相似三角形經(jīng)典解答題難題含答案(個人精心整理)

1、 一、相似三角形中的動點(diǎn)問題1.如圖，在rtabc中，acb=90，ac=3，bc=4，過點(diǎn)b作射線bb1ac動點(diǎn)d從點(diǎn)a出發(fā)沿射線ac方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)e從點(diǎn)c沿射線ac方向以每秒3個單位的速度運(yùn)動過點(diǎn)d作dhab于h，過點(diǎn)e作efac交射線bb1于f，g是ef中點(diǎn)，連接dg設(shè)點(diǎn)d運(yùn)動的時間為t秒（1）當(dāng)t為何值時，ad=ab，并求出此時de的長度；（2）當(dāng)deg與acb相似時，求t的值2.如圖，在abc中，abc90，ab=6m，bc=8m，動點(diǎn)p以2m/s的速度從a點(diǎn)出發(fā)，沿ac向點(diǎn)c移動同時，動點(diǎn)q以1m/s的速度從c點(diǎn)出發(fā)，沿cb向點(diǎn)b移動當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，

2、它們都停止移動設(shè)移動的時間為t秒（1）當(dāng)t=2.5s時，求cpq的面積；求cpq的面積s（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在p，q移動的過程中，當(dāng)cpq為等腰三角形時，求出t的值3.如圖1，在rtabc中，acb90，ac6，bc8，點(diǎn)d在邊ab上運(yùn)動，de平分cdb交邊bc于點(diǎn)e，embd，垂足為m，encd，垂足為n（1）當(dāng)adcd時，求證：deac；（2）探究：ad為何值時，bme與cne相似？4.如圖所示，在abc中，babc20cm，ac30cm，點(diǎn)p從a點(diǎn)出發(fā)，沿著ab以每秒4cm的速度向b點(diǎn)運(yùn)動；同時點(diǎn)q從c點(diǎn)出發(fā)，沿ca以每秒3cm的速度向a點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)p點(diǎn)到達(dá)b點(diǎn)時

3、，q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時間為x（1）當(dāng)x為何值時，pqbc？（2）apq與cqb能否相似？若能，求出ap的長；若不能說明理由5.如圖，在矩形abcd中，ab=12cm，bc=6cm，點(diǎn)p沿ab邊從a開始向點(diǎn)b以2cm/s的速度移動；點(diǎn)q沿da邊從點(diǎn)d開始向點(diǎn)a以1cm/s的速度移動如果p、q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0t6）。（1）當(dāng)t為何值時，qap為等腰直角三角形？（2）當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)q、a、p為頂點(diǎn)的三角形與abc相似？ 二、構(gòu)造相似輔助線雙垂直模型 6.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段oa的夾角是45，求這個正比例函數(shù)的

4、表達(dá)式7.在abc中，ab=，ac=4，bc=2，以ab為邊在c點(diǎn)的異側(cè)作abd，使abd為等腰直角三角形，求線段cd的長8.在abc中，ac=bc，acb=90，點(diǎn)m是ac上的一點(diǎn)，點(diǎn)n是bc上的一點(diǎn)，沿著直線mn折疊，使得點(diǎn)c恰好落在邊ab上的p點(diǎn)求證：mc：nc=ap：pb9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形abco的邊oa在x軸上，邊oc在y軸上，點(diǎn)b的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對角線ac翻折b點(diǎn)落在d點(diǎn)的位置，且ad交y軸于點(diǎn)e那么d點(diǎn)的坐標(biāo)為（）a. b.c. d.10.已知，如圖，直線y=2x2與坐標(biāo)軸交于a、b兩點(diǎn)以ab為短邊在第一象限做一個矩形abcd，使得矩形的兩邊之比為12。求

5、c、d兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 三、構(gòu)造相似輔助線a、x字型 11.如圖：abc中，d是ab上一點(diǎn)，ad=ac，bc邊上的中線ae交cd于f。求證：12.四邊形abcd中，ac為ab、ad的比例中項，且ac平分dab。求證：13.在梯形abcd中，abcd，abb，cda，e為ad邊上的任意一點(diǎn)，efab，且ef交bc于點(diǎn)f，某同學(xué)在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：(1)當(dāng)時，ef=；(2)當(dāng)時，ef=；(3)當(dāng)時，ef=當(dāng)時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用a、b和k表示ef的一般結(jié)論，并給出證明14.已知：如圖，在abc中，m是ac的中點(diǎn)，e、f是bc上的兩點(diǎn)，且beeffc。求bn：nq：qm15.證明：

6、（1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對邊上中線長的（注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）（2）角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例 四、相似類定值問題 16.如圖，在等邊abc中，m、n分別是邊ab，ac的中點(diǎn)，d為mn上任意一點(diǎn)，bd、cd的延長線分別交ac、ab于點(diǎn)e、f求證：17.已知：如圖，梯形abcd中，ab/dc，對角線ac、bd交于o，過o作ef/ab分別交ad、bc于e、f。求證：18.如圖，在abc中，已知cd為邊ab上的高，正方形efgh的四個頂點(diǎn)分別在abc上。求證：19.已知，在abc中作內(nèi)接菱形cdef，設(shè)菱形的邊長

7、為a求證： 五、相似之共線線段的比例問題 20.（1）如圖1，點(diǎn)在平行四邊形abcd的對角線bd上，一直線過點(diǎn)p分別交ba，bc的延長線于點(diǎn)q，s，交于點(diǎn)求證：（2）如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形abcd的對角線或的延長線上時，是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明）；21.已知：如圖，abc中，abac，ad是中線，p是ad上一點(diǎn)，過c作cfab，延長bp交ac于e，交cf于f求證：bp2pepf 22.如圖，已知δabc中，ad，bf分別為bc，ac邊上的高，過d作ab的垂線交ab于e，交bf于g，交ac延長線于h。求證： de2

8、=egeh 23.已知如圖，p為平行四邊形abcd的對角線ac上一點(diǎn)，過p的直線與ad、bc、cd的延長線、ab的延長線分別相交于點(diǎn)e、f、g、h.求證：24.已知，如圖，銳角abc中，adbc于d，h為垂心（三角形三條高線的交點(diǎn)）；在ad上有一點(diǎn)p，且bpc為直角求證：pd2addh 。 六、相似之等積式類型綜合 25.已知如圖，cd是rtabc斜邊ab上的高，e為bc的中點(diǎn)，ed的延長線交ca于f。求證：26如圖，在rtabc中，cd是斜邊ab上的高，點(diǎn)m在cd上，dhbm且與ac的延長線交于點(diǎn)e.求證：（1）aedcbm；（2）27.如圖，abc是直角三角形，acb=90，cdab于d，

9、e是ac的中點(diǎn)，ed的延長線與cb的延長線交于點(diǎn)f.（1）求證：.（2）若g是bc的中點(diǎn)，連接gd，gd與ef垂直嗎？并說明理由.28.如圖，四邊形abcd、defg都是正方形，連接ae、cg,ae與cg相交于點(diǎn)m，cg與ad相交于點(diǎn)n求證：29.如圖，bd、ce分別是abc的兩邊上的高，過d作dgbc于g，分別交ce及ba的延長線于f、h。求證：（1）dg2bgcg；（2）bgcggfgh 七、 相似基本模型應(yīng)用 30.abc和def是兩個等腰直角三角形，a=d=90，def的頂點(diǎn)e位于邊bc的中點(diǎn)上（1）如圖1，設(shè)de與ab交于點(diǎn)m，ef與ac交于點(diǎn)n，求證：bemcne；（2）如圖2，將

10、def繞點(diǎn)e旋轉(zhuǎn)，使得de與ba的延長線交于點(diǎn)m，ef與ac交于點(diǎn)n，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論31.如圖，四邊形abcd和四邊形aced都是平行四邊形，點(diǎn)r為de的中點(diǎn)，br分別交ac、cd于點(diǎn)p、q（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求bp：pq：qr32.如圖，在abc中，adbc于d，deab于e，dfac于f。求證： 答案1.答案：解：（1）acb=90，ac=3，bc=4ab=5又ad=ab，ad=5tt=1，此時ce=3，de=3+3-5=1（2）如圖當(dāng)點(diǎn)d在點(diǎn)e左側(cè)，即：0t時，de=3t+3-5t=3-2t若

11、deg與acb相似，有兩種情況：degacb，此時，即：，求得：t=；degbca，此時，即：，求得：t=；如圖，當(dāng)點(diǎn)d在點(diǎn)e右側(cè)，即：t時，de=5t-(3t+3)=2t-3若deg與acb相似，有兩種情況：degacb，此時，即：，求得：t=；degbca，此時，即：，求得：t=綜上，t的值為或或或3.答案：解：（1）證明：ad=cda=acdde平分cdb交邊bc于點(diǎn)ecde=bdecdb為cdb的一個外角cdb=a+acd=2acdcdb=cde+bde=2cdeacd=cdedeac（2）nce=mbeembd，encd，bmecne，如圖nce=mbebd=cd又nce+acd=m

12、be+a=90acd=aad=cdad=bd=ab在rtabc中，acb90，ac6，bc8ab=10ad=5nce=mebembd，encd，bmeenc，如圖nce=mebemcdcdab在rtabc中，acb90，ac6，bc8ab=10a=a，adc=acbacdabc綜上：ad=5或時，bme與cne相似4.答案：解（1）由題意：ap=4x，cq=3x，aq=30-3x，當(dāng)pqbc時，即：解得：（2）能，ap=cm或ap=20cmapqcbq，則，即解得：或（舍）此時：ap=cmapqcqb，則，即解得：（符合題意）此時：ap=cm故ap=cm或20cm時，apq與cqb能相似5.答

13、案：解：設(shè)運(yùn)動時間為t，則dq=t，aq=6-t，ap=2t，bp=12-2t（1）若qap為等腰直角三角形，則aq=ap，即：6-t=2t，t=2（符合題意）t=2時，qap為等腰直角三角形（2）b=qap=90當(dāng)qapabc時，即：，解得：（符合題意）；當(dāng)paqabc時，即：，解得：（符合題意） 當(dāng)或時，以點(diǎn)q、a、p為頂點(diǎn)的三角形與abc相似6.答案：解：分兩種情況第一種情況，圖象經(jīng)過第一、三象限過點(diǎn)a作aboa，交待求直線于點(diǎn)b，過點(diǎn)a作平行于y軸的直線交x軸于點(diǎn)c，過點(diǎn)b作bdac則由上可知：90由雙垂直模型知：ocaadba（2，1），45oc2，ac1，aoabadoc2，bda

14、c1d點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）b點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）此時正比例函數(shù)表達(dá)式為：y3x第二種情況，圖象經(jīng)過第二、四象限過點(diǎn)a作aboa，交待求直線于點(diǎn)b，過點(diǎn)a作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)c，過點(diǎn)b作bdac則由上可知：90由雙垂直模型知：ocaadba（2，1），45oc1，ac2，aoabadoc1，bdac2d點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）b點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）此時正比例函數(shù)表達(dá)式為：yx7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：證明：方法一：連接pc，過點(diǎn)p作pdac于d，則pd/bc根據(jù)折疊可知mncp2+pcn=90，pcn+cnm=902=cnmcdp=ncm=90pdcmcnmc：cn=pd：dc

15、pd=damc：cn=da：dcpd/bcda：dc=pa：pbmc：cn=pa：pb方法二：如圖，過m作mdab于d，過n作neab于e由雙垂直模型，可以推知pmdnpe，則，根據(jù)等比性質(zhì)可知，而md=da，ne=eb，pm=cm，pn=cn，mc：cn=pa：pb9.答案：a解題思路：如圖過點(diǎn)d作ab的平行線交bc的延長線于點(diǎn)m，交x軸于點(diǎn)n，則m=dna=90，由于折疊，可以得到abcadc，又由b（1，3）bc=dc=1，ab=ad=mn=3，cda=b=90 1+2=90 dna=90 3+2=90 1=3 dmcand，設(shè)cm=x，則dn=3x，an=1x，dm3x3x，則。答案為

16、a10.答案：解：過點(diǎn)c作x軸的平行線交y軸于g，過點(diǎn)d作y軸的平行線交x軸于f，交gc的延長線于e。直線y=2x2與坐標(biāo)軸交于a、b兩點(diǎn)a（1,0），b（0,2）oa=1，ob=2，ab=ab：bc=1:2bc=ad=abo+cbg=90，abo+bao=90cbg=bao又cgb=boa=90oabgbcgb=2，gc=4go=4c（4,4）同理可得adfbao，得df=2，af=4of=5d（5,2）11.答案：證明：（方法一）如圖延長ae到m使得em=ae，連接cmbe=ce，aeb=mec beacemcm=ab，1=babcmm=mad，mcf=adfmcfadfcm=ab，ad=

17、ac（方法二）過d作dgbc交ae于g則abeadg，cefdgf，ad=ac，be=ce12.答案：證明：過點(diǎn)d作dfab交ac的延長線于點(diǎn)f，則2=3ac平分dab1=21=3ad=dfdef=bea，2=3beadefad=dfac為ab、ad的比例中項即又1=2acdabc13.答案：解：證明：過點(diǎn)e作pqbc分別交ba延長線和dc于點(diǎn)p和點(diǎn)qabcd，pqbc四邊形pqcb和四邊形eqcf是平行四邊形pbefcq，又abb，cdaappb-abef-b，dqdc-qca-ef14.答案：解：連接mfm是ac的中點(diǎn)，effcmfae且mfaebenbfmbn：bmbe：bfne：mfb

18、eefbn：bmne：mf1:2bn：nm1:1設(shè)nex，則mf2x，ae4xan3xmfaenaqmfqnq：qman：mf3:2bn：nm1:1，nq：qm3:2bn：nq：qm5:3:215.答案：證明：（1）如圖1，ad、be為abc的中線，且ad、be交于點(diǎn)o過點(diǎn)c作cfbe，交ad的延長線于點(diǎn)fcfbe且e為ac中點(diǎn)aeoacf，obdfcd，ac2aeeaocafaeoacfd為bc的中點(diǎn)，odbfdcbodcfdbocf同理，可證另外兩條中線三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對邊上中線長的（2）如圖2，ad為abc的角平分線過點(diǎn)c作ab的平行線ce交ad的延長線于e則bad=ea

19、d為abc的角平分線bad=cade=cadacceceabbadced16.答案：證明：如圖，作dpab，dqac則四邊形mdpb和四邊形ndqc均為平行四邊形且dpq是等邊三角形bp+cqmn，dpdqpqm、n分別是邊ab，ac的中點(diǎn)mnbcpqdpab，dqaccdpcfb，bdqbec，dpdqpqbcabab（）17.答案：證明：ef/ab，ab/dcef/dcaoeacd，doedba，18.答案：證明：efcd，ehab，afeadc，cehcab，efeh19.答案：證明：efac，debc，bfebca，aedabc，efdea20.答案：（1）證明：在平行四邊形abcd中

20、，adbc，drp=s，rdb=dbsdrpbsp同理由abcd可證ptdpqb（2）證明：成立，理由如下：在平行四邊形abcd中，adbc，prd=s，rdp=dbsdrpbsp同理由abcd可證ptdpqb21.答案：證明:abac，ad是中線，adbc,bp=cp1=2又abc=acb3=4cfab3=f,4=f又epc=cpfepccpfbp2pepf即證所求22.答案：證明：deab9090adedbede2=bfac9090且begheade2=eg•eh23.答案：證明：四邊形abcd為平行四邊形abcd，adbc1=2，g=h，5=6pahpcg又3=4apecpf2

21、4.答案：證明：如圖，連接bh交ac于點(diǎn)e，h為垂心beacebc+bca=90adbc于ddac+bca=90ebc=dac又bdh=adc=90bdhadc，即bpc為直角，adbcpd2bd·dcpd2ad·dh25.答案：證明：cd是rtabc斜邊ab上的高，e為bc的中點(diǎn)ce=eb=deb=bde=fdab+cab=90，acd+cab=90b=acdfda=acdf=ffdafcdadc=cdb=90，b=acdacdcbd即26.答案：證明：（1）acbadc90aacd90bcmacd90abcm同理可得：mdhmbdcmbcdbmbd90mbdadeadcmdh90mdhadecmbaedcbm（2）由上問可知：，即故只需證明即可aa，acdabcacdabc，即27.答案：（1）將結(jié)論