第五章-非平衡載流子-朱俊-09

1、Non-equilibrium Carrier Prof. Dr. Jun Zhu 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： （六個方面六個方面，8 8學(xué)時學(xué)時 ） *掌握掌握非平衡載流子的概念，以及其的非平衡載流子的概念，以及其的產(chǎn)生產(chǎn)生與與復(fù)合復(fù)合的一的一 般過程般過程，了解非平衡載流子對電導(dǎo)率的影響。，了解非平衡載流子對電導(dǎo)率的影響。 * *理解理解非平衡載流子非平衡載流子壽命壽命的概念，掌握非平衡載流子濃的概念，掌握非平衡載流子濃 度隨時間的變化規(guī)律及常用的測量壽命的方法。度隨時間的變化規(guī)律及常用的測量壽命的方法。 * *理解理解準費米能級準費米能級的概念，并能用其表征非平衡態(tài)時載的概念，并能用其表征非平

2、衡態(tài)時載 流子濃度和衡量半導(dǎo)體偏離平衡態(tài)的程度。流子濃度和衡量半導(dǎo)體偏離平衡態(tài)的程度。 * *掌握掌握幾種復(fù)合機構(gòu)復(fù)合機構(gòu)和復(fù)合理論復(fù)合理論和各種情況下的少子壽 命表達式。 * *理解理解陷阱陷阱的概念和的概念和陷阱效應(yīng)陷阱效應(yīng)。 * *載流子的載流子的擴散運動擴散運動和和漂移運動漂移運動，掌握，掌握愛因斯坦關(guān)系式愛因斯坦關(guān)系式 理解理解少數(shù)載流子遵循的方程少數(shù)載流子遵循的方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程。 處于熱平衡狀態(tài)的半導(dǎo)體，在一定溫度下，載處于熱平衡狀態(tài)的半導(dǎo)體，在一定溫度下，載 流子的濃度是一定的。流子的濃度是一定的。 平衡載流子平衡載流子 非簡并條件下，半導(dǎo)體處于熱平衡的非簡并條件下，半導(dǎo)

3、體處于熱平衡的判據(jù)式判據(jù)式： 2 00 exp() g VCi E n pN Nn kT 當(dāng)對半導(dǎo)體施加外界作用時，出現(xiàn)與平衡態(tài)的偏當(dāng)對半導(dǎo)體施加外界作用時，出現(xiàn)與平衡態(tài)的偏 離，載流子濃度發(fā)生變化，可比離，載流子濃度發(fā)生變化，可比no和和po多出一部多出一部 分，即分，即非平衡載流子非平衡載流子。 一、非平衡載流子的產(chǎn)生一、非平衡載流子的產(chǎn)生 1光注入光注入 光照光照 n p no po 光照產(chǎn)生非平衡載流子光照產(chǎn)生非平衡載流子 用波長比較短的光用波長比較短的光 g hE 照射到半導(dǎo)體照射到半導(dǎo)體 2電注入電注入（ PN結(jié)正向工作時）結(jié)正向工作時） 3非平衡載流子濃度的表示法非平衡載流子濃度

4、的表示法 產(chǎn)生的非子一般都用產(chǎn)生的非子一般都用 n， p來表示來表示 。 達到動態(tài)平衡后：達到動態(tài)平衡后： n=n0+ n p=p0+ p n0，p0為熱平衡時電子濃度和空穴濃度為熱平衡時電子濃度和空穴濃度 ， n， p為非子濃度。為非子濃度。 對同塊材料對同塊材料 ： 非平衡載流子濃度有：非平衡載流子濃度有： n= p 熱平衡時熱平衡時n0p0=ni2，非平衡時，非平衡時，npni2 n型：型： n非平衡非平衡多子多子 p非平衡少子非平衡少子 p型：型： p非平衡非平衡多子多子 n非平衡少子非平衡少子 注意：注意： n， p非平衡載流子的濃度非平衡載流子的濃度 n0，p0熱平衡載流子濃度熱平

5、衡載流子濃度 n，p非平衡時導(dǎo)帶電子濃度非平衡時導(dǎo)帶電子濃度 和價帶空穴濃度和價帶空穴濃度 4大注入、小注入大注入、小注入 注入的非平衡載流子濃度大于平衡時的多子濃注入的非平衡載流子濃度大于平衡時的多子濃 度，稱為度，稱為大注入大注入。 n型：型： nn0，p型：型： pp0 注入的非平衡載流子濃度注入的非平衡載流子濃度大于大于平衡時的平衡時的少少子濃子濃 度，度，小于小于平衡時的平衡時的多子多子濃度，稱為小注入濃度，稱為小注入。 n型型：p0 nn0，或，或p型型：n0 n0，加光照，加光照 Vr t 0 有凈產(chǎn)生有凈產(chǎn)生 (2) 取消光照取消光照 在在t=0時，取消照，時，取消照， 復(fù)合復(fù)

6、合產(chǎn)生產(chǎn)生 。 Vr t0 非平衡載流子在半導(dǎo)體非平衡載流子在半導(dǎo)體 中的生存時間稱為中的生存時間稱為非子非子 壽命壽命。 有凈復(fù)合有凈復(fù)合 （3）非子的平均壽命）非子的平均壽命 假設(shè)假設(shè)t=0時，停止光照時，停止光照 t=t時，非子濃度為時，非子濃度為 p(t) t=t+ t時，非子濃度為時，非子濃度為 p(t+ t) 在在 t時間間隔中，非子的減少量：時間間隔中，非子的減少量： p(t) p(t+ t) 單位時間、單位體積中非子的減少為：單位時間、單位體積中非子的減少為： ( )()p tp tt t 當(dāng)當(dāng) t0時，時，t時刻單位時間單位體積被復(fù)合掉時刻單位時間單位體積被復(fù)合掉 的非子數(shù)的

7、非子數(shù) ，為：，為： d p dt 復(fù)合概率為：復(fù)合概率為： 1 ( )1 ( ) d p t p t dt ( ) t p tce C為積分常數(shù)為積分常數(shù) t=0 時時， 0 ( ) t p tp e 0 (0)pp 0t p 0 ()p 0 ()p e 非子的平均壽命非子的平均壽命： 0 0 ( ) ( ) td p t t d p t t= 時時，非子濃度減到：非子濃度減到： 0 p p e 為非平衡載流子的壽命為非平衡載流子的壽命 所需的時間的衰減到就是 e ptp 1 0 5.3 5.3 準準 費費 米米 能能 級級 一、非平衡態(tài)的電子與空穴一、非平衡態(tài)的電子與空穴各自各自處于熱平衡

8、態(tài)處于熱平衡態(tài) 準平衡態(tài)準平衡態(tài)，但具有相同的晶格溫度：但具有相同的晶格溫度： 0 0 1 1 1 1 n F p F n EE k T p EE k T fE e fE e n F p F E E 導(dǎo)帶電子 準費米能級 價帶空穴 準費米能級 對于價帶和導(dǎo)帶的電子而言，它們各自基本處對于價帶和導(dǎo)帶的電子而言，它們各自基本處 于平衡態(tài)，盡管導(dǎo)帶和價帶之間不平衡于平衡態(tài)，盡管導(dǎo)帶和價帶之間不平衡 二、非平衡態(tài)時的載流子濃度二、非平衡態(tài)時的載流子濃度 1表達式：表達式： 熱平衡態(tài)時熱平衡態(tài)時 ： 0 cF EE KT c nN e 非平衡時：非平衡時： () 0 cFn cFFnF FnF EE K

9、T c EEEE KT c EE KT nN e N e n e 非子越多，準費米非子越多，準費米 能級偏離原來能級偏離原來EF就就 越遠越遠 2準費米能級的準費米能級的位置位置 0 nnn cFncF EEEE FnF EE 0 FFp EE KT pp e 同理：同理： 00 pppp FpvFv EEEE FpF EE N型材料：型材料： Fn E 略高于略高于EF , Fp E 遠離遠離EF P型材料：型材料： Fp E 略低于略低于EF , Fn E 遠離遠離EF FFp EE 小小， FpF EE 大大， N型型 Ec Ev EF EFn EFp P型型 Ec Ev EF EFp

10、EFn 3 3非平衡態(tài)的濃度積與非平衡態(tài)的濃度積與平衡平衡 態(tài)時的濃度積態(tài)時的濃度積 0 FnF EE KT nn e 0 / FnF EE KT n ne 0 FFp EE KT pp e 0 / p FF EE KT p pe 00 FnFp EE KT n p e np ni2 EFn和和EFp兩者相差愈大兩者相差愈大 偏離平衡愈厲害偏離平衡愈厲害 5.4 5.4 復(fù)復(fù) 合合 理理 論論 一、載流子的復(fù)合形式：一、載流子的復(fù)合形式： 按復(fù)合機構(gòu)分： 直接復(fù)合：直接復(fù)合： 間接復(fù)合：間接復(fù)合： Ec Ev Ec Ev Et 內(nèi)部的相互作用引起微觀過程之間的平衡，即非平衡向平內(nèi)部的相互作用引

11、起微觀過程之間的平衡，即非平衡向平 衡的過度，即非子的復(fù)合。復(fù)合理論是個衡的過度，即非子的復(fù)合。復(fù)合理論是個統(tǒng)計性的理論統(tǒng)計性的理論。 直接復(fù)合：直接復(fù)合： 間接復(fù)合：間接復(fù)合： Eg Ev Ec 按復(fù)合發(fā)生的位置分按復(fù)合發(fā)生的位置分 表面復(fù)合表面復(fù)合 體內(nèi)復(fù)合體內(nèi)復(fù)合 按放出能量的形式分按放出能量的形式分 發(fā)射光子發(fā)射光子 俄歇復(fù)合俄歇復(fù)合 發(fā)射聲子發(fā)射聲子 輻射復(fù)合 輻射復(fù)合 無輻射復(fù)合無輻射復(fù)合 二、非子的直接復(fù)合二、非子的直接復(fù)合 1 1復(fù)合率和產(chǎn)生率復(fù)合率和產(chǎn)生率 (1) 復(fù)合率：復(fù)合率： 單位時間、單位體積中被復(fù)合的單位時間、單位體積中被復(fù)合的載流子對載流子對 （電子（電子空穴對）

12、，量綱為：對空穴對），量綱為：對(個個)/scm3 用用R(restore)表示表示 Rnp R=rnp r：比例系數(shù)，比例系數(shù)，它表示單位時間一個電子它表示單位時間一個電子 與一個空穴相遇的幾率，通常稱為與一個空穴相遇的幾率，通常稱為復(fù)合系數(shù)復(fù)合系數(shù) 或復(fù)合概率或復(fù)合概率 和速度相關(guān)的統(tǒng)計量和速度相關(guān)的統(tǒng)計量 當(dāng)當(dāng)n=n0，p=p0時，時， rn0p0=熱平衡態(tài)時單位時間、單位體積熱平衡態(tài)時單位時間、單位體積 被復(fù)合掉的電子、空穴對數(shù)被復(fù)合掉的電子、空穴對數(shù) 對對直接復(fù)合直接復(fù)合，用，用Rd表示表示復(fù)合率復(fù)合率 Rd=rdnp非平衡非平衡 Rd=rdn0p0熱平衡熱平衡 rd 為直接復(fù)合的復(fù)

13、合系數(shù)為直接復(fù)合的復(fù)合系數(shù) ，是溫度的函，是溫度的函 數(shù)，和數(shù)，和n和和p無關(guān)。無關(guān)。 (2) (2) 產(chǎn)生率：產(chǎn)生率： 在達到熱平衡時，產(chǎn)生率必須等于復(fù)在達到熱平衡時，產(chǎn)生率必須等于復(fù) 合率：合率： 2 00dddi RGr n pr n 單位時間、單位體積中產(chǎn)生的載流子，用單位時間、單位體積中產(chǎn)生的載流子，用G表示表示 在在非簡并條件非簡并條件下，激發(fā)概率不受載流子濃度下，激發(fā)概率不受載流子濃度 n和和 p的影響，所以，產(chǎn)生率基本相同，僅僅是的影響，所以，產(chǎn)生率基本相同，僅僅是溫度溫度 的函數(shù)的函數(shù)，和，和n、p無關(guān)。無關(guān)。 （n=n0, p=p0 ) G 2 2直接復(fù)合的凈復(fù)合率直接復(fù)合

14、的凈復(fù)合率 u ud d 直接復(fù)合的凈復(fù)合率直接復(fù)合的凈復(fù)合率 u ud d =非非平平衡衡態(tài)態(tài)下下的的復(fù)復(fù)合合率率 非平衡態(tài)下的產(chǎn)生率非平衡態(tài)下的產(chǎn)生率 熱平衡態(tài)下的產(chǎn)生率熱平衡態(tài)下的產(chǎn)生率 熱平衡態(tài)下的復(fù)合率熱平衡態(tài)下的復(fù)合率 00dd r npr n p 00d rp npp 即即 即即 3直接復(fù)合的非子壽命直接復(fù)合的非子壽命 非子的凈復(fù)合率非子的凈復(fù)合率= 00 () d p rp npp 00 1 () d r npp rd：rd 大，大， 小小 壽命壽命 與熱平衡載流子濃度與熱平衡載流子濃度 n0、p0有關(guān)有關(guān) 與與注注入入有有關(guān)關(guān) 非子壽命非子壽命 小小注注入入： 00 pnp

15、00 1 () d d r np 討論：討論： （1）、 常數(shù)非平衡載流子的壽命是 小信號小信號 N 型型：n0p0 0 1 d d r n P P 型型：p p0 0 n n0 0 0 1 d d r p 電導(dǎo)率高電導(dǎo)率高 壽命短壽命短 00 1 () d r npp 小注入時，非子壽命決定于材料，當(dāng)溫度小注入時，非子壽命決定于材料，當(dāng)溫度 和摻雜一定時，它是個常數(shù)；多子濃度和摻雜一定時，它是個常數(shù)；多子濃度 大，大， 小，或者電導(dǎo)率高，壽命就短。小，或者電導(dǎo)率高，壽命就短。 大大注注入入時時，非非子子壽壽命命決決定定于于注注入入；注注入入 濃濃度度大大， 小小 大大注注入入： 00 pnp

16、 1 d d rp （2）、大信號大信號 本征半導(dǎo)體：本征半導(dǎo)體： 1 2 di r n 只與非只與非 子有關(guān)子有關(guān) 不是常不是常 數(shù)數(shù) 一般講，帶隙小直接復(fù)合的概率大壽命短一般講，帶隙小直接復(fù)合的概率大壽命短 三、非平衡載流子的間接復(fù)合三、非平衡載流子的間接復(fù)合 半導(dǎo)體雜質(zhì)和缺陷在禁帶中的能級，不僅影響導(dǎo)半導(dǎo)體雜質(zhì)和缺陷在禁帶中的能級，不僅影響導(dǎo) 電特性，同時會對非子的電特性，同時會對非子的壽命壽命也有很大影響。也有很大影響。 一般講，一般講，雜質(zhì)雜質(zhì)和和缺陷缺陷越多，壽命越短，即它們有越多，壽命越短，即它們有 促進非子復(fù)合的作用。這些促進復(fù)合的促進非子復(fù)合的作用。這些促進復(fù)合的雜質(zhì)雜質(zhì)和和

17、缺缺 陷陷稱為稱為復(fù)合中心復(fù)合中心。 如如果果在在禁禁帶帶中中存存在在復(fù)復(fù)合合中中心心，電電子子 與與空空穴穴的的復(fù)復(fù)合合時時分分為為兩兩步步走走： 間接復(fù)合是指非子通過復(fù)合中心的復(fù)合間接復(fù)合是指非子通過復(fù)合中心的復(fù)合 第第一一步步： 電電子子由由導(dǎo)導(dǎo)帶帶進進入入復(fù)復(fù)合合中中心心 Et； Ec Ev Et (一) (二) 第第二二步步： 電電子子由由復(fù)復(fù)合合中中心心進進入入價價帶帶（或或空空穴穴 被被 E Et t所所俘俘獲獲） 。 但上述兩個但上述兩個逆過程逆過程也存在，間接復(fù)合也是個統(tǒng)也存在，間接復(fù)合也是個統(tǒng) 計性的過程計性的過程 1 1間接復(fù)合間接復(fù)合 第第一一步步： 電子由電子由EcE

18、t (甲) 甲甲： Et俘俘獲獲電電子子的的過過程程 電電子子由由 EcEt 乙乙： Et發(fā)發(fā)射射電電子子的的過過程程 (乙) 電電子子由由 EtEc（甲甲的的逆逆過過程程） 第第二二步步： 電電子子由由 EtEv 丙丙： Et俘俘獲獲空空穴穴的的過過程程電電子子由由 Et Ev 丁丁： Et發(fā)發(fā)射射空空穴穴的的過過程程電電子子由由 Ev Et (丙)(丁) C E t E v E 電子俘獲電子俘獲 電子發(fā)射電子發(fā)射 空穴俘獲空穴俘獲 空穴發(fā)射空穴發(fā)射 電子俘獲率：電子俘獲率： 電子產(chǎn)生率：電子產(chǎn)生率： 空穴俘獲率：空穴俘獲率： 空穴發(fā)射率：空穴發(fā)射率： Rn=rnn（Nt-nt） Gn=s-

19、nt Rp=rppnt Gp=s+（ Nt-nt ） rn：電子俘獲系數(shù)：電子俘獲系數(shù) s- ：電子發(fā)射系數(shù)：電子發(fā)射系數(shù) rp：空穴俘獲系數(shù)：空穴俘獲系數(shù) s+ ：空穴激發(fā)系數(shù)：空穴激發(fā)系數(shù) 甲甲乙乙 丙丙丁丁 (1) 電電子子俘俘獲獲和和發(fā)發(fā)射射過過程程 EcEt之之間間 n、p：非平衡態(tài)下的電子和空穴濃度 Nt：復(fù)合中心的濃度 nt：復(fù)合中心上的電子濃度 Nt-nt：未被電子占有的復(fù)合中心濃度（復(fù) 合中心的空穴濃度） 甲、乙甲、乙兩個過程的分析：兩個過程的分析： 決決定定于于： 導(dǎo)帶的電子濃度導(dǎo)帶的電子濃度n 復(fù)合中心上的空態(tài)復(fù)合中心上的空態(tài)Nt-nt 甲甲過過程程中中，電電子子的的俘俘

20、獲獲率率： 電子俘獲率電子俘獲率 () ntt Rn Nn () ntt r n Nn rn為比例系數(shù)，稱為電電子子俘俘獲獲系系數(shù)數(shù) 它是個統(tǒng)計它是個統(tǒng)計 平均量平均量 單位時間、單位體積復(fù)合中心所俘獲的電子數(shù)單位時間、單位體積復(fù)合中心所俘獲的電子數(shù) 乙乙過過程程中中，電電子子的的產(chǎn)產(chǎn)生生率率決決定定于于： 復(fù)合中心上的電子濃度復(fù)合中心上的電子濃度 nt 導(dǎo)帶中的空態(tài)導(dǎo)帶中的空態(tài) 電電子子產(chǎn)產(chǎn)生生率率 ntt Gns n S-為比例系數(shù)為比例系數(shù),稱為稱為電子激發(fā)幾率電子激發(fā)幾率 考慮非簡并情況，考慮非簡并情況， 和和n無關(guān)無關(guān). 熱熱平平衡衡時時，兩兩個個過過程程相相抵抵消消 000 ()

21、tntt S nr n Nn 0 cF EE KT c nN e nt0熱熱平平衡衡時時復(fù)復(fù)合合中中心心的的電電子子濃濃度度： 0 () 1 tF t tttEE KT N nN f E e 1 1 11 cF tFtF EE t KT nctEEEE KTKT N Sr N eN ee 忽略了分布函忽略了分布函 數(shù)的簡并因子數(shù)的簡并因子 ct EE KT nc Sr N e ct EE KT c N e 11n Sr nn 電電子子產(chǎn)產(chǎn)生生率率=S nt=rnn1nt 式中包含電子俘獲系數(shù)，反映了電子俘獲式中包含電子俘獲系數(shù)，反映了電子俘獲 和發(fā)射過程的和發(fā)射過程的內(nèi)在聯(lián)系。內(nèi)在聯(lián)系。 簡化

22、后可得電簡化后可得電 子激發(fā)幾率為子激發(fā)幾率為： 為為 EF=Et時時熱熱平平衡衡的的導(dǎo)導(dǎo)帶帶中中的的電電子子濃濃度度， 記記為為 n1 電電子子產(chǎn)產(chǎn)生生率率 電電子子俘俘獲獲率率： 淺能級雜質(zhì)淺能級雜質(zhì) 電電子子俘俘獲獲率率 產(chǎn)產(chǎn)生生率率： 深能級雜質(zhì)深能級雜質(zhì) （有效復(fù)合中心）（有效復(fù)合中心） 在（甲）和（乙）的兩個過程中：在（甲）和（乙）的兩個過程中： 電子的凈俘獲率電子的凈俘獲率 Un=電子俘獲率電子俘獲率電子產(chǎn)生率電子產(chǎn)生率 =rnn(Nt-nt)-rnn1nt 有有凈凈電電子子俘俘獲獲，最最終終使使 Et上上獲獲得得更更多多的的電電子子 對深能級的復(fù)合中心：對深能級的復(fù)合中心： (

23、2) 空空穴穴的的俘俘獲獲和和發(fā)發(fā)射射過過程程 空穴的俘獲率空穴的俘獲率 pt Rn p pt r n p rp為為空空穴穴俘俘獲獲系系數(shù)數(shù) 空空穴穴產(chǎn)產(chǎn)生生率率： () pttttt GNnS Nn S+空穴的發(fā)射幾率空穴的發(fā)射幾率 即復(fù)合過程的（丙）和（?。?，只有被電子占據(jù)即復(fù)合過程的（丙）和（丁），只有被電子占據(jù) 的復(fù)合中心能級才能俘獲空穴的復(fù)合中心能級才能俘獲空穴 其中：其中： 空的復(fù)合中心空的復(fù)合中心 才能向價帶發(fā)才能向價帶發(fā) 射空穴射空穴 丙、丁丙、丁兩個過程的分析：兩個過程的分析： 在熱平衡時在熱平衡時 000 () ttpt SNnr n p 1p Sr p 空空穴穴產(chǎn)產(chǎn)生生率

24、率 1 ()() pttptt GsNnr p Nn 空空穴穴的的凈凈俘俘獲獲率率： up=丙丁= 1( ) ptptt r n pr p Nn 同樣類似有同樣類似有： 1 tv EE KT v pN e 為為 EF=Et時時價價帶帶中中的的熱熱平平衡衡空空穴穴濃濃度度 其中其中: 2復(fù)合穩(wěn)態(tài)時復(fù)合中心的電子濃度復(fù)合穩(wěn)態(tài)時復(fù)合中心的電子濃度 在穩(wěn)定時在穩(wěn)定時，甲、乙、丙、丁四個過程必須保持甲、乙、丙、丁四個過程必須保持 復(fù)合中心的電子數(shù)復(fù)合中心的電子數(shù)不變，不變，即n nt t 為常數(shù) 甲甲+丁丁=乙乙+丙丙 （電子積累等于電子減少）（電子積累等于電子減少） 11 ()() nttpttp t

25、nt r Nn n r p Nnrnp rnn 1 11 () ()() tnp t np N r nr p n r nnrpp 復(fù)合中心復(fù)合中心 上的電子上的電子 濃度濃度 3間接復(fù)合的復(fù)合率間接復(fù)合的復(fù)合率u和壽命和壽命 當(dāng)復(fù)合達到穩(wěn)態(tài)時當(dāng)復(fù)合達到穩(wěn)態(tài)時:導(dǎo)電減少的電子數(shù)等于價帶導(dǎo)電減少的電子數(shù)等于價帶 減少的空穴數(shù)。即導(dǎo)電損失一個電子，同時價帶減少的空穴數(shù)。即導(dǎo)電損失一個電子，同時價帶 也損失一個空穴，電子和空穴通過復(fù)合中心也損失一個空穴，電子和空穴通過復(fù)合中心成對成對 復(fù)合。復(fù)合。 U=Un=Up 1 () nnttnt UUr Nn nr n n 非平衡載流子非平衡載流子凈復(fù)合率凈復(fù)

26、合率為：為： U=Rn-Gn=Rp-Gp 也即：也即： 把把nt代入代入 甲乙丙丁 11 11 () ()() n pt np r r N Unpn p r nnrpp 1 ct EE KT c nN e 1 tv EE KT v pN e 11 cv EE KT cv npN N e 2 11i npn Note: 2 11 () ()() tnp i np Nrr Unpn r nnrpp 熱平衡時： 2 00i n pnpn 0U凈復(fù)合率為零凈復(fù)合率為零 通過復(fù)合中心的凈通過復(fù)合中心的凈 復(fù)合率的普適公式復(fù)合率的普適公式 在半導(dǎo)體注入非子后的非平衡態(tài)時在半導(dǎo)體注入非子后的非平衡態(tài)時: :

27、 0 nnn 0 ppp np 2 i npn U0 代入U式中如把如把 0000 0101 ()() ()() t n p np N r rnpppn p U r nnprppp 2 00 0101 () ()() t n p np N r r npppp r nnprppp p U 由此可得非平衡由此可得非平衡 載流子的壽命為：載流子的壽命為： 0101 00 ()() () np t n p r nnprppp N r r npp 壽命和復(fù)合中心濃度成壽命和復(fù)合中心濃度成反比反比。 討論：討論： 小注入時，兩種導(dǎo)電類型和不同摻雜小注入時，兩種導(dǎo)電類型和不同摻雜 程度下的半導(dǎo)體的非子的程度

28、下的半導(dǎo)體的非子的壽命壽命 00 () np pnp rr 一般的復(fù)合中心有： 非子的壽命為：非子的壽命為： 0101 00 ()() () np t p n r nnrpp N r r np 從上式可得，壽命和從上式可得，壽命和非平衡載流子的濃度無關(guān)非平衡載流子的濃度無關(guān)。 0 0 1 1 () () () () CF FV Ct tV nEE pEE nEE pEE 在在kT比這些能量比這些能量 間隔小時，這四種間隔小時，這四種 能量間隔相差很大能量間隔相差很大 所以，對應(yīng)的所以，對應(yīng)的no 、 po 、n1 和和p1 的作用的作用 不一樣不一樣 上面的壽命可以簡化上面的壽命可以簡化 Nc

29、和和Nv 具有相近具有相近 的數(shù)值！的數(shù)值！ 型半導(dǎo)體n1 Et Ev EF Ec Et Ei Ec EF Ev Et Et Ei （a) 強強n區(qū)區(qū) （b) 高阻區(qū)高阻區(qū) p1 no no 為深能級，更接近價帶為深能級，更接近價帶Ev t E 如果如果 現(xiàn)考慮兩種情況：現(xiàn)考慮兩種情況： 0 cF EE KT c nN e 1 ct EE KT c nN e CFCt EEEE (a)對對較較重摻雜重摻雜的的n型型 半導(dǎo)體，費米能半導(dǎo)體，費米能EF 更接近更接近EC 01 nn同樣同樣 n0p1 no 、po 、n1 、p1 中no最大 最大 Et Ev EF Ec Et Ei no 0 0

30、1 n n ptpt r n r r N nr N 1 () p pt r N 空穴的壽命 摻雜較重的摻雜較重的n型材料的非子的間接復(fù)合壽命型材料的非子的間接復(fù)合壽命 決定于決定于空穴的壽命空穴的壽命 ，這是由于，這是由于EF 遠在遠在Et 上，上， 復(fù)合中心的能級基本復(fù)合中心的能級基本被電子填滿被電子填滿，即，即俘獲電俘獲電 子的過程已完成，僅僅由滿電子的中心對空子的過程已完成，僅僅由滿電子的中心對空 穴的俘獲決定壽命。穴的俘獲決定壽命。 0101 00 ()() () np t p n r nnrpp N r r np 如如EF 在在Ei和和Et之間，之間， 根據(jù)各個能級之間的根據(jù)各個能級

31、之間的 差別大小，差別大小，所以有所以有： no 、po 、n1 、p1 中p1最大最大 1 0 1 t n p N r n 即所謂“高阻區(qū)高阻區(qū)”，壽 命與多子濃度成反比， 即和電導(dǎo)率成反比 1 tv EE KT v pN e 1001 00 ,pnp n np 即： Ec EF Ev Et Et Ei p1 no (2) p型材料型材料 00 pn 0 pp 011 ,pn p Ec Ev EF E t po p1 n1 1 n nt r N 當(dāng)EF 比Et 更接近于EV “強強p型區(qū)型區(qū)” 有： 復(fù)合中心對復(fù)合中心對少子少子的俘獲決定壽命，是因為的俘獲決定壽命，是因為 復(fù)合中心基本復(fù)合中

32、心基本被多子空穴所占據(jù)被多子空穴所占據(jù). 同樣，類似有“高阻區(qū)”，EF 在Ei和Et之間 0 1 l p t p n N rp 則 多子多子 (3) (3) 大注入大注入: : 0011 ,npnp n p 11 pn t pt n N rN r 式式536 和載流子和載流子 濃度無關(guān)濃度無關(guān) 0101 00 ()() () np t n p r nnprppp N r r npp （4） 有效復(fù)合中心有效復(fù)合中心 2 11 () ()() n pti np r r N npn u r nnrpp 2 11 ()() i pn npn nnpp 位于禁帶中央附近的深能級是最有效的復(fù)合中位于禁帶

33、中央附近的深能級是最有效的復(fù)合中 心，如，心，如，Cu、Fe、Au 等雜質(zhì)在等雜質(zhì)在Si中形成的深中形成的深 能級，是能級，是有效的復(fù)合中心。有效的復(fù)合中心。 （535） 若：若： np rr np 2 11 () i n npn u npnp 1 ct EE KT c nN e ti EE KT i ne 1 ti EE KT i pne 同樣： 一般情況都滿足一般情況都滿足 11 titi EEEE KTKT i npnee cosh 2 ee 11 2cosh ti i EE npn KT 2 (2cosh) i ti ni npn u EE npn KT 當(dāng) 0 ti EE KT co

34、sh1 ti EE KT U 趨向于趨向于極大極大，表明位于，表明位于禁帶中央禁帶中央附近的附近的深能級深能級 是最有效的復(fù)合中心是最有效的復(fù)合中心。相反的，淺能級，即遠離。相反的，淺能級，即遠離 禁帶中央能級的能級，不能起到有效的復(fù)合中心禁帶中央能級的能級，不能起到有效的復(fù)合中心 的作用。的作用。 ti EE 5、俘獲截面、俘獲截面 假設(shè)復(fù)合中心為截面積為 的球體 nT pT rv rv 則俘獲系數(shù) 電子俘獲截面 其中 空穴俘獲截面 的意義復(fù)合中心俘獲載流子的本領(lǐng) 載流子熱運動速載流子熱運動速 度大，碰上復(fù)合度大，碰上復(fù)合 中心而被俘獲的中心而被俘獲的 概率就大概率就大 在復(fù)合率在復(fù)合率U的

35、公式中，可用俘獲截面來替代的公式中，可用俘獲截面來替代 rn和和rp 實驗證明實驗證明了，摻雜了，摻雜Ge中，中，Mn, Fe, Co, Au, Cu, Ni 等可以形成復(fù)合中心；在等可以形成復(fù)合中心；在Si中，中，Au, Cu, Fe, Mn, In等可以形成復(fù)合中心。一般，復(fù)合中心的俘獲等可以形成復(fù)合中心。一般，復(fù)合中心的俘獲 截面為截面為10-1310-17cm2 Eg： Au 在Si中摻雜，引入深能級是雙能級： EtA 在導(dǎo)帶以下0.54eV的受主能級 EtD 在價帶以上 0.35eV的施主能級 AU- AU+ 在在n Si中，中， AU- 在在p Si中，中， AU+ （式（式546

36、） 四、表面復(fù)合四、表面復(fù)合 1表面復(fù)合率表面復(fù)合率us 表面電子能級表面電子能級： 表面吸附的雜質(zhì)或其它表面吸附的雜質(zhì)或其它 損傷形成的缺陷態(tài)，它損傷形成的缺陷態(tài)，它 們在表面處的禁帶中形們在表面處的禁帶中形 成電子能級。成電子能級。 us：單位時間流過單位表面積的非平衡：單位時間流過單位表面積的非平衡 載流子，單位：個載流子，單位：個/scm2 表面能級表面能級 表面有促進載流子復(fù)合的作表面有促進載流子復(fù)合的作 用，表面復(fù)合也是一種間接用，表面復(fù)合也是一種間接 復(fù)合形式復(fù)合形式 ss up s p：為樣品表面處單位體積的載流子數(shù)為樣品表面處單位體積的載流子數(shù)(表面表面 處的非子濃度處的非子

37、濃度1/cm3) ss usp 個/cm3 cm/s個/s cm2 S比例系數(shù)，表征表面復(fù)合的強弱，具有速比例系數(shù)，表征表面復(fù)合的強弱，具有速 度的量綱，稱為度的量綱，稱為表面復(fù)合速度表面復(fù)合速度。 2影響表面復(fù)合的因素及壽命表示式影響表面復(fù)合的因素及壽命表示式 (1) 表面粗糙度表面粗糙度 (2) 表面積與總體積的比例表面積與總體積的比例 (3) 與表面的清潔度、化學(xué)氣氛有關(guān)與表面的清潔度、化學(xué)氣氛有關(guān) 在考慮表面復(fù)合后，總的復(fù)合幾率為：在考慮表面復(fù)合后，總的復(fù)合幾率為： 111 vs 5.5 5.5 陷陷 阱阱 效效 應(yīng)應(yīng) 在非平衡時，一部分附加產(chǎn)生的電子在非平衡時，一部分附加產(chǎn)生的電子n

38、 nt t （或空穴（或空穴p pt t ）落入）落入E Et t中，起這種作用中，起這種作用 的雜質(zhì)或缺陷能級的雜質(zhì)或缺陷能級E Et t就叫就叫 陷阱陷阱。 一、陷阱：一、陷阱： Ec Et Ev 所有的雜質(zhì)能級所有的雜質(zhì)能級 都有都有積累積累非子的非子的 作用，即陷阱效作用，即陷阱效 應(yīng)。但當(dāng)積累的應(yīng)。但當(dāng)積累的 非子和導(dǎo)帶、價非子和導(dǎo)帶、價 帶中的非子相當(dāng)帶中的非子相當(dāng) 時，才是顯著的時，才是顯著的 對于對于 np rr的雜質(zhì)，的雜質(zhì)， 電子的俘獲能力遠大于俘獲空穴的能力，電子的俘獲能力遠大于俘獲空穴的能力， 稱為稱為電子陷阱。電子陷阱。 對于對于 pn rr 的雜質(zhì)，的雜質(zhì)， 俘獲空

39、穴的能力遠大于俘獲電子的能力，俘獲空穴的能力遠大于俘獲電子的能力， 稱為稱為空穴陷阱。空穴陷阱。 相應(yīng)的雜質(zhì)和缺陷為相應(yīng)的雜質(zhì)和缺陷為陷阱中心陷阱中心 二、陷阱效應(yīng)的分析二、陷阱效應(yīng)的分析 1陷阱效應(yīng)中的載流子濃度陷阱效應(yīng)中的載流子濃度 根據(jù)間接復(fù)合理論，根據(jù)間接復(fù)合理論，穩(wěn)態(tài)時穩(wěn)態(tài)時雜質(zhì)能級上的雜質(zhì)能級上的 電子數(shù)即陷阱上的電子積累濃度電子數(shù)即陷阱上的電子積累濃度nt為：為： 1 11 () ()() tnp t np N r nr p n r nnrpp 以復(fù)合中心理論為根據(jù)，以復(fù)合中心理論為根據(jù)，定性定性討論陷阱效應(yīng)討論陷阱效應(yīng) （式（式5-33） 0 ttt nnn 0 1 tF t

40、tEE KT N n e t n 為陷阱上的非子積累濃度，即非平衡為陷阱上的非子積累濃度，即非平衡 時電子的時電子的變化量變化量。 0 t n 為俘獲電子， 0 tt nn電子陷阱電子陷阱 0 t n為俘獲空穴， 0 tt nn 空穴陷阱空穴陷阱 0 0 : tt t nn nnp np 陷阱能級上積累的電子濃度 偏微分取相應(yīng)于平衡時的值。偏微分取相應(yīng)于平衡時的值。n 和和p 的影響是的影響是 相互獨立的，在上面的公式中，電子和空穴的情形相互獨立的，在上面的公式中，電子和空穴的情形 是對稱的，所以就了解能級對電子的積累就行。是對稱的，所以就了解能級對電子的積累就行。 （小注入）（小注入） 0

41、t t dn nn dn 10 2 0101 () ()() t nnp t np N r r nr p nn r nnrpp 1 11 () ()() tnp t np N r nr p n r nnrpp 2陷阱上的電子對電導(dǎo)的間接貢獻陷阱上的電子對電導(dǎo)的間接貢獻 沒有陷阱時：沒有陷阱時： pn pqnq 00 ()() pn pp qnn q 0 有電子陷阱后：以有電子陷阱后：以p p型型為例，少子為電子為例，少子為電子 t pnn 當(dāng)有一個非子（電子）落入陷阱時，必須有一個當(dāng)有一個非子（電子）落入陷阱時，必須有一個 多子（空穴）與它保持電中性。這些與陷阱中少多子（空穴）與它保持電中性。

42、這些與陷阱中少 子相中和的多子空穴必然會引起附加的電導(dǎo)。子相中和的多子空穴必然會引起附加的電導(dǎo)。 00 ()() tpn pnn qnnq 0t 即，雖難陷阱中 電子本身不參加電導(dǎo)，但仍電子本身不參加電導(dǎo)，但仍間接間接反映于附加電導(dǎo)中反映于附加電導(dǎo)中 在禁帶中在禁帶中 三、三、有效有效陷阱效應(yīng)陷阱效應(yīng) 假設(shè)有效的假設(shè)有效的電子陷阱電子陷阱，應(yīng)有，應(yīng)有 rnrp， ，被俘獲電 被俘獲電 子在復(fù)合前被激發(fā)到導(dǎo)帶中。子在復(fù)合前被激發(fā)到導(dǎo)帶中。 2 1 22 01 () t n t n N r n nn rnn 10 2 0101 () ()() t nnp t np N r r nr p nn r

43、nnrpp 省略 1 2 01 () t t N n nn nn 1 0 t d n dn 10 nn max ()() tt nn 當(dāng)：當(dāng)： 0 max 2 00 () 44 tt t N nN nnn nn 0 cF EE KT c nN e 1 ct EE KT c nN e Ft EE 即雜質(zhì)能級即雜質(zhì)能級Et和平衡時的費米能級和平衡時的費米能級EF重合重合 時，最有有利于陷阱作用。時，最有有利于陷阱作用。 當(dāng)當(dāng)EtEF時，平衡時基本上空的，有利于陷時，平衡時基本上空的，有利于陷 阱的作用，但隨阱的作用，但隨Et的升高，即的升高，即Ec-Et小，小，n1大，大， 電子可以從電子可以從E

44、t 激發(fā)到激發(fā)到Ec的幾率增大，俘獲變的幾率增大，俘獲變 大，大，所以在費米能級之上但接近費米能級的所以在費米能級之上但接近費米能級的 雜質(zhì)能級的陷阱效應(yīng)最明顯；雜質(zhì)能級的陷阱效應(yīng)最明顯； 當(dāng)當(dāng)EtLp WLp x h x=0，注注入入 p0， 在在對對面面界界面面上上， p=0 0 pp LL AeBe B=0 x=0 p(x)= p0 ( )0 p x L x pp e 為解的形式，指數(shù)衰減指數(shù)衰減 x=Lp 0 p p e ( ) 00 ( ) 0 0 p p x L x px L x x pdxxedx xL pdx edx x p 0 Lp 0 p e o p 擴散擴散流密度流密度

45、非子濃度：非子濃度： ( )0 p x L x pp e 濃度梯度：濃度梯度： ( ) 0 ( ) 1 p x Lx x pp d p p ep dxLL ( ) ( ) ( ) xp ppx p d pD SxDp dxL 個/s cm2 個/cm3 cm/s 速度量綱速度量綱 ( ) p Sx (2) (2) 薄薄 樣樣 品 （厚度一定時）品 （厚度一定時） WLp w 注入 抽出 在 x=w 處，p=0 x=0 處處， p= p0 0 0 pp ww LL AeBe ABp 即即小于擴散長度小于擴散長度 求出求出A和和B代入穩(wěn)態(tài)代入穩(wěn)態(tài) 擴散方程的普遍解擴散方程的普遍解 2 2 ( )

46、p p p dSx dpp D dxdx ( ) pp xx LL p xAeBe ( )0 p x p wx sh L pp w sh L 當(dāng) wLp時 ( )000 1 p x p wx L wxx pppp w ww L x p 0 w 0 ( )pd p x dxw 0 ( ) p pp D d p SxDp dxw 這時擴散流密度是個這時擴散流密度是個常數(shù)常數(shù)，即樣品很薄時，非平衡載流，即樣品很薄時，非平衡載流 子在樣品中沒有復(fù)合。子在樣品中沒有復(fù)合。 非子在半導(dǎo)體體非子在半導(dǎo)體體 內(nèi)呈線性分布內(nèi)呈線性分布 濃度梯度為： 擴散流密度 類似有，類似有， P P型半導(dǎo)體少子電子的擴散定律

47、與穩(wěn)態(tài)擴散方程型半導(dǎo)體少子電子的擴散定律與穩(wěn)態(tài)擴散方程 dx xnd DS nn xn 1 dx xnd D 2 2 n 4非平衡載流子的擴散電流密度非平衡載流子的擴散電流密度 電子和空穴是帶電粒子，它們擴散形成了電子和空穴是帶電粒子，它們擴散形成了 擴散電流擴散電流。 空穴擴散電流密度空穴擴散電流密度: ( ) () x pp d p JqSqD dx 擴 電子擴散電流密度電子擴散電流密度: ( ) () nn d n x JqSqD dx 擴 (Jp)擴 (Jn)擴 (Jp)漂 (Jn)漂 , x h N-type 均勻半導(dǎo)體的電流：均勻半導(dǎo)體的電流： E (四種電流）四種電流） 反方向反

48、方向 ？ How about drift moving current? 5.7 5.7 載流子的漂移運動載流子的漂移運動 與愛因斯坦關(guān)系與愛因斯坦關(guān)系 一、擴散電流密度與漂移電流密度一、擴散電流密度與漂移電流密度 1少子空穴電流少子空穴電流 （N N型材料，在型材料，在x x方向方向加光照、電場方向方向加光照、電場 ） 非平衡少子非平衡少子擴散電流擴散電流： () pp d p JqD dx 擴 +x方向方向 非平衡空穴和平衡空穴形成的非平衡空穴和平衡空穴形成的漂移電流漂移電流： 0 ()() pp Jq pp 漂 +x方向方向 少子電流密度：少子電流密度： ppp d p JqpqD dx

49、 2多子電子電流密度多子電子電流密度 非平衡多子形成的擴散電流：非平衡多子形成的擴散電流： () nn d n JqD dx 擴 -x方向方向 平衡多子與非平衡多子的漂移電流：平衡多子與非平衡多子的漂移電流： 0 ()() nnn Jqnq nn 漂 +x方向方向 多子電流密度：多子電流密度： nnn d n JqnD q dx 3總的電流密度總的電流密度 J=Jp+Jn ppnn d pd n qpqDqnqD dxdx 聯(lián)系？聯(lián)系？ 二、愛二、愛 因因 斯斯 坦坦 關(guān)關(guān) 系系 DKT q 考慮一塊處于考慮一塊處于熱平衡狀態(tài)熱平衡狀態(tài)的非均勻的的非均勻的N型半型半 導(dǎo)體導(dǎo)體，其中施主雜質(zhì)濃度

50、隨，其中施主雜質(zhì)濃度隨x增加而下降，電增加而下降，電 子濃度為子濃度為no(x)。擴散擴散導(dǎo)致出現(xiàn)靜電場。又使導(dǎo)致出現(xiàn)靜電場。又使 得載流子產(chǎn)生得載流子產(chǎn)生漂移漂移。 擴散系數(shù)和遷移率的關(guān)系擴散系數(shù)和遷移率的關(guān)系 電子擴散電流密度：電子擴散電流密度： 0 n ( ) ()q n dn x JD dx 擴 漂移電流：漂移電流： ()( ) non Jnx q 漂 平衡時，不存在宏觀電流，電場方向是反抗平衡時，不存在宏觀電流，電場方向是反抗 擴散電流，電子的總電流等于擴散電流，電子的總電流等于0 Jn=(Jn)漂+(Jn)擴=0 0 0 ( ) ( ) nn dn x n xD dx ( )dV

51、x dx 考慮附加的考慮附加的靜電勢靜電勢，導(dǎo)帶底的能量應(yīng)為，導(dǎo)帶底的能量應(yīng)為: Ec-qV(x) ( ) 0 ( ) cxF EqVE KT c n xN e 非簡并時的非簡并時的 電子濃度為：電子濃度為： ( ) 0 0 ( ) ( ) x dV dn xq n x dxKTdx n n DKT q 0 0 ( ) ( ) nn dnx nxD dx ( ) 0 ( ) cxF EqVE KT c n xN e ( )dV x dx 對于對于空穴空穴： p p D KT q 室溫時：室溫時：KT=0.026eV 0.026 KT V q Si中：中： n=1350cm2/vs 2 0.02

52、6 135035.1/ nn KT Dcms q 利用愛因斯坦關(guān)系，可得總電流密度：利用愛因斯坦關(guān)系，可得總電流密度： pn KT d pKT d n Jqpqn qdxqdx 對非均勻半導(dǎo)體，對非均勻半導(dǎo)體，平衡載流子平衡載流子濃度也隨濃度也隨x變化，擴變化，擴 散電流由載流子的總濃度梯度決定，上式為：散電流由載流子的總濃度梯度決定，上式為： pn KT dpKT dn Jqpqn q dxq dx 1在在漂移運動漂移運動和和擴散運動擴散運動同時存在時，同時存在時， 少子電流連續(xù)性方程少子電流連續(xù)性方程的一般形式的一般形式: 影響載流子影響載流子p(x,t)和和n(x,t)因素主要有：因素主

53、要有： 由于電流的流通（載流子的由于電流的流通（載流子的擴散擴散 和和漂移漂移運動），從而使體內(nèi)的載流子運動），從而使體內(nèi)的載流子 。 由于載流子復(fù)合使非子濃度由于載流子復(fù)合使非子濃度 。 由于內(nèi)部有其它產(chǎn)生，使載流子由于內(nèi)部有其它產(chǎn)生，使載流子 。 5.7 5.7 連連 續(xù)續(xù) 性性 方方 程程 以以N N型型半導(dǎo)體為例半導(dǎo)體為例: (1) 少子流通少子流通 x x x+x 取一小體積元取一小體積元dV，橫截面為單位面積，橫截面為單位面積 ( )() pp SxSxx 假設(shè)流進假設(shè)流進dV多，每秒鐘凈留在多，每秒鐘凈留在dV中的中的 空穴數(shù)為：空穴數(shù)為： ( )() pp SxSxx Sp(x

54、) Sp(x+x) 在單位時間中凈留在單位體積中的空穴數(shù)在單位時間中凈留在單位體積中的空穴數(shù) 為：為： ( )() pp SxSxx x ( ) 0, p dSx x dx p ppp J JS qS q ( )( ) 1 pp dSxJx dxqx ()() ppp JJJ 漂擴 pp p D qqp x ( ) p dSx dx 2 2 ppp pp Dp xxx 電場也變化電場也變化 (2) 其它因素的產(chǎn)生率其它因素的產(chǎn)生率gp (3) 復(fù)合率：復(fù)合率： p p 少子濃度隨時間的變化規(guī)律（少子濃度隨時間的變化規(guī)律（連續(xù)方程連續(xù)方程）： 2 2 pppp p pppp Dpg txxx 同

55、樣，對于同樣，對于P型材料型材料，少子連續(xù)方程：，少子連續(xù)方程： 2 2 nnnn n nnnn Dng txxx 2 2連續(xù)性方程的應(yīng)用連續(xù)性方程的應(yīng)用 (1) 穩(wěn)態(tài)少子連續(xù)性方程穩(wěn)態(tài)少子連續(xù)性方程 假設(shè)材料為假設(shè)材料為N型型材料，均勻摻雜，內(nèi)部也沒材料，均勻摻雜，內(nèi)部也沒 有其它產(chǎn)生，沿有其它產(chǎn)生，沿x方向加光照后，并加均勻電方向加光照后，并加均勻電 場，場，求達到穩(wěn)態(tài)時少子的分布規(guī)律求達到穩(wěn)態(tài)時少子的分布規(guī)律。 均勻摻雜：均勻摻雜： 0 0 dp dx dpd p dxdx 22 22 d pdp dxdx 均勻電場：均勻電場： 0 dE dx 穩(wěn)態(tài)：穩(wěn)態(tài)： 0 dp dt 內(nèi)部沒有其它產(chǎn)生：內(nèi)部沒有其它產(chǎn)生：gp=0 穩(wěn)態(tài)時少子的連續(xù)方程為：穩(wěn)態(tài)時少子的連續(xù)方程為： 2 2 0 pp p dpd pp DE dxdx 2 2 0 pppp dpd p DEp dxdx ppp LD pd EV 令：令：( ) pdp LV 2 2 2 ( )0 pp dpd p LLp dxdx 12 ( ) xx x pAeBe 22 ( )10 pp LL 22 2 ( )( )4 2 ppp p LLL L 22 ( )4( ) ppp LLL 通解為：通解為： 代上式 顯然：顯然： 22 1 2 ( )( )4 0 2