導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)用解密

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)用解密 函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f（x0）的幾何意義是曲線在點(diǎn)x0的切線斜率，它不僅是導(dǎo)數(shù)概念直觀化形象化的模型，也是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具加以運(yùn)用的一個(gè)重要途徑.把握導(dǎo)數(shù)幾何意義及運(yùn)用的常用類型，對(duì)于學(xué)好導(dǎo)數(shù)有著極其重要的意義.本文以列舉范例的形式，對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義及運(yùn)用加以解密. 基礎(chǔ)運(yùn)用切線斜率 例1 設(shè)曲線c：y=x3，點(diǎn)p（1，1），直線l：y=-x+1. （1）求曲線c在點(diǎn)p處的切線m的方程，并求切線m與c的公共點(diǎn)的坐標(biāo); （2）曲線在哪個(gè)點(diǎn)處的切線與l垂直？ 解析 （1）由c：y=x3得曲線c在點(diǎn)p的切線斜率為y=3x2x=1=3， 依點(diǎn)斜式知切線m：y-1=

2、3（x-1），即m：y=3x-2， 再由y=3x-2，y=x3得，x3=3x-2， 即（x-1）2（x+2）=0，從而x1=1或x2=-2. 所以切線m與c的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）和（-2，-8）. （2）切線與直線l：y=-x+1垂直，則切線斜率為1. 設(shè)切點(diǎn)為（x0，x03），由y=3x2得，3x02=1， 則x0=33，從而切點(diǎn)為（33，39）或（-33，-39）. 點(diǎn)撥 “求切線，定切點(diǎn)”，包括給出的點(diǎn)在或不在已知曲線上兩類情況，求切線方程的難點(diǎn)在于分清“過點(diǎn)（x0，y0）的切線”與“點(diǎn)（x0，y0）處的切線”的差異. 突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是理解這兩種切線的不同之處：在過點(diǎn)（x0，y0

3、）的切線中，點(diǎn)（x0，y0）不一定是切點(diǎn);而點(diǎn)（x0，y0）處的切線，必以點(diǎn)（x0，y0）為切點(diǎn)，故此時(shí)切線的方程才是y-y0=f（x0）（x-x0）. 引申運(yùn)用割線斜率 例2 在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意x1，x2（x1x2），f（x1）-f（x2） a. f（x）=x b. f（x）=1x c. f（x）=x2 d. f（x）=2x 解析 f（x1）-f（x2） 答案 b 點(diǎn)撥 函數(shù)y=f（x）在圖象上任意兩點(diǎn)m（a，f（a），n（b，f（b）連線的斜率（存在的話）k=f（b）-f（a）b-a的取值范圍就是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)切線的斜率（如果存在的話）范圍，即導(dǎo)函

4、數(shù)的值域，運(yùn)用這一點(diǎn)，可以解決一些有關(guān)割線斜率的棘手問題. 拓展運(yùn)用公切線 例3 已知拋物線c1：y=x2+2x和c2：y=-x2+a，如果直線l同時(shí)是c1，c2的切線，稱l是c1，c2的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段 . （1）a取什么值時(shí)，c1，c2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程; （2）若c1，c2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分. 解析 （1）函數(shù)y=x2+2x的導(dǎo)數(shù)y=2x+2，曲線c1在點(diǎn)p（x1，x12+2x1）的切線方程是： y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1）， 即y=（2x1+2）x-x12. 同理，函數(shù)y=-x2+a的導(dǎo)

5、數(shù)y=-2x，曲線c2在點(diǎn)q（x2，-x22+a）的切線方程是 y-（-x22+a）=（-2x2）（x-x2）， 即y=-2x2x+x22+a. 如果直線l是過p和q的公切線，則和是同一直線方程. 所以x1+1=-x2，且-x12=x22+a， 消元得2x12+2x1+1+a=0， 若=4-42（1+a）=0. 則a=-12，解得x1=-12，此時(shí)點(diǎn)p與q重合. 即當(dāng)a=-12時(shí)，c1，c2有且僅有一條公切線. 由得公切線方程為y=x-14. （2）證明：由（1）可知，當(dāng)a-12時(shí)，c1，c2有兩條公切線. 設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為p（x1，y1），q（x2，y2），其中p在c1上，q在c2上，

6、則x1+x2=-1， y1+y2=x12+2x1+（-x22+a）=x12+2x1-（x1+1）2+a=a-1. 則線段pq的中點(diǎn)為（-12，a-12）. 同理，c1，c2另一條公切線段pq的中點(diǎn)也是（-12，a-12）， 所以公切線段pq與pq互相平分. 點(diǎn)撥 凡遇公切線，先設(shè)兩切點(diǎn)，然后由導(dǎo)數(shù)計(jì)算切線斜率，再由點(diǎn)斜式寫出兩曲線的切線，最后利用兩切線重合列方程組求解. 綜合運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化 例4 已知l：y=3x-13，在拋物線c：y=x2+x-2上找一點(diǎn)p，使p到直線l的距離最短并求此最短距離. 解析 如上圖，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀念可知，與已知直線l平行且與拋物線c相切的直線的切點(diǎn)p到直線l的距離最短. 設(shè)切點(diǎn)p（x0，x02+x0-2），由拋物線c：y=x2+x-2得， y=2x+1， 則2x0+1=3，故x0=1. 則切點(diǎn)p（1，0），此時(shí)最短距離d=31-1310=10. 點(diǎn)撥 本題屬于“非圓類曲線上的動(dòng)點(diǎn)到與之相離的定直線距離的最值”，解答此類問題，求曲線的切線方程