高二 數(shù)學(xué) 選修2-2 合情推理

1、教學(xué)重點：能利用歸納和類比等進行簡單的猜想和推理教學(xué)難點：用歸納和類比進行作出猜想.知識點一、歸納推理1. 歸納推理的概念1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=161+3+5+7+9=25。由此猜想：1+3+5+7+。（2n-1）= n2歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。觀察等式：，能得出怎樣的結(jié)論？思考：(i)統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理？(ii)歸納推理有何作用？ (iii)歸納推理的結(jié)果是否正確？ 2. 歸納推理的應(yīng)用題型一、數(shù)列的歸納例題：1已知數(shù)列的第1項，且，試歸納出通項公式.A變式1 猜想數(shù)列的通項公式是 .A變式2.已知m0

2、，不等式x2，x3，x4，可推廣為xn1，則m的值為_解析x，x，易得其展開后各項之積為定值1，所以可猜想出x，也滿足各項乘積為定值1，于是mnn.A變式324；24；3；3；4；4；，根據(jù)這些等式反映的結(jié)果，可以得出一個關(guān)于自然數(shù)n的等式，這個等式可以表示為_A變式4 在各項為正的數(shù)列an中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn.(1) 求a1，a2，a3；(2) 由(1)猜想數(shù)列an的通項公式；B變式1已知數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，則a3_，a1a2a3a2007_B變式2 如圖是一個數(shù)表，第一行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個數(shù)的和寫在這兩個數(shù)的下方，得到下一行，數(shù)表從上

3、到下與從左到右均為無限項，則這個數(shù)表中的第13行，第10個數(shù)為_解析觀察數(shù)表可知，每行數(shù)分別構(gòu)成公差為20,21,22,23，的等差數(shù)列，所以第13行的公差為212.又每行第一個數(shù)分別為1,32120,82222,2023322,4824423,25625524，故第13行第一個數(shù)為212122117212，第10個數(shù)為7212921216212216.B變式3 已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=3，f（2）=6，f（3）=10，f（4）=15，則f（12）的值為（）二類比推理類比推理是由特殊到特殊的推理.題型二、從平面到空間的類比例題1(i)圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于半

4、徑. 由此結(jié)論如何類比到球體？(ii)平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓，由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論？(iii)由圓的一些特征，類比得到球體的相應(yīng)特征. 圓的概念和性質(zhì) 球的類似概念和性質(zhì) 圓的周長 圓的面積 圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦 與圓心距離相等的兩線相等；與圓心距離不等的兩弦不等 距圓心較近的弦較長以點（a,b）為圓心，r為半徑的圓的方程為小結(jié)：平面空間，圓球，線面，周長面積，面積體積，2維3維 內(nèi)切圓 內(nèi)切球 平方一般不變 當(dāng)不確定時可以計算出來檢驗一下A變式1 在平面上，若兩個正三角形的邊長之比1：2，則它們的面積之比為1：4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長之比為1

5、：2，則它的體積比為（）A1：4B1：6C1：8D1：9分析：由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合三角形的面積比的方法類比求四面體的體積比即可解答：解：平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，得出：在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的底面積之比為1：4，對應(yīng)高之比為1：2，所以體積比為 1：8故選C點評：本題主要考查類比推理類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去A變式2 對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出：正四面體的內(nèi)切球切于各面正三角

6、形的什么位置（）A各正三角形的中心B各正三角形的某高線上的點C各正三角形內(nèi)一點D各正三角形外的某點考點：類比推理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：立體幾何中的四面體，可以與平面幾何中的三角形類比，四面體的面可以與三角形的邊類比，因此可得結(jié)論解答：解：四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點也就類比成各三角形的中心，故選A點評：本題主要考查類比思想的運用，有平面到空間，應(yīng)注意相類比的元素，屬于基礎(chǔ)題A變式3在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外切圓面積為S2，則 =，推廣到空間可以得到類似結(jié)論，已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則 =（）ABCD

7、考點：類比推理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離分析：平面圖形類比空間圖形，二維類比三維得到，類比平面幾何的結(jié)論，確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比，即可求得結(jié)論解答：解：從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，如圖，設(shè)正四面體的棱長為a，則AE=，DE=設(shè)OA=R，OE=r，則R=，r=正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是 3：1故正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2之比等于故選C點評：本題考查類比推理，考查學(xué)生的計算能力，正確計算是關(guān)鍵B.變式1.已知三角形的三邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積為s=（a+b+c）r；四面體的四個面的面積分

8、別為s1，s2，s3，s4，內(nèi)切球的半徑為R類比三角形的面積可得四面體的體積為（）A=（s1+s2+s3+s4）RB=（s1+s2+s3+s4）RC=（s1+s2+s3+s4）RD=（s1+s2+s3+s4）R分析：根據(jù)三角形的邊應(yīng)與四面體中的各個面進行類比，而面積與體積進行類比，進行猜想解答：解：根據(jù)幾何體和平面圖形的類比關(guān)系，三角形的邊應(yīng)與四面體中的各個面進行類比，而面積與體積進行類比：ABC的面積為s=（a+b+c）r，對應(yīng)于四面體的體積為V=（s1+s2+s3+s4）R故選B點評：本題考查了立體幾何和平面幾何的類比推理，一般平面圖形的邊、面積分別于幾何體中的面和體積進行類比，從而得到結(jié)

9、論B變式2平面幾何中，有邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值，類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為（）ABCD考點：類比推理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：規(guī)律型；空間位置關(guān)系與距離分析：由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)固我們可以根據(jù)已知中平面幾何中，關(guān)于線的性質(zhì)“正三角形內(nèi)任意一點到三邊距離之和是一個定值”，推斷出一個空間幾何中一個關(guān)于面的性質(zhì)解答：解：類比在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值

10、，在一個正四面體中，計算一下棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點到各個面的距離之和，如圖：由棱長為a可以得到BF=，BO=AO=aOE，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把數(shù)據(jù)代入得到OE=a，棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點到各個面的距離之和4a=a，故選B點評：本題是基礎(chǔ)題，考查類比推理及正四面體的體積的計算，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查空間想象能力，計算能力B變式3 在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則|AB|2+|AC|2=|BC|2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐ABCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則可得”（）A|AB|2

11、+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2BS2ABCS2ACDS2ADB=S2BCDCSABC2+SACD2+SADB2=SBCD2D|AB|2|AC|2|AD|2=|BC|2|CD|2|BD|2分析：斜邊的平方等于兩個直角邊的平方和，可類比到空間就是斜面面積的平方等于三個直角面的面積的平方和，邊對應(yīng)著面解答：解：由邊對應(yīng)著面，邊長對應(yīng)著面積，由類比可得：SBCD2=SABC2+SACD2+SADB2故選C點評：本題考查了從平面類比到空間，屬于基本類比推理小結(jié)：歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理. n400.數(shù)列型的用求數(shù)列的通項公式題型三、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比例題3 設(shè)

12、等差數(shù)列的前n項和為則成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列的前n項積為則 , 成等比數(shù)列. 解析 由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性,且等差數(shù)列與和、差有關(guān),等比數(shù)列與積、商有關(guān),因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項之和仍成等差數(shù)列時,類比到等比數(shù)列為依次每4項的積成等比數(shù)列.下面證明該結(jié)論的正確性: 設(shè)等比數(shù)列的公比為q,首項為 則 即 故成等比數(shù)列. 答案 小結(jié) ：等差類比等比 加 乘 減 除 算術(shù)平均數(shù) 幾何平均數(shù)A變式1若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為（）ABCD分析：利用等差數(shù)列的求和公式，等比數(shù)列的通項公

13、式，即可得到結(jié)論解答：解：數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列=也為等差數(shù)列正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，設(shè)首項為c1，公比為q=是等比數(shù)列故選D點評：本題考查類比推理，解題的關(guān)鍵是掌握好類比推理的定義及等差等比數(shù)列之間的共性，由此得出類比的結(jié)論即可A變式2在公差為d的等差數(shù)列an中，我們可以得到an=am+（nm）d （m，nN+）通過類比推理，在公比為q的等比數(shù)列bn中，我們可得（）Abn=bm+qnmBbn=bm+qmnCbn=bmqmnDbn=bmqnm考點：類比推理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型分析：因為等差數(shù)列an中，an=am+（nm）d （m，nN+），即等差數(shù)列中任意給出第m項am，它的通項可以由

14、該項與公差來表示，推測等比數(shù)列中也是如此，給出第m項bm和公比，求出首項，再把首項代入等比數(shù)列的通項公式中，即可得到結(jié)論解答：解：在公比為q的等比數(shù)列bn中，設(shè)其首項為b1，則，所以則故選D點評：本題考查了類比推理，類比推理就是根據(jù)兩個不同的對象在某些方面的相似之處，從而推出這兩個對象在其他方面的也具有的相似之處，是基礎(chǔ)題A變式3在等差數(shù)列an中，也成等差數(shù)列，那么在等比數(shù)列bn中，下列推斷正確的是（）A數(shù)列成等差數(shù)列B數(shù)列成等比數(shù)列C數(shù)列成等比數(shù)列D數(shù)列成等比數(shù)列分析：在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理

15、為幾何平均數(shù)等，故我們可以由數(shù)列an是等差數(shù)列，則當(dāng)時，數(shù)列cn也是等差數(shù)列類比上述性質(zhì)，若數(shù)列bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時，數(shù)列dn也是等比數(shù)列解答：解：在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故我們可以由數(shù)列an是等差數(shù)列，則當(dāng)時，數(shù)列cn也是等差數(shù)列類比推斷：若數(shù)列bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時，數(shù)列dn也是等比數(shù)列故選D點評：本題考查的知識點是類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的

16、命題（猜想）B變式1 在等差數(shù)列an中，若an0，公差d0，則有a4a6a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若bn0，q1，則b4，b5，b7，b8的一個不等關(guān)系是（）Ab4+b8b5+b7Bb5+b7b4+b8Cb4+b7b5+b8Db4+b5b7+b8分析：類比等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn均為各項為正數(shù)的遞增數(shù)列，等差數(shù)列中的“和”運算類比等比數(shù)列中“積”運算，由此即可得到答案解答：解：在等差數(shù)列an中，an0，公差為d0，所以an為各項為正數(shù)的遞增數(shù)列，由于4+6=3+7時有a4a6a3a7，而在等比數(shù)列bn中，bn0，q1，則bn為各項為正數(shù)的遞增數(shù)列，由于4+8=5+7，所以應(yīng)有

17、b4+b8b5+b7，b4+b8b5+b7故選：A點評：本題考查類比推理，考查學(xué)生的觀察、分析、類比能力，考查推理論證能力，屬中檔題B.變式2若an是等差數(shù)列，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有正確的結(jié)論：（mn）ap+（np）am+（pm）an=0，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若等比數(shù)列bn，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有bp mnbmnpbnpm=1考點：類比推理；等比數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型分析：仔細分析題干中給出的不等式的結(jié)論：（mn）ap+（np）am+（pm）an=0的規(guī)律，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此等比數(shù)列類比到

18、等差數(shù)列的：bp mnbmnpbnpm=1成立解答：解：等差數(shù)列中的（mn）ap可以類比等比數(shù)列中的bp mn等差數(shù)列中的（np）am可以類比等比數(shù)列中的bm np等差數(shù)列中的（pm）an可以類比等比數(shù)列中的bn pm等差數(shù)列中的“加”可以類比等比數(shù)列中的“乘”故bp mnbmnpbnpm=1故答案為bp mnbmnpbnpm=1點評：本題主要考查等差數(shù)列類比到等比數(shù)列的類比推理，類比推理一般步驟：找出等差數(shù)列、等比數(shù)列之間的相似性或者一致性用等差數(shù)列的性質(zhì)去推測物等比數(shù)列的性質(zhì)，得出一個明確的命題（或猜想）B 變式3若an是等差數(shù)列，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有正確的結(jié)論：（mn）ap+（np）am+（pm）an=0，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若等比數(shù)列bn，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有bp mnbmnpbnpm=1考點：類比推理；等比數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型分析：仔細分析題干中給出的不等式的結(jié)論：（mn）ap+（np）am+（pm）an=0的規(guī)律，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此等比數(shù)列類比到等差數(shù)列的：bp mnbmnpbnpm=1成立解答：解：等差數(shù)列中的（mn）ap可以類比等比數(shù)列中的bp mn等差數(shù)列中的（np）am可以類