破解橢圓中最值問題的常見策略

1、破解橢圓中最值問題的常見策略有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時的高考復(fù)習需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強、涉及知識面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學中的一個難點。要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決。本文通過具體例子，對橢圓中的常見最值問題進行分類破解。第一類：求離心率的最值問題破解策略之一：建立的不等式或方程例1：若為橢圓的長軸兩端點，為橢圓上一點，使，求此橢圓離心率的最小值。分析：建立之間的

2、關(guān)系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件又不是與焦點有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標形式運用橢圓中的取值進行求解離心率的最值。解：不妨設(shè)，則，利用到角公式及得：（），又點在橢圓上，故，消去， 化簡得又即則，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的高次不等式 解得。故橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由，故）（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）點評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立之間的關(guān)系。常用橢圓上的點表示成，并利用橢圓中的取值來求解范圍問題或用數(shù)形結(jié)合進行求解。破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求范圍例2：已知橢圓c：兩個焦點為，如果曲線c上存在一點q，

3、使，求橢圓離心率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會有不錯的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小值為。點評：對于此法求最值問題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二類：求點點（點線）的最值問題破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）例3：（05年上海）點a、b分別是橢圓長軸的左、右端點，點f是橢圓的右焦點，點p在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點p的坐標；（2）設(shè)m是橢圓長軸ab上的一點，m到直線ap的距離等于，求橢圓上的

4、點到點m的距離的最小值。分析：解決兩點距離的最值問題是給它們建立一種函數(shù)關(guān)系，因此本題兩點距離可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題進行求解。解：（1）略 （2）直線ap的方程是+6=0。 設(shè)點m(,0),則m到直線ap的距離是。 于是=,又66,解得=2。 設(shè)橢圓上的點(,)到點m的距離 ,由于66, 當=時,d取得最小值點評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何將點點之間的最值問題轉(zhuǎn)化成我們常見函數(shù)二次函數(shù)的最值問題求解。破解策略之四：利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化例4：定長為的線段ab的兩個端點分別在橢圓上移動，求ab的中點m到橢圓右準線的最短距離。解：設(shè)f為橢圓的右焦點，如圖作于a，bb于b，mm于m，則當且僅當ab

5、過焦點f時等號成立。故m到橢圓右準線的最短距離為。點評：是橢圓的通徑長，是橢圓焦點弦長的最小值，是ab過焦點的充要條件。通過定義轉(zhuǎn)化避免各種煩瑣的運算過程。第三類：求角的最值問題例5：（05年浙江）如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點f1，f2在x軸上，長軸a1a2的長為4，左準線l與x軸的交點為m，|ma1|a1f1|21。 ()求橢圓的方程； of2f1a2a1pm()若直線l1：xm(|m|1)，p為l1上的動點，使f1pf2最大的點p記為q，求點q的坐標 (并用m表示) 。分析：本題考查解析幾何中角的最值問題常采用到角 （夾角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，結(jié)合 本題的實際，考慮用

6、夾角公式較為妥當。解：（）（過程略）（ii）設(shè)p(當時，當時, 只需求的最大值即可。直線的斜率，直線的斜率利用夾角公式得：當且僅當=時，最大，最大值為。點評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何將角的最值問題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的相關(guān)知識最值問題，一般可用到角（夾角）公式、余弦定理、向量夾角進行轉(zhuǎn)化為求分式函數(shù)的值域問題。第四類：求（三角形、四邊形等）面積的最值問題例6：（05年全國ii）、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值分析：本題是向量與解析幾何的結(jié)合，主要是如何選擇一個適當?shù)拿娣e計算公式達到簡化運算過程，并結(jié)合分類討論與求最值的思想。解：如圖，

7、由條件知mn和pq是橢圓的兩條弦，相交于焦點f(0,1)，且pqmn，直線pq、nm中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)pq的斜率為，又pq過點f(0,1)，故pq的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)p、q兩點的坐標分別為(，)，(，)，則 qpnmfo從而亦即(1)當0時，mn的斜率為，同上可得： 故所求四邊形的面積令=得=2 當=1時=2，s=且s是以為自變量的增函數(shù)。當=0時，mn為橢圓長軸，|mn|=2，|pq|=。s=|pq|mn|=2綜合知四邊形pmqn的最大值為2，最小值為。點評：對于此類最值問題關(guān)鍵是選擇一個適當或合理的面積公式轉(zhuǎn)化成常見函數(shù)反比例函數(shù)形式的最值問題。

8、第五類：求線段之和（或積）的最值問題破解策略之五：利用垂線段小于等于折線段之和。例7：若橢圓內(nèi)有一點，為右焦點，橢圓上的點使得的值最小，則點的坐標為 （ ） a b c d提示：聯(lián)系到將用第一定義轉(zhuǎn)化成點到相應(yīng)準線的距離問題，利用垂線段最短的思想容易得到正確答案。選。思考：將題中的2去掉會怎樣呢？破解策略之六：利用三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊例8：如圖，在直線上任意取一點，經(jīng)過點且以橢圓的焦點作橢圓，問當在何處時，所作橢圓的長軸最短，并求出最短長軸為多少？pmyolf1f2xn分析：要使所作橢圓的長軸最短，當然想到橢圓的定義。基本的解題思路如下：長軸最短三點一直線尋求對稱對稱變換。在一系列的變化過程中巧妙的運用對稱，使我們找到一種簡明的解題方法。通過此對稱性主要利用解：橢圓的兩焦點分別為（3，0）、（3,0），作關(guān)于直線的對稱點，則直線的方程為由方程組得的坐標（6，3），由中點坐標公式得的坐標（9,6）,所以直線的方程。解方程組得點坐標（5,4）。由于，點評：對于此類最值問題是將所求的最值轉(zhuǎn)化成三角形兩