表示最終裝配件的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)由設(shè)計(jì)者確定，用以表示最終裝配件的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù) 模型變量：模型變量：控制零件各個(gè)公差的獨(dú)立變量控制零件各個(gè)公差的獨(dú)立變量 由于旋轉(zhuǎn)偏差是非線性的，用模型變量表示旋轉(zhuǎn)偏差旋轉(zhuǎn)方向上的矢量頂點(diǎn)由于旋轉(zhuǎn)偏差是非線性的，用模型變量表示旋轉(zhuǎn)偏差旋轉(zhuǎn)方向上的矢量頂點(diǎn) 特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.參數(shù)矢量必須獨(dú)立，否則就不能保證線性獨(dú)立和矢量疊加的可替換性參數(shù)矢量必須獨(dú)立，否則就不能保證線性獨(dú)立和矢量疊加的可替換性 2.即使是一個(gè)簡(jiǎn)單的零件會(huì)

15、產(chǎn)生大量參數(shù)矢量，如平面上兩個(gè)圓的尺寸公即使是一個(gè)簡(jiǎn)單的零件會(huì)產(chǎn)生大量參數(shù)矢量，如平面上兩個(gè)圓的尺寸公 差就需要定義至少差就需要定義至少36個(gè)參數(shù)矢量個(gè)參數(shù)矢量 3.為把公差約束轉(zhuǎn)換成參數(shù)矢量，需要對(duì)公差約束做一些近似處理，導(dǎo)致為把公差約束轉(zhuǎn)換成參數(shù)矢量，需要對(duì)公差約束做一些近似處理，導(dǎo)致 過(guò)大的誤差積累過(guò)大的誤差積累 192021/6/7 圓度公差數(shù)學(xué)模型圓度公差數(shù)學(xué)模型 （1） 假假 設(shè)設(shè) 圓圓 度公度公 差差 帶帶 局局 部坐標(biāo)系部坐標(biāo)系 的原的原 點(diǎn)取點(diǎn)取 在在 圓心圓心 定向矢量定向矢量 帶入（帶入（1）1 0 0 T d C 202021/6/7 圓度公差帶最大位移情況圓度公差帶最

16、大位移情況 當(dāng) 處于最大值 時(shí)，圓 過(guò) ，圓 過(guò) 代入（3）（4） y d ,maxy d , ( , ) cir e Cy z(,0) 2 ei r , ( , ) cir i Cy z (,0) 2 es r 由（7）（8）得 212021/6/7 1 2 5 漂移公差帶模型漂移公差帶模型 虛擬邊界模型虛擬邊界模型 齊次變換矩陣法齊次變換矩陣法 建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究 3 矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型） 4 基于積分映射的輪廓度公差建?；诜e分映射的輪廓度公差建模 222021/6/7 4齊次變換矩陣法齊次變換矩陣法 常用常用

17、齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)三維空間中的點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)到另一個(gè)來(lái)實(shí)現(xiàn)三維空間中的點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)到另一個(gè) 坐標(biāo)的變換，坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)的變換，坐標(biāo)點(diǎn) 的齊次坐標(biāo)變換可寫(xiě)成的齊次坐標(biāo)變換可寫(xiě)成( , , ) T XY Z ( , , ,1) T X Y Z 1 11 11 1 . . . 11.1 k jk jjk jj h j xxx yyy A zzz 1 11 11 1 . . . 11.1 ij ij iij i c i xxx yyy A zzz 1 11 11 1 . . . 11.1 k jk jjk jj f j xxx yyy A zzz 232021/6/7 零件零件A從理想位姿從理想位姿 變

18、換到實(shí)際位變換到實(shí)際位 的齊次坐標(biāo)變換：的齊次坐標(biāo)變換： ， 綜合的表示了沿各坐標(biāo)軸的綜合的表示了沿各坐標(biāo)軸的平動(dòng)平動(dòng) 和繞各坐標(biāo)軸的和繞各坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 0 A 1 A 1 100 ATA (,) xyz (,) xyz 平動(dòng)平動(dòng) 100 010 001 0001 x y z T 1 0T 242021/6/7 1000 0 cos()sin() 0 0 sin()cos() 0 0001 xx x xx R cos()0 sin() 0 0100 sin() 0 cos() 0 0001 xx y xx R cos()sin() 0 0 sin()cos()0 0 001 0 000 1

19、 xx xx z R sin() cos()1 由于影響機(jī)械加工精度的由于影響機(jī)械加工精度的 幾何變動(dòng)量相對(duì)零件的名幾何變動(dòng)量相對(duì)零件的名 義尺寸是義尺寸是微小量微小量 簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 252021/6/7 100 010 001 0001 x y T z 1000 010 010 0001 x x x R 100 0100 010 0001 y y y R 100 100 0010 0001 z z z R 1 0 xyz T T RRR 1 0 1 1 1 0001 Zy Zx yx x y T z 262021/6/7 272021/6/7 1 1000 d w ATATA 0 dm

20、f mfww T T T TA d m T 機(jī)床工作臺(tái)相對(duì)于刀具的齊次坐機(jī)床工作臺(tái)相對(duì)于刀具的齊次坐 標(biāo)變換（機(jī)床的幾何精度）標(biāo)變換（機(jī)床的幾何精度） m f T 夾具相對(duì)于機(jī)床工作臺(tái)的齊次坐標(biāo)夾具相對(duì)于機(jī)床工作臺(tái)的齊次坐標(biāo) 變換（夾具在機(jī)床上的定位誤差）變換（夾具在機(jī)床上的定位誤差） f wT 工件相對(duì)夾具的齊次坐標(biāo)變換（工件工件相對(duì)夾具的齊次坐標(biāo)變換（工件 在夾具上的定位誤差）在夾具上的定位誤差） 工件本身幾何變動(dòng)工件本身幾何變動(dòng) w T 282021/6/7 1 2 5 漂移公差帶模型漂移公差帶模型 虛擬邊界模型虛擬邊界模型 齊次變換矩陣法齊次變換矩陣法 建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究建立公

21、差模型的數(shù)學(xué)方法研究 3 矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型） 4 基于積分映射的輪廓度公差建?；诜e分映射的輪廓度公差建模 292021/6/7 5基于積分映射的輪廓度公差建?；诜e分映射的輪廓度公差建模 ( , )zr x y 自由曲面自由曲面 空間平面空間平面 P Z=h ( , ) D vr x y dxdy p p D vhdxdy 假設(shè)假設(shè) 則對(duì)則對(duì)曲面曲面的的 積分可以通過(guò)對(duì)積分可以通過(guò)對(duì)平面平面積分求解得到積分求解得到 v p v 302021/6/7 ( , ) a zr x y變動(dòng)要素變動(dòng)要素 a 公差上限公差上限 u ( , ) u zr x

22、y 理想要素理想要素 n ( , ) n z r x y 公差下限公差下限 l ( , ) l zr x y ( , ) aa D vr x y dxdy ( , ) nn D vr x y dxdy ( , ) uu D vr x y dxdy ( , ) ll D vr x y dxdy 312021/6/7 ( , )( , )( , ) lau r x yr x yr x y ( , )( , )( , ) lau DDD r xydxdyr xydxdyr xydxdy lau vvv lau lau vvv hhh sss 設(shè)映射平面設(shè)映射平面 變化大小為變化大小為 a P p t pul thh ( , )( , ) ul tr x yr x y ul pul vv thh ss 11 ( , )( , ) ul DD r x y dxdyr