北大附中高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)不等式（上）

1、學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：不等式(上)【考點(diǎn)梳理】一、考試內(nèi)容不等式，不等式的性質(zhì)，不等式的證明，不等式的解法，含有絕對(duì)值的不等式。二、考試要求1.掌握不等式的性質(zhì)及其證明，掌握證明不等式的幾種常用方法，掌握兩個(gè)和三個(gè)（不要求四個(gè)和四個(gè)以上）“正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這兩個(gè)定理，并能運(yùn)用上述性質(zhì)、定理和方法解決一些問(wèn)題。2.在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）的解法的基礎(chǔ)上初步掌握其他的一些簡(jiǎn)單的不等式的解法。3.會(huì)用不等式|a|b|a+b|a|+|b|。三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析1.不等式知識(shí)相互關(guān)系表2.不等式的性質(zhì)（1）作用地位不等式性質(zhì)是不等式理論的基本內(nèi)容，在證明不等式、

2、解不等式中都有廣泛的應(yīng)用。高考中，有時(shí)直接考查不等式的性質(zhì)，有時(shí)間接考查性質(zhì)（如在證明不等式、解不等式中就間接考查了掌握不等式性質(zhì)的程度）。準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)、運(yùn)用基本性質(zhì)，并能舉出適當(dāng)反例，能辨別真假命題是學(xué)好不等式的要點(diǎn)。（2）基本性質(zhì)實(shí)數(shù)大小比較的原理與實(shí)數(shù)乘法的符號(hào)法則是不等式性質(zhì)的依據(jù)。在不等式性質(zhì)中，最基本的是：abbb,bcac（傳遞性）aba+cb+c（數(shù)加）（ab,c=0ac=bc）與等式相比，主要區(qū)別在數(shù)乘這一性質(zhì)上，對(duì)于等式a=bac=bc，不論c是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，都成立，而對(duì)于不等式ab，兩邊同乘以c之后，ac與bc的大小關(guān)系就需對(duì)c加以討論確定。這關(guān)系即使記得很清楚，但在解

3、題時(shí)最容易犯的毛病就是錯(cuò)用這一性質(zhì)，尤其是需討論參數(shù)時(shí)。（3）基本性質(zhì)的推論由基本性質(zhì)可得出如下推論：推論1：ab0,cd0acbd推論2：ab0,cd0推論3：ab0anbn(nn)推論4：ab0(nn)對(duì)于上述推論可記住兩點(diǎn)：一是以上推論中a,b,c,d均為正數(shù)，即在x|x是正實(shí)數(shù)中對(duì)不等式實(shí)施運(yùn)算；二是直接由實(shí)數(shù)比較大小的原理出發(fā)。3.不等式的證明（1）作用地位證明不等式是數(shù)學(xué)的重要課題，也是分析、解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，特別是在微積分中，不等式是建立極限論的理論基礎(chǔ)。高考中，主要涉及“a,b0時(shí)，a+b2”這類(lèi)不等式，以及運(yùn)用不等式性質(zhì)所能完成的簡(jiǎn)單的不等式的證明。用數(shù)學(xué)歸納法證明的與

4、自然數(shù)有關(guān)命題的不等式難度較大。（2）基本不等式定理1：如果a,bx|x是正實(shí)數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）定理2：如果a,b,cx|x是正實(shí)數(shù)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))定理3：如果a、bx|x是正實(shí)數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）推論4：如果a,b,cx|x是正實(shí)數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）由上述公式還可衍生出一些公式4ab(a+b)22(a2+b2),a、br（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）a2+b2+c2ab+bc+ca,a,b,cr（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）a2+b2+c2(a+b+c)2ab+bc+ca,a,b,cr（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等

5、號(hào)成立）|+|2（當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí)取“=”號(hào)）a0,b0,a+b=1，則ab等。（4）不等式證明的三種基本方法比較法：作差比較，根據(jù)ab0ab，欲證ab只需證ab0；作商比較，當(dāng)b0時(shí)，ab1。比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時(shí)根據(jù)題設(shè)可轉(zhuǎn)化為等價(jià)問(wèn)題的比較（如冪、方根等）。分析法：從求證的不等式出發(fā)尋找使該不等式成立的充分條件。對(duì)于思路不明顯，感到無(wú)從下手的問(wèn)題宜用分析法探究證明途徑。綜合法：從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形（恒等變形或不等變形）推導(dǎo)出要求證明的不等式。4.不等式的解法（1）作用與地位解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時(shí)的

6、重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一。高考試題中，對(duì)解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識(shí)占相當(dāng)大的比例。（2）一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類(lèi)不等式的基礎(chǔ)，必須熟練掌握，靈活應(yīng)用。（3）高次不等式解高次不等式常用“數(shù)軸標(biāo)根法”。一般地，設(shè)多項(xiàng)式f(x)=a(xa1)(xa2)(xan) （a0）它的n個(gè)實(shí)根的大小順序?yàn)閍1a20時(shí)有：在奇數(shù)區(qū)間內(nèi)，f(x)0。在偶數(shù)區(qū)間內(nèi)，f(x)0f(x)g(x)00（5）無(wú)理不等式兩類(lèi)常見(jiàn)的無(wú)理不等式等價(jià)變形：g(x) 或g(x) （6）指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)

7、不等式當(dāng)0aag(x)f(x)1時(shí)a(fx)ag(x)f(x)g(x)logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0（7）含參數(shù)不等式對(duì)于解含參數(shù)不等式，要充分利用不等式的性質(zhì)。對(duì)參數(shù)的討論，要不“重復(fù)”不“遺漏”。5.含有絕對(duì)值的不等式（1）作用與地位絕對(duì)值不等式適用范圍較廣，向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對(duì)值不等式。高考試題中，對(duì)絕對(duì)值不等式從多方面考查。（2）兩個(gè)基本定理定理1：|a|b|a+b|a|+|b| （a、br）定理2：|a|b|ab|a|+|b| （a、br）應(yīng)理解其含義，掌握證明思路以及“=”號(hào)成立的條件。（3）解絕對(duì)值不等式的常用方法討論法：討論絕對(duì)值中

8、的式于大于零還是小于零，然后去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式。等價(jià)變形：解絕對(duì)值不等式常用以下等價(jià)變形|x|ax2a2ax0)|x|ax2a2xa或x0)一般地有：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g (x)或f(x)g(x)四、思想方法1.不等式中常見(jiàn)的基本思想方法（1）等價(jià)轉(zhuǎn)化。具體地說(shuō)，就是無(wú)理化為有理，分式化為整式，高次化為低次，絕對(duì)值化為非絕對(duì)值，指數(shù)、對(duì)數(shù)化為代數(shù)式等。（2）分類(lèi)討論。分類(lèi)討論的目的是處理解決問(wèn)題過(guò)程中遇到的障礙，在無(wú)障礙時(shí)不要提前進(jìn)行分類(lèi)討論。（3）數(shù)形結(jié)合。有些不等式的解決可化為兩個(gè)函數(shù)圖像間的位置關(guān)系的討論等幾何問(wèn)題。（4）函數(shù)方程思想。解不

9、等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的問(wèn)題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間。如“標(biāo)根法”實(shí)際上就是一種函數(shù)方程思想。2.證明不等式的常用方法除了課本上介紹的證明不等式的三種基本方法外，還有如下常用方法：（1）放縮法若證明“ab”，我們先證明“ac”，然后再證明“cb”，則“ab”。（2）反證法反證法是通過(guò)否定結(jié)論導(dǎo)致矛盾，從而肯定原結(jié)論的一種方法。（3）數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時(shí)，常用數(shù)學(xué)歸納法。此法高考中已多次考查。（4）變量代換法變量代換是數(shù)學(xué)中的一種常用的解題方法，對(duì)于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變化較多而關(guān)系不太清楚的不等式，可適當(dāng)?shù)匾M(jìn)一些新的變量進(jìn)行代換，以簡(jiǎn)化其結(jié)構(gòu)。其代換技巧有局

10、部代換、整體代換、三角代換、增量代換等。（5）函數(shù)方法通過(guò)利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、凹凸性、有界性、實(shí)根存在的條件等證明不等式的方法稱(chēng)為函數(shù)方法。（6）構(gòu)造方法不等式證明中的構(gòu)造方法，主要是指通過(guò)引進(jìn)合適的恒等式、數(shù)列、函數(shù)、圖形及變量等輔助手段，促使命題轉(zhuǎn)化，從而使不等式得證。此法技巧要求較高，高考試題中很少見(jiàn)?！纠}解析】例1 證明下列不等式：（1）若x,y,zr，a,b,cx|x是正實(shí)數(shù)，則x2+y2+z22（xy+yz+zx）；（2）若x,y,zx|x是正實(shí)數(shù)，且x+y+z=xyz，則+2(+)2。解 （1）先考慮用作差證法x2+y2+z22(xy+yz+zx)= (x2+y22xy)

11、+(y2+z22yz)+(z2+x22zx)=(xy)2+(yz)2+(zx)20 x2+y2+z22（xy+yz+zx）（2）采用等價(jià)轉(zhuǎn)化法所證不等式等價(jià)于x2y2z2(+)2(xy+yz+zx)2xyzyz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)2(xy+yz+zx)2(x+y+z)(y2z+yz2+z2x+zx2+x2y+xy2)2(x2y2+y2z2+z2x2)+4(x2yz+xy2z+xyz2)y3z+yz3+z3x+zx3+x3y+xy32x2yz+2xy2z+2xyz2yz(yz) 2 +zx(zx) 2+xy(xy) 2+x2 (yz) 2+y2 (zx)2+z2 (xy) 20上式顯然成立 原不等式得證。注 （1）配方技巧的實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵在于合理的分項(xiàng)，正是這種分項(xiàng)我們對(duì)（1）還可證明如下：x2+y2+z2=(x2