第六章 狹義相對論

1、Special Theory of relativity 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 相對論的基本原理相對論的基本原理 洛倫茲變換洛倫茲變換 相對論的四維形式相對論的四維形式 相對論的時空理論相對論的時空理論 相對論力學(xué)相對論力學(xué) 相對論的實驗基礎(chǔ)相對論的實驗基礎(chǔ) 電動力學(xué)的相對論不變性電動力學(xué)的相對論不變性 6.1 狹義相對論的實驗基礎(chǔ)狹義相對論的實驗基礎(chǔ) 1、經(jīng)典力學(xué)的時空觀、經(jīng)典力學(xué)的時空觀 在狹義相對論建立之前，科學(xué)家們普遍認(rèn)為：時間 和空間都是絕對的?？梢悦撾x物質(zhì)運動而存在，并 且時間與空間沒有任何聯(lián)系。 伽利略相對論原理伽利略相對論原理 力學(xué)規(guī)律在一切作勻速運動的慣性參考系都是 等效的。

2、 設(shè)兩個慣性系 ， 相對于 以速度 沿公 共方向x軸運動，在 時，兩坐標(biāo)系重合， 現(xiàn)在要研究靜止在 系和 系中的兩個觀察者在同 一時刻測得質(zhì)點P在某一時刻位置間的關(guān)系。 v 和 0 tt S y z OOx z S y x v () , P x y z 伽利略變換伽利略變換 反映了經(jīng)典力學(xué)的絕對時空 理論，時間是絕對的，與空 間無關(guān) tt 伽利略變換 tt zz yy vtxx tt zz yy vtxx 牛頓第二定律在任 何慣性系均成立： 伽利略相對性原理 伽利略速度變換伽利略速度變換 將上式微分即得 v dt dx dt dx 2 2 2 2 dt xd dt xd 加速度： 速度疊加原理

3、 vuu 2 2 2 2 dt xd m dt xd mf 邁克耳遜邁克耳遜 莫雷實驗?zāi)讓嶒?2. 狹義相對論的實驗基礎(chǔ)狹義相對論的實驗基礎(chǔ) c v u cos2 222 uvvuc cossin 222 vvcu P 1 M 2 M S 2 l 1 l v O 對光線（對光線（1）：）：OMO 1 )1 ( 22 2 2 22 c v c l vc lc vc l vc l t 1 21 , lll 設(shè) 對光線（對光線（2）OMO 2 ) 2 1 ( 22 2 2 22 2 c v c l vc l t 2 2 c v ltc光程差為： 2 2 2 c v l改變量： 2 2 2 c vl

4、 N 干涉條紋移動： 2/ 儀器轉(zhuǎn)動 2 2 c v ltc光程差為： 邁克爾孫實驗否定了特殊參考系的存在，它表明了邁克爾孫實驗否定了特殊參考系的存在，它表明了 光速不依賴于觀察者所在的參考系。光速不依賴于觀察者所在的參考系。 該實驗被認(rèn)為是狹義相對論的主要實驗支柱之一。該實驗被認(rèn)為是狹義相對論的主要實驗支柱之一。 邁克耳遜干涉儀精度可觀測到邁克耳遜干涉儀精度可觀測到0.010.01個條紋的移動。個條紋的移動。 19071907年邁克耳遜年邁克耳遜因創(chuàng)制精密光學(xué)儀器而獲得諾貝爾因創(chuàng)制精密光學(xué)儀器而獲得諾貝爾 物理學(xué)獎物理學(xué)獎 0N實驗結(jié)果： 4 .0N 827 10)/( ,m105,m10

5、cvl 6.2 狹義相對論的基本原理狹義相對論的基本原理 洛侖茲變換洛侖茲變換 一切物理定律在所有的慣性系中都具有相同形式；一切物理定律在所有的慣性系中都具有相同形式； 一切慣性系都等價，不存在特殊的絕對的慣性系。一切慣性系都等價，不存在特殊的絕對的慣性系。 (1) 相對性原理相對性原理 真空中光速相對任何慣性系沿任何一個方向大小恒為真空中光速相對任何慣性系沿任何一個方向大小恒為C， 且與光源運動速度無關(guān)。且與光源運動速度無關(guān)。 299792458m/sc (2) 光速不變原理光速不變原理 1. 基本原理（兩個公理）基本原理（兩個公理） 它否定了伽利略變換，即否定了經(jīng)典時空觀。它否定了伽利略變

6、換，即否定了經(jīng)典時空觀。 光的速度大小與參照系無關(guān)，但方向在不同參照系中可以不同光的速度大小與參照系無關(guān)，但方向在不同參照系中可以不同 光速數(shù)值不變，則不同參照系中時間、空間、尺度要發(fā)生關(guān)系光速數(shù)值不變，則不同參照系中時間、空間、尺度要發(fā)生關(guān)系 光速不變將導(dǎo)致同時的相對性光速不變將導(dǎo)致同時的相對性 按經(jīng)典理論，在一個參考系中同時發(fā)生的兩件事，在另一按經(jīng)典理論，在一個參考系中同時發(fā)生的兩件事，在另一 參考系中仍為同時發(fā)生。但按相對論理論，同時具有相對參考系中仍為同時發(fā)生。但按相對論理論，同時具有相對 性，即在另一系中可能不同時發(fā)生。性，即在另一系中可能不同時發(fā)生。 S P P2 O Ox P1

7、S x v 2. 間隔不變性間隔不變性 (1) 事件事件 在無限小空間，無限小時間間隔內(nèi)發(fā)生的物質(zhì)運動過程，稱為 事件?；蛘f在某一時刻，某一空間上發(fā)生的某一事件稱為事件， 一般用P來表示。在某一個參考系中可以表示為P(x,y,z,t). (2) 經(jīng)典理論的空間間隔（距離）與時間間隔經(jīng)典理論的空間間隔（距離）與時間間隔 222222 212121212121 ()()()()()()xxyyzzxxyyzz 1212 tttt (3) 相對論理論中定義時空間隔相對論理論中定義時空間隔 定義時空間隔（間隔）：定義時空間隔（間隔）： ()()()() 2 12 2 12 2 12 2 12 22 z

8、zyyxxttcs 兩事件用小于光的信號聯(lián)系 0 2 s 0 2 s 兩事件可用光信號聯(lián)系 0 2 s兩事件用大于光信號聯(lián)系 間隔是相對論時空理論的一個重要基本概念，它將間隔是相對論時空理論的一個重要基本概念，它將 時間與空間統(tǒng)一起來，有深刻的物理含義。時間與空間統(tǒng)一起來，有深刻的物理含義。 (4) 間隔不變性間隔不變性 空間均勻性 選擇時空任意一點作為坐標(biāo)系的原點， 任一時間為起點都不應(yīng)改變物理規(guī)律，即空間是平權(quán) 的，沒有特殊點存在。 空間各向同性 選擇不同取向的坐標(biāo)軸都不會影響物 理規(guī)律，即空間不存在一個特殊的方向，各方向都是 平權(quán)的。 1）時空基本屬性的兩條基本假設(shè)： 設(shè)系兩件事件間隔為

9、S2，系中為S2，假定滿足S2=AS2 2）兩事件在不同參考系中的間隔為不變量 由于時空各向同性，A只依賴于參照系相對運動速度的 大小而不依賴于方向，即：A=A(v)。由于兩參考系是等 價的，則反變換應(yīng)為：S2=AS2。由于A不依賴于相對運 動速度的方向，因此上面兩式中的A應(yīng)該是一樣的， S2=AS2 =AAS2=A2S2。由變換的連續(xù)性應(yīng)取A=1。由此得 到S2=S2，即間隔為一不變量。 意義：兩事件的間隔與參照系的選擇無關(guān)，是一個不意義：兩事件的間隔與參照系的選擇無關(guān)，是一個不 變量。它是光速不變原理的數(shù)學(xué)表示形式。變量。它是光速不變原理的數(shù)學(xué)表示形式。 定義事件（x, y, z, t）和

10、事件(0, 0, 0, 0)之間的間隔S2為 在另一慣性系中觀察到這兩事件的間隔S2為 222222 zyxtcs 2 2 2 22 2 zyxtcs 由間隔不變性 則有： 2 2 ss 22 2 2 2 22222 tczyxtczyx 例：在例：在SS系靜止光源系靜止光源S發(fā)光，經(jīng)發(fā)光，經(jīng)M反射后到反射后到S 接收，設(shè)接收，設(shè)SS相對相對S S沿沿x軸正向運動，計算時間軸正向運動，計算時間 和間隔。和間隔。 S 0 l S S S tv 0 l 0 2 /tlc ()()()() 2222 222 212121210 4scttxxyyzzl 0 22 2l t cv ()()()() 2

11、222 22 21212121 2222 22 22 00 2222 2 0 44 4 scttxxyyzz ctvt ll cv cvcv l tctvl 222 0 4 1 2 在S系觀察： 在S系觀察： 根據(jù)變換的線性關(guān)系 和間隔不變性，可以 導(dǎo)出相對論時空變換 關(guān)系。 S P（x, y, z） O Ox y S x v y z z 相對于 沿x軸方向運動，如上圖所示，變換形式有 SS 3. 洛倫茲變換洛倫茲變換 1 0 1 2 22 2 12 22211211 2 21 2 11 aa aaaa aa 將（1）式代入 ，則得： 2 2 ss 由于x軸與x/軸同向，時間t和t/正 向相同

12、，則 0, 0 2211 aa 2 2221 222 1211 22222 )()(ctaxazyctaxatczyx ctaxact zz yy ctaxax 2221 1211 (1) 比較等式兩邊的系數(shù) 聯(lián)立 得： ）式得代入（ ，系上看，這一點坐標(biāo)，而從點坐標(biāo)系上看，在 1 0 vtxxO ctavta 1211 0 2 2 2211 1 1 c v aa 2 2 2112 1 c v c v aa 由上式的第一式和第三式 得： 2112 aa 代入第二式 得： 2 2111 1aa 2 1222 1aa c v a a 11 12 因此，我們可得相對論時空坐標(biāo)變換公式 正變換正變換

13、22 /1cv vtx x 22 2 /1 cv cvxt t y y z z 逆變換逆變換 22 /1 t cv vx x 22 2 /1 cv cvxt t yy zz ttvtxx , 當(dāng) 時，洛倫茲變換變?yōu)橘だ宰儞Q1 c v vv 4. 速度變換公式速度變換公式 由洛倫茲變換式可以推出相對論的速度變換公式。設(shè) ddd , , , ddd xyz xyz uuu ttt 為物體相對于的速度。設(shè)相對于沿x軸方向以速度運動。用洛 倫茲變換式 2 22 22 , . 11 v tx xvt c xt vv cc 取兩式微分取兩式微分 22 2222 2222 d1 dd dd , dd .

14、1111 x x vu v dtx uvxv t cc xttt vvvv cccc 兩式相除得兩式相除得 2 d d 1 x x x uvx u vu t c 同樣可求得同樣可求得 22 22 22 11 dd , dd 11 yz yz xx vv uu yz cc uu vuvu tt cc 2 22 22 , . 11 v tx xvt c xt vv cc 反變換式為反變換式為 22 22 222 11 , , 111 yz x xyz xxx vv uu uv cc uuu vuvuvu ccc 討論：討論： 1. vc，洛侖茲速度變換退化為伽利略變換，洛侖茲速度變換退化為伽利略變

15、換 2. 速度變換滿足光速不變原理速度變換滿足光速不變原理 2 /1cvu vu u 2 /1cvc vc c vc vc c 3. 無論是在真空中還是介質(zhì)中，無論用什么方法，都不可能使一個無論是在真空中還是介質(zhì)中，無論用什么方法，都不可能使一個 信號以大于光速的速度傳遞。信號以大于光速的速度傳遞。 若 u = c , 若若 u c , 則可證明則可證明u c 例2 p198 S P P2 O O x P1 S x v=0.8c 事件1（O點發(fā)光） 事件2（P1點接收） 事件3（P2點接收） ) 1 , 0 , 0 ,( ) 1 , 0 , 0 ,( )0 , 0 , 0 , 0( c c )

16、, 0 , 0 ,( ), 0 , 0 ,( )0 , 0 , 0 , 0( 3 3 2 2 tx tx 3 /)8 . 0 (1 8 . 0 /1 2222 c cc cc cv vtx x 3 1 /)8 . 0(1 8 . 01 /1 22 22 22 2 cc cc cv cvxt t 0y 0z P1接收到光訊號在上的時空坐標(biāo)為 。這件事在 上觀察時，由洛倫茲變換得 ) 1 , 0 , 0 ,(c 即P1接收到光訊號在S系上的時空坐標(biāo)為 。 ) 3 1 , 0 , 0 , 3 ( c P2接收到光訊號在 上的時空坐標(biāo)為 。同理，由洛 倫茲變換可得該事件在上的時空坐標(biāo)為 ) 1 , 0

17、 , 0 ,( c )3 , 0 , 0 ,3(c 在上同時的兩件事（P1和P2同時接到光訊號），在上看 來變?yōu)椴煌瑫r，P1接收到光波較早于P2接收到光波。 在和上觀察到P1和P2接收到訊號這兩件事之間的時間差 別，空間差別和間隔分別為 2 2 22 4, 3 10 , 3 8 : 4,2, 0: cscxt cscxt 兩參考系上測得P1和P2的距離不同，但兩事件的間隔是一致 的。相對論的時間、距離是相對的，同時性也是相對的，但 兩事件的間隔卻有絕對意義。 6.3 相對論時空理論相對論時空理論 222222222 rtczyxtcS 2 , 0rctS 1、相對論時空結(jié)構(gòu)、相對論時空結(jié)構(gòu) 以

18、第一個事件為空時原點（0，0，0，0），設(shè)第二個事件 的空時坐標(biāo)為（x, y, z, t )，這兩個事件的間隔為： 式中 為兩事件的空間距離。 21222 )(zyxr 對于任意兩個事件，間隔并不一定為零 。因此，可以把間 隔分成三類： (1) 若兩事件可以用電磁信號（光波）聯(lián)系，此時 (2) 若兩個事件可以用低于電磁信號傳播的作用來聯(lián)系，此時 2 , 0rctS 2 , 0 ;rctS (3) 若兩個事件的空間距離超過了光波在時間t所傳播的 距離，此時 為了說明問題的方便，把三種間隔用一個三維時空圖形表示 出來，事件用一個三維時空點P來表示。 x y ct P o 45o P點在 xy 面上

19、的投影表示事 件發(fā)生的地點，P點的垂直 坐標(biāo)表示事件發(fā)生的時刻 t 乘以c 。 由于四維時空的結(jié)構(gòu)由三個區(qū)域組成，對于由于四維時空的結(jié)構(gòu)由三個區(qū)域組成，對于 上述三種情況，具體分析它們各自的特點：上述三種情況，具體分析它們各自的特點： (1)若事件P與事件O的間隔是 ， 則 ，因此P點在一個以O(shè)點為 頂點的錐面上，這個錐面稱為光錐光錐。 凡是光錐上的點，都可以和O點用 光信號聯(lián)系，這類型的間隔稱為類 光間隔。 0 2 Sctr (2)若事件P與事件O的間隔是 ，則 ，因而P點在光錐 之內(nèi)。這類型的間隔稱為類時間隔。 0 2 S rct x y ct P1 o 45o P2P3 區(qū)域中的點與O點

20、有因果聯(lián)系 絕對將來絕對將來 事件 2 比事件 1后發(fā)生0t若 絕對過去絕對過去 事件 1 比事件 2先發(fā)生 0t若 (3)若事件P與事件O的間隔是 ，則 ，因而P點在光 錐之外。這時P點不可能與O點用光信號或低于光信號的傳播 速度的作用相聯(lián)系。這類型的間隔稱為類空間隔。 0 2 Sctr x y ct P1 o 45o P2P3 同時相對性同時相對性 兩事件沒有 因果聯(lián)系。光速不足以 將兩事件聯(lián)系在一起。 ()() 22 12 2 12 12 1cv xxcvtt tt 2. 因果律和相互作用的最大傳播速度因果律和相互作用的最大傳播速度 有因果關(guān)系的事件之間可用光和小于光速的信號聯(lián)系，有因果

21、關(guān)系的事件之間可用光和小于光速的信號聯(lián)系， 發(fā)生于光錐之內(nèi)。事件先后順序在各個參考系都不會發(fā)生于光錐之內(nèi)。事件先后順序在各個參考系都不會 改變。這是因果律成立的必要條件。改變。這是因果律成立的必要條件。 1 1、相對論時空理論不破壞因果律、相對論時空理論不破壞因果律 2 2、相互作用的最大傳播速度、相互作用的最大傳播速度 21, tt 12 tt() 12 2 12 xx c v tt v c tt xx 2 12 12 1 P 2 P S () 11,t x () 22,t x S() 11,t x() 22,t x 12 12 : tt xx u 令 2 uv c, v c u c 信號傳

22、播是一個物理過程，傳輸時必然伴隨能量。因此只信號傳播是一個物理過程，傳輸時必然伴隨能量。因此只 要能量傳輸?shù)乃俣炔怀^要能量傳輸?shù)乃俣炔怀^ C，則因果關(guān)系就不會倒置。，則因果關(guān)系就不會倒置。 3. 同時的相對性同時的相對性 結(jié)論：同時不同地兩事件，在其他慣性系中一般為不同時、不結(jié)論：同時不同地兩事件，在其他慣性系中一般為不同時、不 同地事件同地事件 。 2 2 1 c xvt t 同時的相對性：不同的慣性系時間不再統(tǒng)一，否定了絕對時空同時的相對性：不同的慣性系時間不再統(tǒng)一，否定了絕對時空 說明同時具有相對性，時間的量度是相對的說明同時具有相對性，時間的量度是相對的 . 同時的相對性同時的相對

23、性 現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)都采用自然基準(zhǔn)，它們可以一般稱為時鐘。在不現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)都采用自然基準(zhǔn)，它們可以一般稱為時鐘。在不 同參考系上可以用同一種物理過程作為計時基準(zhǔn)，這樣就可以同參考系上可以用同一種物理過程作為計時基準(zhǔn)，這樣就可以 比較不同參考系上的時間。比較不同參考系上的時間?，F(xiàn)在的問題是，在不同參考系上觀現(xiàn)在的問題是，在不同參考系上觀 察同一個物理過程，其時間有什么關(guān)系察同一個物理過程，其時間有什么關(guān)系? 4. 運動時鐘的延緩運動時鐘的延緩 在在S S 參考系上參考系上, 由于兩事件發(fā)生在同一地點由于兩事件發(fā)生在同一地點 ,因此兩事件的間隔為因此兩事件的間隔為 x 22222 21 ()sc tt

24、c 設(shè)設(shè)S S上觀察到兩事件的空時坐標(biāo)為上觀察到兩事件的空時坐標(biāo)為(x1,t1)和和( x2,t2) ，則，則 兩事件的間隔為兩事件的間隔為 2222222 2121 ()()()sc ttxxctx 由間隔不變性有由間隔不變性有 22222 ()ctxc 但 為該物體相對于S 的運動速度，因此/xtv 2 2 1 t v c 靜止坐標(biāo)系測出的 時間，稱為該物理 過程的固有時 在在S S上看到物體以速度上看到物體以速度v運動。運動。 t ，表示運動物體上發(fā)生的自，表示運動物體上發(fā)生的自 然過程比起靜止物體的同樣過程延緩了。物體運動速度越大，所然過程比起靜止物體的同樣過程延緩了。物體運動速度越大，所 觀察到的它的內(nèi)部物理過程進(jìn)行得越緩慢。觀察到的它的內(nèi)部物理過程進(jìn)行得越緩慢。這就是時間延緩效應(yīng)。這就是時間延緩效應(yīng)。 這種效應(yīng)是時空的基本屬性引起的，與鐘的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。這種效應(yīng)是時空的基本屬性引起的，與鐘的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。 運運 動動 的的 鐘鐘 走走 得得 慢慢 時間的延緩時間的延緩 5. 長度收縮長度收縮 210 xxxll : S :S 21 xxx 2 22 2 1 vtx x 2 11 1 1 vtx x 12 tt在同一時刻測量長度在同一時刻測量長度 xx1 12 2 2 0 1l 2 0 1ll 結(jié)論結(jié)論:運動尺子