湖南省湘中部分學(xué)校2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含答案）

1、湖南省湘中部分學(xué)校2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題時(shí)量：120分鐘 分值：150分一、選擇題（本大題共8小題，總分40分）1已知集合，則（ ）A B C D2若，則下列不等式成立的是（ ）A B C D3將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線(xiàn)，再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到曲線(xiàn)，則的解析式為（ ）A B C D4如圖，在A(yíng)BC中，是邊上一點(diǎn)，且，則的值為（ ）A2 B1C-2 D-15已知復(fù)數(shù)，則（ ）A5BCD26如圖，已知等腰三角形，是一個(gè)平面圖形的直觀(guān)圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ） ABCD7某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍實(shí)現(xiàn)翻番

2、為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是A新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半8已知在A(yíng)BC中，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，若，點(diǎn)在線(xiàn)段上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）ABCD二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題滿(mǎn)分5分，每小題少選按2分計(jì)算，多選或選錯(cuò)按0分計(jì)算）9下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是ABCD10如圖，函數(shù)的圖象由一條射線(xiàn)和拋物線(xiàn)的一部分構(gòu)成，的零點(diǎn)為，則（ ）A函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)B

3、恒成立C函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)D恒成立11下列說(shuō)法中正確的是A若事件與事件是互斥事件，則B若事件與事件是對(duì)立事件：則C某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件D把紅橙黃3張紙牌隨機(jī)分給甲乙丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件12點(diǎn)是正方體中側(cè)面正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是（ ）A滿(mǎn)足的點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段B點(diǎn)存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿(mǎn)足直線(xiàn)平面C在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使異面直線(xiàn)與所成的角是D若正方體的棱長(zhǎng)為1，三棱錐的體積的最大值為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13若關(guān)于x的不等式的解集是，則m等于_14若冪函數(shù)的

4、圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是_.15從2個(gè)男生、3個(gè)女生中隨機(jī)抽取2人，則抽中的2人不全是女生的概率是_.16在A(yíng)BC中，M是ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)三、解答題（本大題共6小題，共70分，第17題滿(mǎn)分10分，其余每題滿(mǎn)分12分）17已知.（1）求與的夾角；（2）求.18在A(yíng)BC中，設(shè)角，的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，已知.（1）求角的值；（2）若ABC為銳角三角形，且，求ABC的面積的取值范圍.19已知關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根為、（1）若p=8，求、；（2）若，求的值20某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人為了解全校學(xué)生本學(xué)期開(kāi)學(xué)以來(lái)(60天)的課外閱讀時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽

5、取了100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生按學(xué)生的課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))各分為5組：，得其頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少；（2）從課外閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2個(gè)初中生的概率；（3）國(guó)家規(guī)定：初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時(shí)間不小于半小時(shí)若該校初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間小于國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時(shí)間.根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間？21如圖1，在直角梯形中，且.現(xiàn)以為一邊向梯形外作矩形，然后沿邊將矩形翻折，使，如圖2.（1）求證：平面；（2）若多面體的體積為

6、，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.22.已知向量，設(shè).（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）若，求的值.湖南湘中2021年上學(xué)期高一期末大聯(lián)考數(shù)學(xué)答案一、選擇題（本大題共8小題，共40分）1A【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算可得選項(xiàng)【詳解】因?yàn)?，所以，故選：A2D【分析】利用列舉法排除A，B；利用作差法排除選項(xiàng)C，進(jìn)而得出正確選項(xiàng)【詳解】取，則，排除A，B；因?yàn)?，則，從而.又，即，則，所以，故選：D.3A【分析】直接利用函數(shù)的圖象平移變換與放縮規(guī)律，即可得出結(jié)論【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線(xiàn)的圖象；再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到曲線(xiàn)的圖象，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考

7、查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問(wèn)題，反映學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)理解的深度.4C【分析】利用平面向量的加減法結(jié)合平面向量的數(shù)量積定義計(jì)算即可【詳解】，故選：C.5C【分析】先求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的求法即可求得結(jié)果【詳解】由復(fù)數(shù)，得，所以.故選：C.6D【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法，由直觀(guān)圖作出原圖三角形，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，所以原平面圖形為：且，所以原平面圖形的面積是，故選：D7A【分析】首先設(shè)出新農(nóng)村建設(shè)前的經(jīng)濟(jì)收入為M，根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設(shè)后的經(jīng)濟(jì)收入為2M，之后從圖中各項(xiàng)收入所占的比例，得到其

8、對(duì)應(yīng)的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相應(yīng)的關(guān)系，從而得出正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項(xiàng)不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入我0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項(xiàng)正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項(xiàng)正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟(jì)收入的，所以超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半，所以D正確；故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)新農(nóng)村建設(shè)前后的經(jīng)濟(jì)收入的構(gòu)成比例的餅形

9、圖，要會(huì)從圖中讀出相應(yīng)的信息即可得結(jié)果.8A【分析】如圖設(shè)，則，即可得到，從而求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：如圖設(shè)，則則故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算及向量相等，屬于中檔題.二.多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題,每小題滿(mǎn)分5分,少選按2分計(jì)算。多選或選錯(cuò)不能得分）9ABC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，在上單調(diào)遞增，所以A正確.選項(xiàng)B，在上單調(diào)遞增，所以B正確.選項(xiàng)C，在上單調(diào)遞增，所以C正確.選項(xiàng)D，在上單調(diào)遞減，所以D不正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.10BCD【分析】對(duì)于A(yíng)，由圖像求出的解析式，則有，又，從

10、而可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)于B，由圖可知，對(duì)于C，由，可判斷結(jié)論；對(duì)于D，令，從而可求出方程的根，【詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，所?由此得，又，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；由題可知射線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則射線(xiàn)的方程為.由圖可知，所以B正確；因?yàn)?，所以?個(gè)零點(diǎn)，所以C正確；令，則該方程的解為，令，則，故恒成立，所以D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法根據(jù)函數(shù)圖像求出函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題11ABC【分析】由對(duì)立事件和互斥事件的定義可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】事件與事件互斥，則不可能同時(shí)發(fā)生，正確；事件與事件是對(duì)

11、立事件，則事件即為事件，正確；事件“至少兩次中靶”與“至多一次中靶”不可能同時(shí)發(fā)生，且二者必發(fā)生其一，故為對(duì)立事件，正確；“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時(shí)發(fā)生，即“丙分得的是紅牌”，故不是互斥事件，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)立事件和互斥事件的辨析，考查對(duì)于基礎(chǔ)定義的理解，屬于基礎(chǔ)題.12ABD【分析】對(duì)于A(yíng)，由正方體的性質(zhì)和可得平面，從而可得點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，有；對(duì)于B，由正方體的性質(zhì)可得平面平面，所以當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，均有平面，從而可判斷；對(duì)于C，異面直線(xiàn)與所成的角是，當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)取的中點(diǎn)時(shí)，最小，其正切值為，從而可判斷；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)得，平面，若正方體的棱

12、長(zhǎng)為1，則點(diǎn)與重合時(shí)，三棱錐的體積取得最大，從而可求出其體積【詳解】解：對(duì)于A(yíng)，如圖，在正方體中，平面，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，所以?dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，有，所以點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，所以A正確；對(duì)于B，在正方體中，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理平面，而，所以平面平面，所以?dāng)點(diǎn)在上時(shí)，均有平面，所以點(diǎn)存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿(mǎn)足直線(xiàn)平面，所以B正確；對(duì)于C，異面直線(xiàn)與所成的角是，當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)取的中點(diǎn)時(shí)，最小，其正切值為，所以不存在點(diǎn)，使異面直線(xiàn)與所成的角是，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)得，平面，若正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)與重合時(shí)，三棱錐的體積取得最大，其值為，所以D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)

13、點(diǎn)睛：此題考查以正方體為模型判斷線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面平行，求異面直線(xiàn)所在的角等，解題的關(guān)鍵是正確利用正方體的性質(zhì)，屬于中檔題三、填空題（本大題共8小題，共40.0分）132【分析】利用一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，利用韋達(dá)定理關(guān)系求.【詳解】解：的解集是，是相應(yīng)方程的兩根，解得：或（舍）故答案為：214【分析】設(shè)出冪函數(shù)，（為常數(shù)），把點(diǎn)代入，求出待定系數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求的值【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，于是所求的冪函數(shù)為：，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及求函數(shù)值的方法，屬于基礎(chǔ)題15【分析】基本事件

14、總數(shù)n10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個(gè)數(shù)m7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率【詳解】解：從2個(gè)男生、3個(gè)女生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)n10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個(gè)數(shù)m7，抽中的2人不全是女生的概率p故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題16【分析】以A為原點(diǎn)，AC所在直線(xiàn)為x軸，建系，如圖所示，根據(jù)題意，可得A、B、C坐標(biāo)，設(shè)，可得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，可得的表達(dá)式，即可求得答案.【詳解】以A為原點(diǎn)，AC所在直線(xiàn)為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以=，當(dāng)時(shí)，有最小值，且為，故答案為：【點(diǎn)睛】解題的關(guān)

15、鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式的坐標(biāo)公式求解，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題（本大題共6小題，共70分，第17題滿(mǎn)分10分，其余每題滿(mǎn)分12分）17（1）；（2）.【分析】（1）由已知可以求出的值，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的夾角公式，求出，進(jìn)而得到向量與的夾角；（2）要求，我們可以根據(jù)（1）中結(jié)論，先求出的值，然后開(kāi)方求出答案【詳解】（1），向量與的夾角.（2），.【點(diǎn)睛】掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算定律及定義是解題的關(guān)鍵18（1）；（2）.【分析】（1）利用已知和正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理可得角的值；（2）由于，利用正弦定理，可得，以及的面積，利用為銳角三角形，可得面積

16、的取值范圍【詳解】（1）由已知及正弦定理，得，即，即，即.由余弦定理，得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，由正弦定理，?所以.因?yàn)闉殇J角三角形，則，從而，所以.19（1），；（2）【分析】（1）利用求根公式即可求解.（2）將代入方程即可求解.【詳解】（1）由題意得，（2）已知關(guān)于x的方程的一根為，所以，所以，解得20（1）人；（2）；（3）該校需要增加初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間.【分析】（1）先利用分層抽樣確定初中生和高中生的人數(shù)，再利用頻率分布直方圖求解初中生和高中生閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)頻率，即可得出結(jié)果；（2）先求出閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的初中生和高中生的人數(shù)，再利用列舉法求出總的事件個(gè)數(shù)和滿(mǎn)足題意的事件

17、個(gè)數(shù)，利用古典概率模型求解即可；（3）利用頻率分布直方圖求解出平均數(shù)，判斷即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由分層抽樣知，抽取的初中生有名，高中生有名，初中生中，閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的頻率為，所有的初中生中，閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的學(xué)生約有人；同理，高中生中，閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的頻率為，學(xué)生人數(shù)約有人，該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約有人.（2）記“從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，至少抽到2名初中生”為事件A，初中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為，樣本人數(shù)為人；高中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為，樣本人數(shù)為人記這3名初中生為ABC，這2名高中生為de，則從閱讀

18、時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，所有可能結(jié)果共10種，即：，；而事件A的結(jié)果有7種，它們是：，；至少抽到2名初中生的概率為；（3）初中生平均每閱讀時(shí)間(小時(shí))，(小時(shí))，因?yàn)椋撔Ｐ枰黾映踔袑W(xué)生課外閱讀時(shí)間.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概率模型概率的求法，考查了利用頻率分布直方圖求解平均數(shù)的問(wèn)題，考查了運(yùn)算求解能力.屬于中檔題.21（1）證明見(jiàn)解析；（2）；【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定有面，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得，結(jié)合勾股定理，線(xiàn)面垂直的判定可證平面；（2）由題設(shè)可求，過(guò)D作于G，連接CG，則直線(xiàn)與平面所成角的平面角為，利用勾股定理、直角三角形的面積求、，再由余弦定理求，進(jìn)而可得其正弦值.【詳解】（1）由題設(shè)，知：，即，又，面，面，則，直角梯形中，有，而，平面.（2）若，由多面體的體積為，而，即，則，過(guò)D作于G，連接CG，則直線(xiàn)與平面所成角的平面角為，由（1）知：，且，而，則，又，在中，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)勾股定理、線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)證明線(xiàn)面垂直；（2）利用線(xiàn)面角