理學(xué)數(shù)學(xué)分析導(dǎo)數(shù)與微分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 理學(xué)數(shù)學(xué)分析導(dǎo)數(shù)與微分理學(xué)數(shù)學(xué)分析導(dǎo)數(shù)與微分 yf xa,b xx 0 xxa,b 0 yf xxf x 00 x f limlim xx f xxf xy xx 00 00 x0 x0 / fx0 x df dx 0 x dy dx 0 f x 第1頁/共47頁 yf xa,b f xa,b / yfx 第2頁/共47頁 0 0 / sincosxx / cossinxx m / mm xmx 1 1 / xx ee / xx 1 1 / ln xx aaa a 0 0 注.下一節(jié)證明 . 例4. 證明: 注.下一節(jié)證明 R, . 例3. 設(shè) 為一自然數(shù), 則 . 注. 同理 例2

2、. 第3頁/共47頁 yf xa 注. 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件, 但不充分. 2.可導(dǎo)與連續(xù) 第4頁/共47頁 yf x yg xa,b yf xg xa,b / / f xg xfxgx yf xg xa,b a,b / / f xg xfxg xf x gx g x,xa,b0 f x y g x / / f xfx g xf x gx g x g x 2 第5頁/共47頁 cos x yex sin x yex tanyx nn nn ya xaxa xa 1 110 sinyx 2 (5) (4) (3) (2) 第6頁/共47頁 為為. lim x f xxf x x 00 0 0 f

3、 xx0 / fx 0 0 lim x f xxf x x 00 0 0 f x x0 / fx 0 0 注. 函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是:在該點(diǎn)左 右導(dǎo)數(shù)都存在且相等. 4.函數(shù)的可導(dǎo)性 第7頁/共47頁 sinxx yx x 1 0 00 yx 13 x 0 x 0 例7.證明: 在 沒有導(dǎo)數(shù). 第8頁/共47頁 sinyx x 1 , 0 0 , 0 0 , 0 0 yx 13 y yf xx0,xf x 00 第9頁/共47頁 第10頁/共47頁 yf x zg y yf x zg y zg f x , a b ,A B,A B ,xa b 0 yf x 00 x0 / x x dg

4、f x gyfx dx 0 00 x xx x y y dzdzdy dxdydx 00 0 第11頁/共47頁 yfx zg y / dg fx gfxfx dx dzdz dy dxdy dx 第12頁/共47頁 2 2sinyx cos n yx 2 2 x ye 3 3 2 2 1 1 x yxe 1 1sin x ye / ln xx aaa 0 0a 注. (5) (4) (3) (2) 第13頁/共47頁 yfx xy x yx yfx sinyyx0 010 01 xy ex y 2 2 1010 yy x 例2. 求由 確定的函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). 例. 求由 所確定函 數(shù) 的導(dǎo)數(shù).

5、 方程兩端關(guān)于 求導(dǎo), 是 的函數(shù). 求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法: 若函數(shù) 由一個(gè)關(guān)于 與 的方程 決定, 該函數(shù)稱作隱函數(shù). 第14頁/共47頁 yfx yfx xg y ,a b ,A B ,A B y0 0 0 0 xg y 0000 / / fx gy 0 0 0 0 1 1 / / fx gfx 0 0 0 0 1 1 3.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第15頁/共47頁 arcsinyx arccosyx arcsinarccosxx 2 2 arctanyx arccotyx logayx ,aa0101 / ln xx x 1 1 0 0 / ln xx x 1 1 0 0 注. ， 例5.求 的導(dǎo)數(shù)

6、. 例4.求 和 的導(dǎo)數(shù). 注. 例3.求 和 的導(dǎo)數(shù). . 第16頁/共47頁 yx x yx g x yfx 注. 若初等函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo), 則其導(dǎo)函 數(shù) 仍是初等函數(shù). 注. 對(duì) , 先取對(duì)數(shù), 再求導(dǎo), 稱為 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 例7.求 的導(dǎo)數(shù). 第17頁/共47頁 lim xa x 0 0 lim xa x 0 0 x 0 0 lim xa x l x 0 0 x x l 1 1 x x x x xa 1.無窮小量階的比較 若 , 則稱 與 是等價(jià)無窮小量, 記作 . 假若 ， 則稱 與 是同階無窮小量. 第18頁/共47頁 lim xa x x 0 0 x x x ox xa 第19

7、頁/共47頁 , x M x , ,xaaa 0 0M 0 0 xa x x xOx . xa 若存在 及 , 使得 即當(dāng) 時(shí), 是有界量, 記為 第20頁/共47頁 ,o Oxa x x xa xxox xa lnx 1 1 x x 0 0 cos xo xx1010 cos x 1 1 x x 2 2 0 0 2 2 注. 例2.證明: 例1.證明: 注. 第21頁/共47頁 lim xa x 0 0 x n xa x n x n x x 1 1 注. 當(dāng) 時(shí), 取 . 第22頁/共47頁 x 1 1 xoxa 1 1 xa x xOxa 1 1 xa x 第23頁/共47頁 lim xa

8、 u x lim xa v x lim xa u x c v x 0 0 u x v x c 1 1 u x v x u x v x xa 第24頁/共47頁 lim xa u x v x u xxa v x 0 0M 0 0 , u x M v x , ,xaaa u xO v x . xa 第25頁/共47頁 o O k v x xa 1 1 u x v xxa u xk x k v xx kN 注.無窮大量比較時(shí), 習(xí)慣上不用 , 而仍用 和. 第26頁/共47頁 x e 1 1 .x x 0 0 .x x 0 0 x 1111 v xxx 3535 2323 v x ,xx 3 3 2

9、020 v x .xx 5 5 3 3 u xxx u x ,xx 1 12 2 u x .xx 1 1 4 4 0000 lim. x xxxxx 3333 3333 例4. 求 (4)設(shè) . 則 (3)設(shè) . 則 (2) 第27頁/共47頁 第28頁/共47頁 . yfx yfx yfx x0 0 x0 0 x0 0 A yfxxfx 0000 A xoxx 0 0 A x dydf 注. 微分是函數(shù)值改變量的線性主要部分. 2.微分的概念 第29頁/共47頁 yfx yfx yfx x0 0 x0 0 x0 0 fx ,a b / ( )dffxx x dxx / dffx dx ,xa

10、 b fx x fx ,a b 定義. 若 , 在 可微, 則稱 在 可微. 注. 當(dāng) 是自變量時(shí), . 通常將微分表示為 . 注. 若 在 處處可微, 則 . ().dffx dx 0 0 第30頁/共47頁 dfgdfdg dfgg dff dg fg dff dg d gg 2 2 sin x dxe arctandx(2) (1) 例5. 求下列微分 第31頁/共47頁 . 5 5 32 1632 16 xy ex y 2 2 1010 yy x 例7. 求由 確定函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). 第32頁/共47頁 yfx ,a b / yfx ,a b / fx / yfx x0 0 / fxx0

11、0 fxx0 0 / fx0 0 x x d f dx 0 0 2 2 2 2 x x d y dx 0 0 2 2 2 2 第33頁/共47頁 / yfx ,a b yfx / fx ddfd f dxdxdx 2 2 2 2 . ddyd y dxdxdx 2 2 2 2 第34頁/共47頁 nn nn d fddf dxdxdx 1 1 1 1 yfx n n 1 1 / , nn fxfx 1 1 . nn nn d yddy dxdxdx 1 1 1 1 第35頁/共47頁 / n x / arcsin x sin n x n x ln n x 1 1 n x e(6) (5) (4

12、) (3) (2) (1) 第36頁/共47頁 n nn c fc gc fc g 12121212 yfx yg x ,a b n n n kn kk n k fxg xC fx gx 0 0 ff 0 0 gg 0 0 注. 第37頁/共47頁 n axbx ee sinxx 5 5 2 2 sin x ye xy ex y 2 2 1010 yy x 注. 要求復(fù)合函數(shù)或隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù), 只需 重復(fù)使用求一階導(dǎo)數(shù)的方法. 例5. 求由 確定的函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù). 例4. 求 的二階導(dǎo)數(shù) 例3. 求 第38頁/共47頁 / dffx dx dfx dxdx dfxdfx d dfd f 2

13、 2 / d fdfx dx 2 2 / dfxdxfxd dx / fxdx dxfxdx 2 2 dxdx 2 2 2 2 / d ffx dx 2222 記 , 則 . 2. 高階微分 第39頁/共47頁 n nnn d ffx dx . n n dxdx n dx nn dxxdx 1 1 . n n dxdx (2) 若它出現(xiàn)在等式右端, 左端也是微分, 則為 (1) 若它單獨(dú)出現(xiàn), 則 . 注. 有兩種意義 第40頁/共47頁 / dyfx dx x 注. 意義不一樣. 1.一階微分形式不變性 個(gè)變量的函數(shù), 總是成立的, 這個(gè)性質(zhì)稱為一 階微分的形式不變性. 第41頁/共47頁 sinxxx de 2222 注. 高階微分不具有形式不變性. 例1. 求 . 第42頁/共47頁 yfx xg t yh t t dy dx / / ht dtht gt dtgt dy dy dt dx dx dt 注. 第43頁/