(新課標(biāo))高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)習(xí)題理

1、 3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)1 .函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a , b)內(nèi)，如果f (x)0 ,那么函數(shù)y = f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ;如果 f (x)0,右側(cè)f (x)v0,那么f(xo)是極大值；如果在xo附近的左側(cè) ,右側(cè) ,那么f(xo)是極小值.(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：求f (x);求方程 的根；檢查f (x)在上述根的左右對(duì)應(yīng)函數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得;如果左負(fù)右正，那么 f(x)在這個(gè)根處取得 .3 .函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)白函數(shù)f(x)在a, b上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在a, b上單調(diào)遞增，則 為函數(shù)在a

2、, b上的最小值， 為函數(shù)在a, b上的最大值；若函數(shù) f(x)在a, b上單調(diào)遞減，則 為函數(shù)在a, b上的最大值， 為函數(shù)在a, b上的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f (x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在a, b上的最大值和最 小值的步驟如下：求f(x)在(a, b)內(nèi)的極值;將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值 , 進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是 ,最小的一個(gè)是.自查自糾1單調(diào)遞增 單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)2 (1)f (x) 0f ( x) = 0極大值 極小值3 (2) f(a)f(b)f(a) f(b)f (a)f (b)最大值 最小值關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是()a.導(dǎo)數(shù)為

3、0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)b.函數(shù)的極小值一定小于它的極大值c. f(x)在定義域內(nèi)最多只能有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值d.若f(x)在(a, b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a, b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)解：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)(如y = x3,在x=0處)，而極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為 0. 極值是局部概念，因此極小值可能有多個(gè)且有可能大于極大值.極值點(diǎn)是單調(diào)性的轉(zhuǎn)折 點(diǎn).故選d.(2015 北京海淀區(qū)模擬)函數(shù)f(x) =x2 2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()a. (0, 1)b. (1 , +oo)c. (8, 1)d. ( 1, 1)，2 2 (x+1) (x1)解：-f (x) =2x-x=x(x0

4、).，當(dāng) xc(0, 1)時(shí) f (x)v0, f(x)為減函數(shù);當(dāng) xc(1,+oo)時(shí)，f (x) 0, f(x)為增函數(shù).故選 a.設(shè)函數(shù) f(x)=2xex1,則()a. x = 1為f (x)的極大值點(diǎn)b. x=1為f (x)的極小值點(diǎn)c x= 1為f(x)的極大值點(diǎn)d. x= 1為f(x)的極小值點(diǎn)解：求導(dǎo)得 f (x) = 2ex+2xex=2ex(x+1),令 f (x) = 2ex(x+1) = 0,解得 x=- 1,易知x= 1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).故選 d.增函數(shù)，則a的最大值是.解：f (x) = 3x2 a,令 3x2-a0,即已知f(x)=x3ax在1 ,+8)

5、上是aw3x2在1 , +)上恒成立，得 aw3,即a的最大值是3.故填3.函數(shù) f(x) =x + 2cosx, xc 0,的最大值是.一一1.k .一 汽 .解：f (x) = 1 2sin x,令 f (x) = 0 得 sin x=2,從而 x =,當(dāng) xc 0,音 時(shí)，汽 汽f (x)0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) xc , 2時(shí)，f (x) v0, f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x=6處取得極大值，即最大值6+#.故填6+43.24 / 23則其導(dǎo)函數(shù)類型一 導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)y= f (x)的圖象可能是()y= f (x)的圖象如圖所示,解：由題意得函數(shù) y = f（x

6、）在（0 , +00）上單調(diào)遞減，則其導(dǎo)函數(shù)在（0, +8）上恒小于0,排除b, d;又二函數(shù) y = f（x）在（8，0）上先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)在（8, 0）上先大于0,后小于0,再大于0,排除c,故選a【點(diǎn)撥】 導(dǎo)函數(shù)的圖象在哪個(gè)區(qū)間位于x 軸上方 （ 下方 ） ，說明導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間大于0（ 小于 0） ，那么它對(duì)應(yīng)的原函數(shù)在那個(gè)區(qū)間就單調(diào)遞增 （ 單調(diào)遞減 ） (2014 北京聯(lián)考)如圖是函數(shù)y =f(x)的導(dǎo)函數(shù)y = f (x)的圖象，則下面判斷正確的是(a在(一2, 1)上f(x)是增函數(shù)b.在(1 , 3)上f(x)是減函數(shù) c.當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取極

7、大值 d.當(dāng)x=4時(shí)，f(x)取極大值 解：由y=f (x)的圖象可得y=f (x)的大致圖象如圖.由圖可知，a, b, d均錯(cuò).故選 c.類型二導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性(2015 嘉興質(zhì)檢)已知函數(shù) f (x)=ex 1-ax( a r). 2 ex3(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在1, 1上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.3 ,ex 13解：(1)當(dāng) a=2時(shí)，f(x) = - -x,22 ex 21c1x、2xxxf (x) = 2ex( e) 3e +2 =2ex(e -1)( e -2),令(x)=0,得 ex=1 或 ex=2,即 x=0 或 x=

8、ln2.令 f (x) 0,則 xv 0 或 x ln2 ;令 f (x)0,則 0x ln2.+ 8)；遞減區(qū)間是(0, ln2).f (x)的遞增區(qū)間是(一8, 0), (ln2(2) f ( x)=ex 1由于 xc 1, 1, t1，當(dāng)t e 山時(shí)，h e當(dāng)te(4，e時(shí)，h人 t 1 令 h(t) =2+t1h (t)=2(t)0花 4 1故h(t)在 ee 1 e1 et2 -2t2 2t2 函數(shù)h(t)為單調(diào)減函數(shù);函數(shù)h(t)為單調(diào)增函數(shù).e上的極小值點(diǎn)為t = 42.又 h(e)=2 + e- + -m t e -，e恒成立,2 t e1上單調(diào)遞減,所以ae42e1綜上可得a

9、的取值范圍是( 8, q2 u e+, 4e+ oo .【點(diǎn)撥】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論. 的區(qū)間d上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為(2)若可導(dǎo)函數(shù)f (x)含f (x)在指定f (x) 0(或 f ( x) w 0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.(2015-全國n改編)已知函數(shù) f(x)=ln x+ a(1 x).討論f (x)的單調(diào)性;(2)若f(x)在(2, +8)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(0,.1.一.(1) f(x)的te義域?yàn)?0, +)f (x

10、) =-a.右 a0, f (x)在x+ 8)單調(diào)遞增；若1a0,則當(dāng) xc 0,一時(shí),a1f (x)0,當(dāng) xc +8 時(shí)，f十 單調(diào)遞減.11(x) 0 時(shí)，f (x)在1(-00 , 0 u +8(2)由(1)知，當(dāng)a-,即a. .實(shí)數(shù)a的取值范圍是aa 2類型三導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值問題x a(2014重慶)已知函數(shù) f(x) =- + -4 x3,，八 1lnx 2，其中acr,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線垂直于直線y=2x.(1)求a的值;1 a 1解：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)=4-x2-x，(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.由f (x)在點(diǎn)(1 , f (1

11、)處的切線垂直于直135線 y=,x 知 f (1) =-4- a=- 2,解得 a=-.，一 x 53(2)由(1)知 f(x)=%+4; lnx今 4 4x 2w ，x2 4x5川 f (x) = -4x2 .令 f ( x) = 0,解得 x= - 1 或 x= 5.因?yàn)閤=- 1不在f (x)的定義域(0 , +8)內(nèi)，故舍去.當(dāng)xc(0, 5)時(shí)，f (x) 0,故f (x)在(5 ,+8)上為增函數(shù).由此知函數(shù)f (x)在x= 5時(shí)取得極小值f(5) =- ln5.【點(diǎn)撥】找函數(shù)的極值點(diǎn)，即先找導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，但并不是說導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)就是極值點(diǎn)(如y = x3),還要保證該零點(diǎn)為變號(hào) 零點(diǎn)

12、.設(shè) f (x) = a(x - 5) 2+ 6ln x ,其中acr,曲線y=f (x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線斜率為 2.(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.,6解：(1) f (x) =2a(x5) +-, x一 1依題意，f (1) =6-8a=2,得 a=.,-12(2)由(1)知，f(x) =2(x-5) +6lnx(x0),(x2)(x 3)令 f (x) = 0,得 x=2 或 3.x, f (x), f(x)的變化情況如下表：x(0, 2)2(2, 3)3(3 , +2f (x)十0一0十f(x)極大值極小值故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0, 2)和(3

13、, +8), 單調(diào)減區(qū)間為(2 , 3). ，一9，一f(x)的極大值 f(2)=2+6ln2,極小值 f (3) =2+6ln3.類型四導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值問題已知函數(shù) f(x) = ax2+2, g(x)=x3 +bx.若曲線y = f(x)與曲線y=g(x)在它們白交點(diǎn)(1 , c)處具有公共切線.(1)求a, b的值；(2)求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(一國，1上的最大值.解：(1) f (x) = 2ax, g (x)=3x2+b,- f(1) =g(1) , f (1) =g (1)，a+2=1+b,且 2a=3+b,解得 a = 4, b= 5. 32(2)設(shè)

14、 h(x) = f(x) +g(x) =x +4x +5x+2,2則 h (x) =3x+8x+5 = (3x+5)( x+1).x, h (x), h(x)的變化情況如下表:x5-oo 3，5一351 一一3-1(-1, +)h (x)十0一0十h(x)極大值極小值在-5住3,-1上單調(diào)遞減.5-h-3,4h(1) =12, 12藥5所以f(x)在一8, ( 1, +8)上單調(diào)遞增，3，f(x) + g(x)在(一8, 1上的最大值為 12.【點(diǎn)撥】函數(shù)在限定區(qū)間內(nèi)最多只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，如果存在最大或最小 值，最大值一般是在端點(diǎn)或極大值點(diǎn)取得，最小值一般是在端點(diǎn)或極小值點(diǎn)取得.設(shè)函

15、數(shù) f (x) = aln x bx f (x)=； x(x0),若一一，一，1 ，函數(shù)y = f(x)的圖象在x = 1處與直線y= 5相切.(1)求實(shí)數(shù)a, b的值;1(2)求函數(shù)f(x)在-，e上的最大值.e一 一, a .解：(1) f (x)=-2bx, x,函數(shù)y= f (x)的圖象在x= 1處與直線f (1) =a2b = 0,y= 2相切a= 1,1f (1) =-b=-2,1 2(2) f (x) = ln x-2x ,解得1 b=-.21-x2x=,x ，,1，人，:當(dāng)一wxwe 時(shí)，令 f (x)0,得一wxv1；ee令 f ( x) v 0,得 1 vxw e,1.f(

16、x)在1上單調(diào)遞增，在1 , e上單調(diào)遞減， e,1，1 .f(x)在工e上的最大值 為f(1) =-;.e2類型五實(shí)際應(yīng)用問題(優(yōu)化問題)(2013 重慶)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)，設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為 v立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000兀元(兀為圓周率).(1)將v表示成r的函數(shù)v(r),并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)v( r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.2解：(1)二.蓄水池側(cè)面的總成本為100 2兀rh = 2

17、00兀rh兀，底面的總成本為160 71r元，2蓄水池的總成 本為(200兀rh+ 160兀r )兀.又據(jù)題意 200 71rh+ 160 兀 r2= 12000 兀，一 .、1o 一 . 、o ttq所以 h= (300 -4r2),從而 mr)=兀 r2h = w(300r 4r3). 515r0,又由 h0 可得 r0 ,故mr)在(0 , 5)上為增函數(shù)；當(dāng) rc(5, 5g3)時(shí)，v (r)0,故 v(r)在(5, 5、/3)上為減函數(shù).由此可知，mr)在r = 5處取得最大值，此時(shí) h= 8.即當(dāng)r = 5, h=8時(shí)，該蓄水池的體積最大.【點(diǎn)撥】 解此類應(yīng)用問題，應(yīng)以讀題、建模、

18、求解、作答這四個(gè)步驟為主線，同時(shí)還 應(yīng)注意實(shí)際問題中函數(shù)的定義域.用長為15 cm,寬為8 cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四角分別裁去一個(gè)邊長為x cm的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90。角，再焊接而成（如圖）.問該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？解：依題意，0vx0, v遞增；3，5,一當(dāng).v x4時(shí)，v 0, f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng) 0vxv1 時(shí)，f (x)0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2b. 一，+0a, 0,a2d. ( 8, a)c.-a,22、，2 ,解：由f (x) =- a0,得00 時(shí)，f (x) = e、一 1 0; x0, b0, d0b. a0, b0, c0c. a

19、0, b0, c0d. a0, b0, c0, d0 且 xix2 =3a解：f(0) =d0;當(dāng)x無限增大時(shí)f(x)無限增大，因此a0; f (x)=3ax2+2bx+c,由圖知xi及x2均大于0,而xi與x2為f (x) = 0的兩根，結(jié)合 a0得 b0. 1- a0, b0, d0.故選 a6. (2015 陜西)對(duì)二次函數(shù)f(x) = ax2+bx+c(a為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出下 列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是() a. 1是f(x)的零點(diǎn)b. 1是f(x)的極值點(diǎn)c. 3是f(x)的極值d.點(diǎn)(2 , 8)在曲線y=f (x)上解：由 a 知 ab+c=

20、0;由 b 知 f (1) = 2a+b=0;對(duì)于 c, f (x) =2ax+ b,令一 b 一 b_.4acb2, ,a b + cw0, aw0, 2a+b=0,項(xiàng)錯(cuò)誤，則 4ac b24a =34a+ 2b+c = 8,f (x) = 0 可彳導(dǎo) x=-,則 f 兀=3,則=3;由 d 知 4a+ 2b+c=8.假設(shè) a 選 2a2a4aa 5,得b=10,滿足題意，故a結(jié)論錯(cuò)誤.同理易知當(dāng)c = 8.b或c或d選項(xiàng)錯(cuò)誤時(shí)，不符合題意.故選 a7.已知x=3是函數(shù)f (x) = aln x+x210x的一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a=.a.a一 .解：f (x) =+2x10,由f (3)=鼻+

21、610= 0得a=12,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè)條 x3件.故填12.8.已知圓柱的體積為16兀cm3,則當(dāng)?shù)酌姘霃絚m時(shí)，圓柱的表面積最小.解：圓柱的體積為 v=兀%=16兀？ r 2h = 16圓柱的表面積s= 2兀rh + 2兀r 2 =32n 216c卜2兀r = 2兀卜r2 rr16=2兀, + 2r = 0 得 r = 2.因此jr2r(0，2)2(2 , +)s一0十s極小值，也是最小值/由s，當(dāng)?shù)酌姘霃絩=2時(shí)，圓柱的表面積最小.故填2.ax9. (2015 女徽)已知函數(shù) f (x) = z , 2( a0, r0). (x+ r) 10.已知函數(shù) f(x)=x+alnx, aw0.(

22、1)若x= 1是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的值；(2)討論f (x)的單調(diào)性.a解：f (x) = 2x+x, x0.(1)因?yàn)?f (1) = 0,所以 2 + a=0,得 a=- 2,經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=2時(shí)，x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).(2)若a0,則f (x)0恒成立，f (x)在(0 , +8)上單調(diào)遞增.(1)求f(x)的定義域，并討論f (x)的單調(diào)性；,a解：(1)由題意知xw r, 所求的定義域?yàn)?0, r) u ( r, +).axax(2)若r = 400,求f(x)在(0, +8)內(nèi)的極值.f (x) = (x+r) 2 =x2 + 2rx + r2 , a (x2

23、+2rx+r2) ax (2x+2r)f(x) =(x2+2rx + r2) 2a (r x) (x + r)(x+ r) 4所以當(dāng) x時(shí)，f (x)0；當(dāng)一rx0.因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一00, r), (r, +)； f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一r,r) .f (x)在(0 , + 8)內(nèi)的極大值為f (r)=ar a 400x = r是f(x)的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn).所以(2)由知f (r) = 0, f(x)在(0, r)上單調(diào)遞增，在(r,十8)上單調(diào)遞減.因此，=100(2r) 2 4r 4若 a0,令 f (x)=0,得 x =、y 2， 當(dāng)xc 0,援時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增.11. (2014 湖北三市高三期末)某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的 非農(nóng)業(yè)用地 aocbb劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園