[數(shù)學(xué)]初中升高中數(shù)學(xué)銜接 初升高

1、初中升高中數(shù)學(xué)銜接 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（本題8小題，每小題3分，共24分）1若，則的值為（）（a）（b）（c）（d）2若實數(shù)a，b滿足 ，則a的取值范圍是（）（a）a（b）a4（c）a或a4（d）a4 3在一次環(huán)保知識問答中，一組學(xué)生成績統(tǒng)計如下：分數(shù)5060708090100人數(shù)14915165則該組學(xué)生成績的中位數(shù)是a70 b. 75c. 80 d. 854. 如圖1，在等腰梯形abcd中，ac、bd相交于點o，以下四個結(jié)論： ，oa=od ，s=s，其中正確的是a. b. c. d.5. 函數(shù)的圖象如圖2所示，則當y0時，的取值范圍是a. 2b

2、. 2c. 1d. 16已知a1，則2a37a22a12的值等于（）7圖3是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形a、b、c、d的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形e的面積是a、13 b、26 c、47 d、94 8. 跟我學(xué)剪五角星：如圖4，先將一張長方形紙片按圖的虛線對折，得到圖，然后將圖沿虛線折疊得到圖，再將圖沿虛線bc剪下abc，展開即可得到一個五角星.若想得到一個正五角星（如圖，正五角星的5個角都是36），則在圖中應(yīng)沿什么角度剪？即abc的度數(shù)為二、認真填一填（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）請將答案直接寫在題中橫線上9如圖，四

3、邊形中，分別是邊的中點請你添加一個條件，使四邊形為菱形，應(yīng)添加的條件是 adhgcfbe（第9題圖） 10根據(jù)下面的運算程序，若輸入時，輸出的結(jié)果 輸入輸出（第10題圖）11某商場為了解本商場的服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了本商場的200名顧客，調(diào)查的結(jié)果如圖所示根據(jù)圖中給出的信息，這200名顧客中對該商場的服務(wù)質(zhì)量表示不滿意的有 （）人acdb48%9%36%a：滿意b：基本滿意c：說不清d：不滿意（第11題圖）12如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點a，b.已知點a的坐標為（1，4），點b在第三象限內(nèi)，且aob的面積為3（o為坐標原點）.（1）求實數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點a作直線acx軸

4、，交拋物線于另一點c，求所有滿足eocaob的點e的坐標 初升高數(shù)學(xué)銜接班學(xué)法指導(dǎo) 一、學(xué)習目標：1、認識初高中數(shù)學(xué)學(xué)習的特點和差異2、了解高中數(shù)學(xué)的考法3、了解高中數(shù)學(xué)的學(xué)習策略和學(xué)習方法 二、學(xué)習重點：1、初高中數(shù)學(xué)知識差異與學(xué)法差異2、針對高中數(shù)學(xué)的特點與考法，培養(yǎng)適合高中數(shù)學(xué)的學(xué)習方法、養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣。 三、重點講解：高中數(shù)學(xué)的特點是：注重抽象思維，內(nèi)容龐雜、知識難度大。高中教材不再像初中教材那樣貼近生活，生動形象，知識容量也更為緊密?？陀^的說，初高中知識之間存在斷層，正是由于這種斷層造成很多同學(xué)難以在較短時間內(nèi)適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習。那么，如何做好初高中數(shù)學(xué)學(xué)習的銜接過渡，使得同學(xué)們

5、對高中數(shù)學(xué)學(xué)習有一個正確的認識，并迅速適應(yīng)新的教學(xué)模式呢？下面我們就一起探討如何應(yīng)對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習。 （一）高中數(shù)學(xué)教材分析高中數(shù)學(xué)課程分為必修和選修。必修課程由5個模塊（5本書）構(gòu)成；選修課程有4個系列，其中系列1、系列2由若干模塊構(gòu)成（系列1兩本書、系列2三本書），系列3、系列4由若干專題組成。內(nèi)容涉及初等函數(shù)、數(shù)列、概率與統(tǒng)計、算法、平面解析幾何、立體幾何等等。進入高中，我們首先學(xué)習的是必修1模塊，我們應(yīng)先對這一模塊有一個大體的了解。必修1模塊由兩章構(gòu)成，分別是：第一章：集合第二章：函數(shù)如何理解集合呢？集合是一種數(shù)學(xué)語言，我們要能夠使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，提高我們運用數(shù)學(xué)

6、語言進行交流的能力。在初中學(xué)習函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們還要進一步學(xué)習函數(shù)，只不過高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，在初中一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們還將學(xué)習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這些新的函數(shù)類型，而函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)的始終。 （二）高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點的變化1、數(shù)學(xué)語言在抽象程度上的突變。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高中數(shù)學(xué)一開始即在初中學(xué)習的“函數(shù)”的基礎(chǔ)上觸及抽象的“集合語言”。例如：初中是這樣定義函數(shù)的：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，都有惟一的值y與它對應(yīng)，那么就說自變量

7、x是y的函數(shù)。那么，y=1是函數(shù)嗎？我們需要進一步深化函數(shù)的概念。在高中是用集合的語言來定義函數(shù)的：設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)x，在集合b中都有惟一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：ab為從集合a到集合b的一個函數(shù)。記作：y=f（x），xa可以得到y(tǒng)=1是函數(shù)的結(jié)論。集合作為數(shù)學(xué)的基本語言可以簡潔地表示數(shù)學(xué)對象，對剛步入高中的同學(xué)來說，也是抽象的。而后續(xù)的幾何部分也削弱了直觀性而突出了抽象性和空間的想象能力。這就是說，思維要從初中的直觀、經(jīng)驗型向抽象、理論型過渡。2、思維方法向理性層次躍遷。高一的同學(xué)產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習障礙的一個原因是高中數(shù)學(xué)的

8、思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么，即使是解答思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等分別確定了各自的思維套路。因此，同學(xué)們在初中學(xué)習中習慣于這種機械的、便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上發(fā)生了很大的變化，同學(xué)們一定要能從經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。3、知識內(nèi)容劇增初中數(shù)學(xué)知識少、淺、難度低、知識面窄。高中數(shù)學(xué)知識廣泛，將對初中的數(shù)學(xué)知識進行推廣和引申，也是對初中數(shù)學(xué)知識的完善。如：初中學(xué)習的角的概念只是“0180”范圍內(nèi)的，但實際當中也有720和“360

9、等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負在內(nèi)的所有大小的角。又如：高中要學(xué)習立體幾何，將在三維空間中求一些幾何實體的體積和表面積；還將學(xué)習“排列組合”知識，以便解決排隊方法種數(shù)等問題。如：三個人排成一行，有幾種排隊方法？（答：6種）；四人進行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次？（答：3種），高中將學(xué)習統(tǒng)計這些排列方式的數(shù)學(xué)方法。初中的學(xué)習中對一個負數(shù)開平方無意義，但在高中規(guī)定了于是令1的平方根為i，這樣即可把數(shù)的概念進行推廣，使數(shù)的概念擴大到復(fù)數(shù)范圍等。這些知識同學(xué)們在今后的學(xué)習中將逐漸接觸到。4、綜合性增強，學(xué)科間知識相互滲透，相互為用，加深了學(xué)習的難度。比如這樣一個實際問題：

10、把一個物體放在天平的一個盤子上，在另一個盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質(zhì)量為a，如果天平制造得不夠精確，天平的兩臂長短略有不同（其他因素不計），那么a并非物體的實際質(zhì)量。不過我們可以做第二次測量：把物體調(diào)換到另外一個盤子上，此時稱得的物體的質(zhì)量為b，如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？要解決這個問題我們需要用到物理中力學(xué)的知識，且我們還可以從中得出一個重要的數(shù)學(xué)不等式。5、系統(tǒng)性增強。由于高中教材的理論性增強，常以某些基礎(chǔ)理論為綱，根據(jù)一定的邏輯，把基本的概念、基本原理、基本方法聯(lián)結(jié)在一起，構(gòu)成一個完整的知識體系。前后知識的關(guān)聯(lián)是其中一個表現(xiàn)。另外，知識結(jié)構(gòu)的形成是另一個表現(xiàn)，因此高中教材知識的結(jié)

11、構(gòu)化明顯升級。如函數(shù)，初中只簡單地介紹一次、二次、反比例、正比例函數(shù)，對函數(shù)的性質(zhì)很少研究，而高中的函數(shù)是一個大的知識體系。函數(shù)的定義域、值域、解析式、性質(zhì)等是一個小系統(tǒng)；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二次函數(shù)也是一個小系統(tǒng)；函數(shù)圖象也是一個小系統(tǒng)等等。這些小知識體系相互滲透、聯(lián)系構(gòu)成函數(shù)大體系。再比如小學(xué)里就有根據(jù)規(guī)律填數(shù)，如2，4，6，（ ），10，而數(shù)列的理論體系到高中才建立起來。6、能力要求更高高中課程目標明確地提出要提高學(xué)生的五種基本能力，即空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理能力。平時要注重對這些能力的培養(yǎng)。比如空間想象能力是對空間形式進行觀察、分析、抽象的能力.主要表

12、現(xiàn)為識圖、畫圖和對圖形的想象能力。同學(xué)們在初中學(xué)習過三視圖，可以畫出簡單空間圖形的三視圖，到高中，我們會具體給出三視圖的定義，而且會考查由三視圖如何還原出實際物體。 例1：下面是一個組合圖形的三視圖，請描述物體形狀如果給出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，同學(xué)們是否能夠求出它的體積呢？這道題考查的就是同學(xué)們的空間想象能力。 例2：三角數(shù)陣中的歸納推理根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n（n3）行從左至右的第3個數(shù)是 。這道題考查的就是同學(xué)們的歸納推理能力。當然，對于一個實際問題，同學(xué)們是否能夠建立恰當?shù)臄?shù)學(xué)模型來處理問題，這又對大家的能力提出了更高的要求。 （三）高中數(shù)學(xué)考試的特點高考中主要考查什么呢？考綱要求：數(shù)學(xué)學(xué)科的

13、考試，按“考查知識的同時，注重考查能力”的原則，將知識、能力和素養(yǎng)融為一體，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。拿江蘇高考卷來說，文科數(shù)學(xué)滿分為160分，理科數(shù)學(xué)滿分為200分，其中數(shù)學(xué)選修部分占40分。初中數(shù)學(xué)的考試方法，基本上是學(xué)什么考什么。高中數(shù)學(xué)考試卻有許多截然不同之處?？荚囶}多半是生疏的題目，是不能依賴模仿加以解決的問題。同學(xué)們在做題中最感困難的是沒有思路。分析不出所要解答的題目的問題結(jié)構(gòu)。仿佛感到什么方法都學(xué)過，就是分不清什么時候該用哪一個?？磥恚醺咧袛?shù)學(xué)考試的主要區(qū)別是高中考的是同學(xué)們解決問題的能力。 （四）學(xué)好高中數(shù)學(xué)的應(yīng)對策略和學(xué)習方法我們了解了高中數(shù)學(xué)的特點以及考試的特點之后，現(xiàn)在就

14、根據(jù)其特點尋找相應(yīng)的學(xué)法。1、充分發(fā)揮“老師”的作用。有一些同學(xué)在初中學(xué)習不規(guī)范，憑借聰明的頭腦，在初三的中考突擊中也能取得較理想的成績。這部分同學(xué)上高中后，學(xué)習上仍比較放松，以為采取同樣的方法仍可以考上理想的大學(xué)。但是，現(xiàn)實告訴我們，這種投機取巧的方式到高中是根本行不通的。中考的題目不太具有明顯的選拔性，中考只是局部的學(xué)生競爭，同學(xué)們考上高中都相對容易，但高考則不同，目前我們國家還不可能普及高等教育，高等教育可說還屬于一種精英教育，只能選拔一些成績好的同學(xué)去讀大學(xué)，因此高考的題目往往具有很強的選拔性，競爭非常激烈。從課程本質(zhì)上說，高中內(nèi)容體系性雖強，但是在編寫時是通過“模塊”的形式把這些比較

15、系統(tǒng)的內(nèi)容分散開來編寫的，如果沒有老師的引領(lǐng)，同學(xué)們在學(xué)習時會覺得內(nèi)容繁雜、無序，不容易形成知識結(jié)構(gòu)和“思維鏈”，無法形成對知識“一覽眾山小”的把握，并不利于對知識的學(xué)習。而且，前面也說了，高中數(shù)學(xué)蘊含著很多的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)解題方法，這些抽象的思想與靈活方法的運用，同學(xué)們僅憑讀課本是無法感知的，而老師上課時一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重、難點，突出思想方法，只有在老師的帶領(lǐng)下同學(xué)們才能更好地認識高中數(shù)學(xué)，認清結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，利用好老師的角色將對我們的學(xué)習起到事半功倍的效果。2、抓住數(shù)學(xué)的靈魂數(shù)學(xué)思想。所謂數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認識，是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題的進一

16、步抽象和概括，屬于對數(shù)學(xué)規(guī)律性的認識范疇。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決，并具體體現(xiàn)在解決問題的不同方法中。常用的數(shù)學(xué)思想有：方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。無論是初中數(shù)學(xué)還是高中數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)思想都是數(shù)學(xué)的靈魂，它們之間是可以銜接的。例1：某農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機，其中甲型機20臺，乙型機30臺?，F(xiàn)將這50臺聯(lián)合收割機派往a、b兩地區(qū)收割小麥，其中30臺派往a地區(qū)，20臺派往b地區(qū)。兩地區(qū)與該農(nóng)機租賃公司商定的每天的租賃價格見下表： 每臺甲型收割機的租金每臺乙型收割機的租金a地區(qū)1800元1600元b地區(qū)1600元1200元

17、（1）設(shè)派往a地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計出來；（3）如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高，請你為該農(nóng)機租賃公司提出一條合理建議解：（1）若派往a地區(qū)的乙型聯(lián)合收割機為x臺，則派往a地區(qū)的甲型聯(lián)合收割機為（30x）臺；派往b地區(qū)的乙型收割機為（30x）臺，派往b地區(qū)的甲型收割機為（x10）臺。 y1600x1800（30x）1200（30x）1600（x10）200x74000。

18、x的取值范圍是：10x30（x是正整數(shù)）。（2）由題意得200x7400079600，解不等式得x28.由于10x30，x取28，29，30這三個值，故有3種不同的分配方案。當x28時，即派往a地區(qū)甲型收割機2臺，乙型收割機28臺；派往b地區(qū)甲型收割機18臺，乙型收割機2臺。當x29時，即派往a地區(qū)甲型收割機1臺，乙型收割機29臺；派往b地區(qū)甲型收割機19臺，乙型收割機1臺。當x30時，即30臺乙型收割機全部派往a地區(qū)；20臺甲型收割機全部派往b地區(qū)。（3）由于一次函數(shù)y200x74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以，當x30時，y取得最大值。如果要使該農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機每天

19、獲得租金最高，只需x30，此時，y60007400080000。建議該農(nóng)機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往a地區(qū)；20臺甲型收割機全部派往b地區(qū)，可使該農(nóng)機租賃公司獲得的租金最高。這里面透露出的就是函數(shù)的思想，而在高中，函數(shù)的思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想。 例2：實數(shù)k為何值時，方程kx2+2|x|+k=0有實數(shù)解？運用函數(shù)的思想就可以解決這個問題。3、夯實基礎(chǔ)知識和基本技能，掌握適度的知識外延。要學(xué)習好高中數(shù)學(xué)，必須準確理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性質(zhì)，抓住這些基本知識的要點和適用范圍，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，否則一切都無從談起，從目前的高考來看，也很側(cè)重對這些知識的考查，特別是一些簡答

20、題，如對某些基本概念不能準確理解就很難正確作答。夯實基礎(chǔ)知識和基本技能是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要基礎(chǔ)，但僅有這些還不夠，要想在有限的時間內(nèi)準確快速地解答完考題，必須具備一定的知識外延，需要在平時的聽課和練習中注意加強對一些重要結(jié)論的記憶，擴大自己的知識面，豐富自己的知識積累。4、做題之后加強反思同學(xué)們一定要明確，現(xiàn)在正做著的題，絕不會是考試的題目。在考試中我們需要運用平時做題目時的解題思路與方法。因此，要把自己做過的每道題加以反思，總結(jié)一下自己的收獲。要總結(jié)出：這是一道什么內(nèi)容的題，用的是什么方法。日久天長，構(gòu)建起一個內(nèi)容與方法的科學(xué)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。反思是學(xué)習過程中很重要的一個環(huán)節(jié)。5、主動復(fù)習，總結(jié)提高進

21、行章節(jié)總結(jié)是非常重要的。初中時是老師替學(xué)生做總結(jié)，做得細致，深刻，完整。高中是自己給自己做總結(jié)，老師不但不給做，而且是講到哪，考到哪，不留復(fù)習時間，也不會明確指出做總結(jié)的時間。那么，怎樣進行章節(jié)復(fù)習呢？（1）把本章節(jié)的內(nèi)容一分為二，一部分是基礎(chǔ)知識，一部分是典型問題。要把對技能的要求，列進這兩部分的其中一部分中，不要遺漏。（2）把各種重要的，典型的問題記錄在冊。6、養(yǎng)成良好的解題習慣，提高自己的思維能力。能力是在不同的數(shù)學(xué)學(xué)習環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平日的學(xué)習中要注意開發(fā)不同的學(xué)習場所，參與一切有益的學(xué)習實踐活動，如數(shù)學(xué)第二課堂、數(shù)學(xué)競賽、智力競賽等活動。平時注意觀察，比如：空間想象能力是通過實例

22、凈化思維，把空間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其他能力的培養(yǎng)也都需要在學(xué)習、理解、訓(xùn)練、應(yīng)用中得到發(fā)展。 （五）給“高一”新同學(xué)的建議1、改掉“依賴”的習慣許多同學(xué)進入高中后，還像在初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習的主動權(quán)。表現(xiàn)在不訂計劃，坐等上課，對老師課上要講的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”，不會鞏固所學(xué)的知識。主動性不好是同學(xué)中普遍存在的問題。高中僅做聽話的孩子是不夠的，只知做作業(yè)也是絕對不夠的；高中老師講的話也不少，但是誰該干些什么，老師并不一一具體指明。因此，高中新生必須提高學(xué)習的自主性。準備向?qū)淼拇髮W(xué)生的學(xué)習方法過渡。2、

23、運算一定要過關(guān)學(xué)習數(shù)學(xué)離不開運算，初中老師往往一步一步在黑板上演算。到了高中，因時間有限，運算量大，老師常把計算過程留給同學(xué)們，這就要求同學(xué)們多動腦，勤動手，不僅要能筆算，而且還要能口算，心算和估算，對復(fù)雜運算，要有耐心，掌握算理，注重簡便方法。許多學(xué)生由于運算能力低，致使數(shù)學(xué)成績難以提高，但他們總歸咎于“粗心”，思想上仍不重視。我們在高一時就要重視對自己運算能力的培養(yǎng)。3、題目貴“精”，不貴“多”有的同學(xué)認為，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，只要多做題，功到自然成。其實不然。一般說做的題太少，很多熟能生巧的問題就會無從談起。因此，應(yīng)該適當?shù)囟嘧鲱}。但是，只顧鉆入題海，堆積題目，在考試中一般也是難有作為的。做題

24、的效率要高。做題的目的在于檢查你所學(xué)的知識、方法是否已掌握好。如果你掌握得不準，甚至有偏差，那么多做題的結(jié)果，反而鞏固了你的缺欠，因此，要在準確地把握住基本知識和方法的基礎(chǔ)上做一定量的練習。高中數(shù)學(xué)學(xué)習是初中數(shù)學(xué)學(xué)習的拓展和深化。為了幫助同學(xué)們順利地從初中數(shù)學(xué)過渡到高中數(shù)學(xué)的學(xué)習，老師將在后續(xù)課程中對高中數(shù)學(xué)部分將要用到的一些初中數(shù)學(xué)知識進行深化和補充，并在此基礎(chǔ)上為同學(xué)們揭開高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的帷幕。 【同步練習】（答題時間：45分鐘）1.關(guān)于x的方程x2+kx+k29=0只有一個正根，那么k的值是（ ）a.k3或3 b. k=3c. k3或k3 d.3k37.今有a、b、c、d四人在晚上都要

25、從橋的左邊到右邊去。此橋一次最多只能走兩人，而且只有一支手電筒，過橋是一定要用手電筒的。四人過橋最快所需時間如下：a 2分鐘；b 3分鐘；c 8分鐘；d 10分鐘。走得快的人要等走得慢的人，請問如何的走法才能在21分鐘內(nèi)讓所有的人都過橋?8. 125 4 3 = 2000這個式子顯然不等，可是如果算式中巧妙地插入兩個數(shù)字“7”，這個等式便可以成立，你知道這兩個7應(yīng)該插在哪嗎？ 9.牛頓的名著一般算術(shù)中，還編有一道很有名的題目，即牛在牧場上吃草的題目，以后人們就把這種應(yīng)用題叫做牛頓問題。 “有一片牧場的草，如果放牧27頭牛，則6個星期可以把草吃光；如果放牧23頭牛，則9個星期可以把草吃光；如果放

26、牧21頭牛，問幾個星期可以把草吃光？”*10.春夏 秋冬 =夏秋春冬，春冬 秋夏春夏秋冬，式中春、夏、秋、冬各代表四個不同的數(shù)字，你能指出它們各代表什么數(shù)字嗎？ *11. 著名物理學(xué)家愛因斯坦編的問題：在你面前有一條長長的階梯。如果你每步跨2階，那么最后剩1階；如果你每步跨3階，那么最后剩2階；如果你每步跨5階，那么最后剩4階；如果你每步跨6階，那么最后剩5階；只有當你每步跨7階時，最后才正好走完，一階也不剩。請你算一算，這條階梯到底有多少階？牧場上原有的草量是162156=72，或207159= 72。前面已假定每頭牛每星期的吃草量為1，而每星期新長的草量為15，因此新長出的草可供15頭牛吃

27、。今要放牧21頭牛，還余下215=6頭牛要吃牧場上原有的草，這牧場上原有的草量夠6頭牛吃幾個星期，就是21頭牛吃完牧場上草的時間。726=12（星期）。也就是說，放牧21頭牛，12個星期可以把牧場上的草吃光。10.解：春夏秋冬=夏秋春冬，春冬秋夏=春夏秋冬 秋夏春夏秋冬 冬夏 且積千位春 春夏 當夏1時，根據(jù)九九表和 冬夏知：冬=5，夏=3若春6，由春3秋53秋春54000可知 秋7。 春5秋3春000無解 若春6春5且春夏3所以 春4 45秋343秋5無解 所以 夏1因為 春冬秋1春1秋冬， 所以秋5春1秋冬=1秋春冬， 春3，當春=3時，秋=6，3冬61=316冬 無解。因為 春夏，且3，

28、所以 春=22冬秋1=21秋冬，21秋冬=1秋2冬； 秋=9時無解，秋=8時，冬=711.解：分析能力較強的同學(xué)可以看出，所求的階梯數(shù)應(yīng)比2、3、5、6的公倍數(shù)（即30的倍數(shù)）小1，并且是7的倍數(shù)。因此只需從29、59、89、119、中找7的倍數(shù)就可以了。很快可以得到答案為119階。第一講 數(shù)與式的運算在初中，我們已學(xué)習了實數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式代數(shù)式中有整式（多項式、單項式）、分式、根式它們具有實數(shù)的屬性，可以進行運算在多項式的乘法運算中，我們學(xué)習了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項式的運算簡便由于在高中學(xué)習中

29、還會遇到更復(fù)雜的多項式乘法運算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補充三個數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的運算中，我們已學(xué)過被開方數(shù)是實數(shù)的根式運算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習中，經(jīng)常會接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中要補充基于同樣的原因，還要補充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容一、乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計算：解：原式=說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列【公式2】(立方和公式)證明: 說明:請同學(xué)用文字語言表述公式2.【例2】計算：解：原式=我們得到：【公式3】(立方差公式)請同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘

30、法公式【例3】計算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=說明：（1）在進行代數(shù)式的乘法、除法運算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu) （2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、20的平方數(shù)和1、2、3、4、10的立方數(shù)，是非常有好處的【例4】已知，求的值解： 原式=說明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計算較煩瑣本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算，簡化了計算請注意整體代換法本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉【例5】已知，求的值解：原式= ，把代入得原式=說明：注意字母的

31、整體代換技巧的應(yīng)用引申：同學(xué)可以探求并證明： 二、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) (2) (3) (4) 【例6】化簡下列各式：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式=說明：請注意性質(zhì)的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論【例7】計算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：(1) (2) (3) 解：(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=說明：(1)二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式(2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種：被開方數(shù)是整數(shù)或整式化簡時，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得

32、盡方的因數(shù)或因式開出來；分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如)這時可將其化為形式(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進行化簡(如化為，其中與叫做互為有理化因式)【例8】計算：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式= 說明：有理數(shù)的的運算法則都適用于加法、乘法的運算律以及多項式的乘法公式、分式二次根式的運算【例9】設(shè)，求的值解：原式=說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復(fù)雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量三、分式當分式的分子、分母中至少有一

33、個是分式時，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)【例10】化簡解法一：原式=解法一：原式=說明：解法一的運算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進行化簡一般根據(jù)題目特點綜合使用兩種方法【例11】化簡解：原式=說明：(1) 分式的乘除運算一般化為乘法進行，當分子、分母為多項式時，應(yīng)先因式分解再進行約分化簡；(2) 分式的計算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式練 習 a 組1二次根式成立的條件是()abcd是任意實數(shù)2若，則的值是()abcd3計算：(1) (2) (3) (4) 4化簡(下列的取值范圍均使

34、根式有意義)：(1) (2) (3) (4) 5化簡：(1) (2) b 組1若，則的值為()：abcd2計算：(1) (2) 3設(shè)，求代數(shù)式的值4當，求的值5設(shè)、為實數(shù)，且，求的值6已知，求代數(shù)式的值7設(shè)，求的值8展開9計算10計算11化簡或計算：(1) (2) (3) (4) 第一講 習題答案a組1 c 2 a3 (1) (2) (3) (4) 45b組1 d 2 3 456 3 7891011第二講 因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因

35、式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等一、公式法(立方和、立方差公式)在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式) (立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：這就是說，兩個數(shù)的立方和(差)，等于這兩個數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中解：(1) (2) 說明：(1) 在運用立方和(差)公式分解

36、因式時，經(jīng)常要逆用冪的運算法則，如，這里逆用了法則；(2) 在運用立方和(差)公式分解因式時，一定要看準因式中各項的符號【例2】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進一步分解；(2) 中提取公因式后，括號內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或解：(1) (2) 二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組1分組后能提取公因式【例3】把分解因式分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的

37、項按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時另一個因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式解：說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組，同學(xué)不妨一試【例4】把分解因式分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式解：說明：由例3、例4可以看出，分組時運用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運用了分配律由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用2分組后能直接運用公式【例5】把分解因式分析：把第一、二項為一組，這兩項雖然沒有公因式，但可以運用平方差公

38、式分解因式，其中一個因式是；把第三、四項作為另一組，在提出公因式后，另一個因式也是.解：【例6】把分解因式分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式解：說明：從例5、例6可以看出：如果一個多項式的項分組后，各組都能直接運用公式或提取公因式進行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運用公式或有公因式，那么這個多項式就可以分組分解法來分解因式三、十字相乘法1型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：(1) 二次項系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)之積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和因此，運用這個公式，可以把某些二次

39、項系數(shù)為1的二次三項式分解因式【例7】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項為正數(shù)時，應(yīng)分解為兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同【例8】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項為負數(shù)時，應(yīng)分解為兩個異號的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)的符號相同【例9】把下列各式因式分解：(1) (2) 分析：(1) 把看成的二次三項式，這時常數(shù)項是，一次項系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項系數(shù) (2) 由換元思想，只要把整體看作一個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式解：(1) (2) 2一般二次

40、三項式型的因式分解大家知道，反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解【例10】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要當二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負數(shù)，用減法

41、”湊”，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負號四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公式分解當然，本題還有其它方法，請大家試驗2拆、添項法【例12】分解因式分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運用公式，分組也不易進行細查式中無一次項，如果它能分解成幾個因式的積，那么進行乘法運算時，必是把一次項系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項或拆項解決解： 說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數(shù)對應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件

42、本題還可以將拆成，將多項式分成兩組和一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進行：(1) 如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；(4) 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止練 習a 組1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) 3把下列各式分解因式：(1) (2) (3)(4) (5) (6) 4把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5

43、) (6) (7) (8) 5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) b 組1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2已知，求代數(shù)式的值3證明：當為大于2的整數(shù)時，能被120整除4已知，求證：第二講 因式分解答案a組1234 5b組1 234第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方

44、程，用配方法將其變形為：(1) 當時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根：(2) 當時，右端是零因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：(3) 當時，右端是負數(shù)因此，方程沒有實數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)：(1) (2) (3) 解：(1) ， 原方程有兩個不相等的實數(shù)根(2) 原方程可化為： ， 原方程有兩個相等的實數(shù)根(3) 原方程可化為： ， 原方程沒有實數(shù)根說明：在求判斷式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：

45、(1) 方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 方程有兩個相等的實數(shù)根(3)方程有實數(shù)根；(4) 方程無實數(shù)根解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【例3】已知實數(shù)、滿足，試求、的值解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個根為：所以：，定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”上述定理成立的前提是【例4】若是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 分析：本題

46、若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復(fù)雜的計算這里，可以利用韋達定理來解答解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達定理體現(xiàn)了整體思想【例5】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實根的積為5；(2) 方程的兩實根滿足分析：(1) 由韋達定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論解：(1) 方程兩實根的積為5 所以，當時，方程兩實根的積為5(2) 由得知：當時，所以方程有兩相等實數(shù)根，故；當時，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時，方程的兩實根滿足說明：根

47、據(jù)一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足【例6】已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根(1) 是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值解：(1) 假設(shè)存在實數(shù)，使成立 一元二次方程的兩個實數(shù)根 ， 又是一元二次方程的兩個實數(shù)根 ，但 不存在實數(shù)，使成立 (2) 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值為說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 (2) 本題綜合性較強，要學(xué)會對為整數(shù)的分析方法練 習a

48、組1一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是()abcd2若是方程的兩個根，則的值為()abcd3已知菱形abcd的邊長為5，兩條對角線交于o點，且oa、ob的長分別是關(guān)于的方程的根，則等于()abcd4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()abcd大小關(guān)系不能確定5若實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為()abcd6如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 _ 8若方程的兩根之差為1，則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實根，是關(guān)于的方程的兩實根，則= _ ，= _ 10已知實數(shù)滿足，則= _ ，= _

49、，= _ 11對于二次三項式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實數(shù)，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？請您說明理由12若，關(guān)于的方程有兩個相等的的正實數(shù)根，求的值13已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值14已知關(guān)于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長(1) 取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？(2) 當矩形的對角線長是時，求的值b 組1已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實數(shù)，使方程的兩實根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由2已知關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根的平方和等于

50、11求證：關(guān)于的方程有實數(shù)根3若是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，且都大于1(1) 求實數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習題答案a組1 b2 a3a4a5a67 38 9或91011正確1241314b組1(2) 不存在2(1)當時，方程為，有實根；(2) 當時，也有實根3(1) ；(2) 第四講 不 等 式初中階段已經(jīng)學(xué)習了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法高中階段將進一步學(xué)習一元二次不等式和分式不等式等知識本講先介紹一些高中新課標中關(guān)于不等式的必備知識一、一元二次不等式及其解法 1形如的不等式稱為關(guān)于的一元二次不等式【例1】解不等式分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號法則 - 正正(負負)得正、正負得負”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次