江蘇省高三百校聯(lián)合調(diào)研測試（一）數(shù)學(xué)試題及答案

1、江蘇省2014屆高三百校聯(lián)合調(diào)研測試（一）數(shù)學(xué)試題本試卷分為第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分.選修測試歷史的而考生僅需做第i卷，共160分，考試用時120分鐘.選修測物理的考生需做第i卷和第ii卷，共200分考試用時150分鐘.第i卷（必做題 共160分）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.把答案填在題中橫線上。1已知集合,則 2復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實數(shù)的值為 3一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽

2、出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在2500，3000）（元）月收入段應(yīng)抽出 人read xif x0 then yx2else ylog2014xend ifprint y（第4題）4某算法的偽代碼如圖所示,若輸出y的值為1,則輸入的值為 5已知雙曲線的右焦點為，則該雙曲線的漸近線方程為_.6已知，則_.7.已知正三棱柱底面邊長是2，外接球的表面積是，則該三棱柱的側(cè)棱長 8. 在r上定義運算：abab2ab，則不等式x(x2)0的解集是 9投擲一枚正方體骰子(六個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6),向上的面上的數(shù)字記為,又表示集合的元素個數(shù),則的概率為 10函數(shù)的所有零點之和為 11如圖，是半徑為

3、1的圓的直徑，abc是邊長為1的正三角形，則的最大值為 12. 已知數(shù)列的首項，其前和為，且滿足若對任意的，恒成立，則的取值范圍是 13. 已知圓，點在直線上，若過點存在直線與圓交于、兩點，且點為的中點，則點橫坐標(biāo)的取值范圍是 14記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長，若，則的取值范圍是 二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. (本小題滿分14分)已知，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；eabcpf(2)在中，角，的對邊分別為，且，求角、的大小16(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐中，分別是，的中點求證：

4、（1）平面；（2）平面平面17. (本小題滿分14分)某音樂噴泉噴射的水珠呈拋物線形，它在每分鐘內(nèi)隨時間（秒）的變化規(guī)律大致可用（為時間參數(shù)，的單位：）來描述，其中地面可作為軸所在平面，泉眼為坐標(biāo)原點，垂直于地面的直線為軸。（1）試求此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；（2）若在一建筑物前計劃修建一個矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個這樣的噴泉，則如何設(shè)計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？18. (本小題滿分16分)如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程； （3）設(shè)點是橢圓上異于,

5、的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標(biāo)原點，求證：為定值 19. (本小題滿分16分)已知數(shù)列滿足下列條件：首項；當(dāng)時，；當(dāng)時，（i）當(dāng)，求首項之值；（ii）當(dāng)時，求；（iii）試證：正整數(shù)3必為數(shù)列中的某一項；20. (本小題滿分16分) 已知函數(shù)()，其圖像在處的切線方程為函數(shù)，()求實數(shù)、的值；（）以函數(shù)圖像上一點為圓心，2為半徑作圓，若圓上存在兩個不同的點到原點的距離為1，求的取值范圍；（）求最大的正整數(shù)，對于任意的，存在實數(shù)、滿足，使得第卷（附加題 共40分）21.【選做題】在a，b，c，d四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.a選

6、修41幾何證明選講如圖，已知o的半徑為1，mn是o的直徑，過m點作o的切線am，c是am的中點，an交o于b點，若四邊形bcon是平行四邊形.求am的長；解析：連接，則，因為四邊形是平行四邊形，所以，因為是o的切線，所以，可得，又因為是的中點，所以，得，故. b選修42矩陣與變換已知二階矩陣m有特征值及對應(yīng)的一個特征向量，并且矩陣m對應(yīng)的變換將點變換成，求矩陣m。解析：設(shè)矩陣，則由條件得，從而，又，從而，聯(lián)立，解之得,故c選修44參數(shù)方程與極坐標(biāo)已知曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）設(shè)直線與軸的交點是,是曲線上一動點,求的最大值.解析：曲線的直角坐標(biāo)方程為，故圓的圓心坐標(biāo)為(0,1

7、)，半徑直線l的直角坐標(biāo)方程, 令,得,即點的坐標(biāo)為(2,0). 從而,所以.即的最大值為。d選修45不等式證明選講已知，且，求的最小值解析：, , , ， 當(dāng)且僅當(dāng)，或時 的最小值是1. 22(本小題滿分10分)如圖，是直角梯形，90，1，2，又1，120，直線與直線所成的角為60.()求二面角的的余弦值；（）求點到面的距離.()在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）由題意有，設(shè)，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，平面的法向量取為設(shè)與所成的角為，則顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為5分（），設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，則點到平面的距

8、離10分23(本小題滿分10分)已知二項式的展開式中第2項為常數(shù)項，其中，且展開式按的降冪排列()求及的值()數(shù)列中，求證： 能被4整除數(shù)學(xué)試卷一參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)：1答案：,解析：，所以.2答案：4 解析：因原式=，故，3答案：25 解析：從頻率分布直方圖可知， 月收入從1000至4000的人數(shù)依次是1000、2000、2500、2500、1500、500，從而所求人數(shù)是。4答案：-1或2014解析：根據(jù)題意可知，當(dāng)時，由得當(dāng)時，由得，綜上所述，輸入的值為-1或2014。5答案： ，解析：由條件得，從而雙曲線方程為，故漸近線方程為。6答案： 解析：由條件得，從而7答案：解析該三棱柱外接球的表

9、面積是，該球的半徑r=2,又正三棱柱底面邊長是2，底面三角形的外接圓半徑，該三棱柱的側(cè)棱長是.8答案： 解析：由定義可知，原不等式可化為，解之得。9答案： 解析：由知,函數(shù)和的圖像有四個交點,所以的最小值, ,所以的取值是.又因為的取值可能是種,故概率是。10答案：8解析：設(shè)，則，原函數(shù)可化為，其中，因，故是奇函數(shù)，觀察函數(shù)與 在的圖象可知，共有4個不同的交點，故在時有8個不同的交點，其橫坐標(biāo)之和為0，即，從而11答案：解析：由圖可知，從而，記，則故當(dāng)時，的最大值為。12答案：解析：由條件得，兩式相減得，故，兩式再相減得，由得， ，從而；得，從而，由條件得，解之得13答案：解析：法一：數(shù)形結(jié)合

10、法：設(shè)，由題意可得，即，解之得法二：設(shè)點，則由條件得a點坐標(biāo)為，從而，整理得，化歸為，從而，于是由得。14答案：解析：顯然，又，當(dāng)時，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是（1，1）和，從而當(dāng)時，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是。15解：(1)，故， 3分，由，得：.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為 6分 (2)因為，所以 因為，所以所以 9分因為，所以. 12分因為，所以，. 14分16證明：在中，因為分別是的中點，所以， 3分又平面，平面，所以平面； 6分 因為，且點是的中點，所以； 9分又，所以， 12分因為平面，平面，平

11、面，所以平面平面. 14分17解析：（1）當(dāng)時， 3分因時，故，從而當(dāng)，即當(dāng)時，有最小值5，所以此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值是；7分（2）設(shè)花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界，依題意得：，（）問題轉(zhuǎn)化為在，的條件下，求的最大值。10分法一：，由和及得： 13分法二：，=當(dāng)，即，由可解得：。 13分答：花壇的長為，寬為，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，符合要求。 14分18.：（1）依題意，得，；故橢圓的方程為 3分（2）點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)， 不妨設(shè)由于點在橢圓上，所以 （*） 由已知，則， 7分由于，故當(dāng)時，取得最小值為由

12、（*）式，故，又點在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 9分(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：，令，得， 11分同理：， 故 （*） 13分又點與點在橢圓上，故，代入（*）式，得： 所以為定值 16分解析：（1）依題意，得，；故橢圓的方程為 3分（2）點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)， 不妨設(shè)由于點在橢圓上，所以 （*） 由已知，則， 7分由于，故當(dāng)時，取得最小值為由（*）式，故，又點在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 9分(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：，令，得， 11分同理：， 故 （*） 13分又點與點在橢圓上，故，代入（*）式，得： 所以為定值 16分解析：（i）當(dāng)時，則，此時，若

13、，則；若，則或8，綜上所述，之值為6或8或27。 4分（ii）當(dāng)時，以下出現(xiàn)周期為3的數(shù)列，從而； 8分（iii）由條件知：若，則，； 若，則，； 若，則，； 13分綜上所述，從而，故當(dāng)時，必有，因，故，所以數(shù)列中必存在某一項（否則會與上述結(jié)論矛盾！）若,則；若,則,若,則,綜上所述，正整數(shù)3必為數(shù)列中的某一項。 16分19.解析：（i）當(dāng)時，則，此時，若，則；若，則或8，綜上所述，之值為6或8或27。 4分（ii）當(dāng)時，以下出現(xiàn)周期為3的數(shù)列，從而； 8分（iii）由條件知：若，則，； 若，則，； 若，則，； 13分綜上所述，從而，故當(dāng)時，必有，因，故，所以數(shù)列中必存在某一項（否則會與上述結(jié)

14、論矛盾?。┤?則；若,則,若,則,綜上所述，正整數(shù)3必為數(shù)列中的某一項。 16分20解: () 當(dāng)時，故，解得3分（）問題即為圓與以為圓心1為半徑的圓有兩個交點，即兩圓相交設(shè)，則，即，必定有解； 6分，故有解，須，又，從而 8分（）顯然在區(qū)間上為減函數(shù)，于是，若，則對任意，有當(dāng)時，令，則令，則，故在上為增函數(shù)，又，因此存在唯一正實數(shù)，使故當(dāng)時，為減函數(shù)；當(dāng)時，為增函數(shù)，因此在有最小值，又，化簡得， 13分下面證明：當(dāng)時，對，有當(dāng)時，令，則，故在上為減函數(shù)，于是同時，當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)的圖像可知，對任意的正數(shù)，存在實數(shù)、滿足，使得綜上所述，正整數(shù)的最大值為3 16分 21. a選修41幾何證明選講解析：連接，則，因為四邊形是平行四邊形，所以，因為是o的切線，所以，可得，又因為是的中點，所以，得，故. b選修42矩陣與變換解析：設(shè)矩陣，則由條件得，從而，又，從而，聯(lián)立，解之得,故c選修44參數(shù)方程與極坐標(biāo)解析：曲線的直角坐標(biāo)方程為，故圓的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑直線l的直角坐標(biāo)方程, 令,得,即點的坐標(biāo)為(2,0). 從而,所以.即的最大值為。d選修45不等式證明選講解析：, , , ， 當(dāng)且僅當(dāng)，或時 的最小值是1. 22()在平