廣東省中山市高三第一學期期末統(tǒng)一考試文科數(shù)學試題及答案

1、中山市高三級20132014學年度第一學期期末統(tǒng)一考試數(shù)學試卷（文科）本試卷共4頁，20小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、統(tǒng)考考號、座位號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上。3、不可以使用計算器。4、考試結(jié)束，將答題卡交回，試卷不用上交。一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1設(shè)復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點在( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2設(shè)全集是實數(shù)集,

2、則（ ） ab cd3已知平面向量，若，則等于( )abcd4已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則a36b42c45d635在某次測量中得到的樣本數(shù)據(jù)如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù),則,兩樣本的下列數(shù)字特征對應相同的是（ ）a眾數(shù)b平均數(shù)c中位數(shù)d標準差6如圖，設(shè)a、b兩點在河的兩岸，一測量者在a的同側(cè)所在的河岸邊選定一點c，測出ac的距離為50m，后，就可以計算出a、b兩點的距離為（ ）a. b cd7如圖，定義某種運算，運算原理如右圖所示，則式子的值為（ ）a11 b13c8d48若一個底面為正三角形、側(cè)棱

3、與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則該棱柱的體積為（ ） abcd69已知函數(shù)滿足，且時，則當時，與的圖象的交點個數(shù)為( )a11b10c9 d810對、，運算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ）a、b、c、 d、二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。）11. .12已知函數(shù)，則 .13若變量滿足線性約束條件，則的最大值為_14已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是 . 三、解答題（ 本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）15（本題滿分12分）設(shè)平面向量，函數(shù)。（）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（）當,且時,求的值.16（本

4、題滿分12分）某學校餐廳新推出a，b，c，d四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下. 為了了解同學對新推出的四款套餐的評價，對每位同學都進行了問卷調(diào)查，然后用分層抽樣的方法從調(diào)查問卷中抽取20份進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下面表格所示：滿意一般不滿意a套餐50%25%25%b套餐80%020%c套餐50%50%0d套餐40%20%40%（）若同學甲選擇的是a款套餐，求甲的調(diào)查問卷被選中的概率；（）若想從調(diào)查問卷被選中且填寫不滿意的同學中再選出2人進行面 談，求這兩人中至少有一人選擇的是d款套餐的概率. 17（本題滿分14分）如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,ae、df是圓柱的兩條母線，過作圓柱

5、的截面交下底面于,四邊形abcd是正方形，eoab.（）求證；（）求四棱錐e-abcd的體積.18（本小題滿分14分） 數(shù)列的前n項和為，（）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項和；19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.（）若，且對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，求證：20. （本小題滿分14分） 已知函數(shù)，其中，且.（）當時，求函數(shù)的最大值； （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（iii）設(shè)函數(shù)若對任意給定的非零實數(shù)，存在非零實數(shù)（），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.中山市高三級20132014學年度第一學期期末統(tǒng)一考試數(shù)學試卷（文科）答案本試卷共4頁，20小題，滿分150分考試用時12

6、0分鐘一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分 daacd cbbcb二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分11. ; 12; 13. ; 14. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本題滿分12分）設(shè)平面向量，函數(shù)。（）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（）當,且時,求的值.15解： 依題意（2分） （4分）（） 函數(shù)的值域是；（5分）令，解得（7分）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（8分）（）由得,因為所以得,（10分） （12分）16（本題滿分12分）某學校餐廳新推出a，b，c，d四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下.

7、為了了解同學對新推出的四款套餐的評價，對每位同學都進行了問卷調(diào)查，然后用分層抽樣的方法從調(diào)查問卷中抽取20份進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下面表格所示：滿意一般不滿意a套餐50%25%25%b套餐80%020%c套餐50%50%0d套餐40%20%40%（）若同學甲選擇的是a款套餐，求甲的調(diào)查問卷被選中的概率；（）若想從調(diào)查問卷被選中且填寫不滿意的同學中再選出2人進行面 談，求這兩人中至少有一人選擇的是d款套餐的概率. 解：（）由條形圖可得，選擇a，b，c，d四款套餐的學生共有200人， 其中選a款套餐的學生為40人， 由分層抽樣可得從a款套餐問卷中抽取了 份. .（2分）設(shè)事件=“同學甲被選中進行問卷

8、調(diào)查”， 則 . .（5分）答：若甲選擇的是a款套餐，甲被選中調(diào)查的概率是. .（6分）（ii）由圖表可知，選a，b，c，d四款套餐的學生分別接受調(diào)查的人數(shù)為4，5，6，5. 其中不滿意的人數(shù)分別為1，1，0，2個 . .（7分）記對a款套餐不滿意的學生是a；對b款套餐不滿意的學生是b；對d款套餐不滿意的學生是c，d. .（8分）設(shè)事件n=“從填寫不滿意的學生中選出2人，至少有一人選擇的是d款套餐”從填寫不滿意的學生中選出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6個基本事件，而事件n有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5個基本事件

9、， （10分）則. （12分）17（本題滿分14分）如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,ae、df是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于, 四邊形abcd是正方形.（）求證；（）求四棱錐e-abcd的體積.（）ae是圓柱的母線，下底面，又下底面，.3分又截面abcd是正方形，所以，又面，又面， （7分）（）因為母線垂直于底面，所以是三棱錐的高（8分），由（）知面，面，面面，又面面，面，面，即eo就是四棱錐的高（10分）設(shè)正方形的邊長為, 則，又，為直徑，即在中，, 即， （12分）18.（本小題滿分14分）數(shù)列的前n項和為，（i）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求數(shù)列的前項和；（）若，求

10、不超過的最大整數(shù)的值。18【解析】(1) 因為，所以 當時，則， （2分） 當時，（4分）所以，即，所以，而， （6分）所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以（7分）（2）由(1)得所以 ， （9分）-得：， （12分）. （14分）19（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，.（i）若，且對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（ii）設(shè)函數(shù)，求證：19. 解:（）由可知是偶函數(shù)于是對任意成立等價于對任意成立（1分）由得當時，此時在上單調(diào)遞增 故，符合題意（3分）當時，當變化時的變化情況如下表： （4分）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數(shù)的取值范圍是 （7分）（），又， （10分）， （12分）由此得:故成立. （14分）20已知函數(shù)，其中，且.當時，求函數(shù)的最大值； 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)函數(shù)若對任意給定的非零實數(shù)，存在非零實數(shù)（），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：當時， 令，則， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 （4分），（）當時，函數(shù)的增區(qū)間為，當時，當時，函數(shù)是減函數(shù)；當時，函數(shù)是增函數(shù)。綜上得，當時，的增區(qū)間為； 當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為 （10分） 當，在