分式基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、分式的概念和性質(zhì)(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無(wú)意義、分式值為0的條件.2 .掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式包等變形，進(jìn)而進(jìn)行條件計(jì)算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、分式的概念一般地，如果a、b表示兩個(gè)整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式. b其中a叫做分子，b叫做分母.要點(diǎn)詮釋：(1)分式的形式和分?jǐn)?shù)類似，但它們是有區(qū)別的 .分?jǐn)?shù)是整式，不是 分式，分式是兩個(gè)整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分?jǐn)?shù) 的分子、分母中都不含字母.(2)分式與分?jǐn)?shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的 數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性；分?jǐn)?shù)是分式中字母取特定值

2、后的特殊情況.(3)分母中的“字母”是表示不同數(shù)的“字母”，但兀表示圓周率， 是一個(gè)常數(shù)，不是字母，如 且是整式而不能當(dāng)作分式.(4)分母中含有字母是分式的一個(gè)重要標(biāo)志， 判斷一個(gè)代數(shù)式是否是2分式不能先化簡(jiǎn)，如 “是分式，與xy有區(qū)別，xy是整式，即只x看形式，不能看化簡(jiǎn)的結(jié)果.要點(diǎn)二、分式有意義，無(wú)意義或等于零的條件1 .分式有意義的條件：分母不等于零.2 .分式無(wú)意義的條件：分母等于零.3 .分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零 .要點(diǎn)詮釋：（1）分式有無(wú)意義與分母有關(guān)但與分子無(wú)關(guān)，分式要明確其是否有意 義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分 母的值為零.（2）

3、本章中如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，所遇到的分式都是有意義的，也就是 說(shuō)分式中分母的值不等于零.（3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值 .要點(diǎn)三、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：- 3,2 a-m （其中m是不等于零的b b m b b m整式）.要點(diǎn)詮釋：（1）基本性質(zhì)中的a、b、m表示的是整式.其中b#0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過(guò)程中不另強(qiáng)調(diào)；m?0是在解題過(guò)程中另外附加的條件，在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，必須重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)m ? 0這個(gè)前提條件.（2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時(shí)，雖然分式的值不

4、變，但/ 一 1 ”1分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：工土，在變 工+/ x形后，字母x的取值范圍變大了 .要點(diǎn)四、分式的變號(hào)法則對(duì)于分式中的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變；改變其中任何一個(gè)或三個(gè)，分式成為原分式的相反數(shù) .要點(diǎn)詮釋：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有 b, b.根據(jù)有理數(shù)除法的符號(hào)法則有 a a a ab.分式a與：互為相反數(shù).分式的符號(hào)法則在以后關(guān)于分式的運(yùn)算中起著a a a b b重要的作用.精心整理精心整理要點(diǎn)五、分式的約分，最簡(jiǎn)分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分 式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果

5、一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有相同的因 式（1除外），那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式.要點(diǎn)詮釋：（1）約分的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)分式化成最簡(jiǎn)分式，即約分后，分式的分子 與分母再?zèng)]有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因 式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次哥的積；當(dāng)分 式的分子、分母中含有多項(xiàng)式時(shí)，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分 子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進(jìn)行約分 .分式的乘除（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .學(xué)會(huì)用類比的方法總結(jié)出分式的乘法、除法法則 .2 .會(huì)分式的乘法、除法運(yùn)算.3 .掌握乘方的意義，能根據(jù)乘方的法則，先乘方，再乘除進(jìn)行分式運(yùn)算.【要點(diǎn)梳

6、理】要點(diǎn)一、分式的乘除法1 .分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的 分母.用字母表不為： ,其中a、b c、d是整式，bd 0.b d bd2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：a a d ad ,其中a、b、c、d是整式，bcd 0.b d b c bc要點(diǎn)詮釋：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡(jiǎn)分式 或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，看能 否約分，然后再乘.(3)整式與分式相乘，可以直接把整式(整式可以看作分母是1的代數(shù)式)和分式的分子相乘作為分子，

7、分母不變.當(dāng)整式是多項(xiàng)式時(shí)， 同樣要先分解因式，便于約分.(4)分式的乘除法計(jì)算結(jié)果，要通過(guò)約分，化為最簡(jiǎn)分式或整式 .要點(diǎn)二、分式的乘方分式的乘方運(yùn)算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：n nn n要點(diǎn)詮釋：(1)分式乘方時(shí)，一定要把分式加上括號(hào).不要把?寫(xiě)成 1(2)分式乘方時(shí)，要首先確定乘方結(jié)果的符號(hào)，負(fù)數(shù)的偶次方為正， i _ _負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù).(3)在一個(gè)算式中同時(shí)含有分式的乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解因式，再約分.(4)分式乘方時(shí)，應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體.如a b 2 a b 2 a2 b2 bb2b2 .分式的加減(基礎(chǔ)

8、) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .能利用分式的基本性質(zhì)通分. i i2 .會(huì)進(jìn)行同分母分式的加減法.3 .會(huì)進(jìn)行異分母分式的加減法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：精心整理a b a b. c c c要點(diǎn)詮釋：(1) “把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個(gè)分子都應(yīng) 用括號(hào)，當(dāng)分子是單項(xiàng)式時(shí)，括號(hào)可以省略；當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，特別是分子相減 時(shí)，括號(hào)不能省，不然，容易導(dǎo)致符號(hào)上的錯(cuò)誤.(2)分式的加減法運(yùn)算的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)分式或整式 .要點(diǎn)二、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼剑?

9、不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分 式的通分.要點(diǎn)詮釋：(1)通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡(jiǎn)公分母：一般取各分母所有因式的 最高次哥的積作為公分母.(2)如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母 的最高次哥的乘積；如果各分母都是多項(xiàng)式，就要先把它們分解因式，然后再找最 簡(jiǎn)公分母.(3)約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對(duì)一個(gè)分式而言，而通分則是針 對(duì)多個(gè)分式而言.要點(diǎn)三、異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減 .上述法則可用式子表為：a c ad bc ad bc. b d bd bd bd要點(diǎn)詮釋

10、：(1)異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法 變成同分母分式的加減法.(2)異分母分式加減法的一般步驟：通分，進(jìn)行同分母分式的加減運(yùn)算，把精心整理結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式.要點(diǎn)四、分式的混合運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的加、減乘、除混合運(yùn)算一樣，分式的加、減乘、除混合運(yùn)算，也是先算乘、除，后算加、減；遇到括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的，按先小括號(hào)，再中括號(hào)，最后大括號(hào)的順序計(jì)算.分式運(yùn)算結(jié)果必須達(dá)到最簡(jiǎn)，能約分的要約分，保證結(jié)果是最簡(jiǎn)分 式或整式.要點(diǎn)詮釋：（1）正確運(yùn)用運(yùn)算法則：分式的乘除（包括乘方）、加減、符號(hào)變化法則 是正確進(jìn)行分式運(yùn)算的基礎(chǔ)，要牢牢掌握.（2）運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘、除，最后算加

11、、減，遇有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的 .（3）運(yùn)算律：運(yùn)算律包括加法和乘法的交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律.能靈活運(yùn)用運(yùn)算律，將大大提高運(yùn)算速度.分式方程的解法及應(yīng)用（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 . 了解分式方程的概念和檢驗(yàn)根的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程.2 .會(huì)列出分式方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中 含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一 般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不 含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3

12、）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程精心整理要點(diǎn)二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以 最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的 根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí) 必須驗(yàn)根.解分式方程的一般步驟：(1)方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：當(dāng)分母是 多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母)；(2)解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；(3)檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于 0,則這個(gè)解是原 分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等

13、于 0,則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú) 解.要點(diǎn)三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根 .產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)，方程兩邊同乘的最簡(jiǎn)公分母是含有字母的式子，這 個(gè)式子有可能為零，對(duì)于整式方程來(lái)說(shuō)，求出的根成立，而對(duì)于原分式方程來(lái)說(shuō)， 分式無(wú)意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.要點(diǎn)詮釋：(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的 .根據(jù)方程的 同解原理，方程的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)不為 0的數(shù)，所 得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是 0,那 么所得方程與原方程不是同解方程， 這時(shí)求得的根就是原方程的 增根

14、.(2)解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢精心整理查解方程過(guò)程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解 方程的過(guò)程中沒(méi)有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.要點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：(1)審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；(4)解這個(gè)分式方程；(5)驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；(6)寫(xiě)出答案.分式全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))j ，；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無(wú)意義、分式值為0的條件.2 . 了解分式的

15、基本性質(zhì)，掌握分式的約分和通分法則.3 .掌握分式的四則運(yùn)算.4 .結(jié)合分析和解決實(shí)際問(wèn)題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解法，體 會(huì)解方程中的化歸思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1 .分式一般地，如果a、b表示兩個(gè)整式，并且b中含有字母，那么式子 七叫做分式. b其中a叫做分子，b叫做分母.要點(diǎn)詮釋：分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為 0,所以分式的分母不能為0,即當(dāng)bw0 時(shí)，分式a才有意義.b2 .分式的基本性質(zhì)b 5工配白(m為不等于0的整式).精心整理精心整理3 .最簡(jiǎn)分式分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.如果分子分母有公因式，要

16、進(jìn)行約分化簡(jiǎn).要點(diǎn)二、分式的運(yùn)算1 .約分利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式 變形叫做分式的約分.2 .通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降闹?，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.3 .基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似，具體運(yùn)算法則如下：4 i(1)加減運(yùn)算a b 3 ；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.c c c虱 c ad i bo飛q二；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p .a c ac(2)乘法運(yùn)算 其中a、b c、d是整式 bd 0.b d

17、bd兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母a c a d ad(3)除法運(yùn)算 丁 一 =,其中a、b、c、d是整式，bcd 0.b d b c bc兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.=/./ / i j(4)乘方運(yùn)算分式的乘方，把分子、分母分別乘方.4.分式的混合運(yùn)算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的 .要點(diǎn)三、分式方程1 .分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母，即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.3 .分式方程的增根問(wèn)題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為 0的條件，當(dāng)把分式方