全國初中數(shù)學競賽試題及答案(2000年)[1]

1、中國數(shù)學教育網(wǎng) info2000年全國初中數(shù)學競賽試題解答一、選擇題（只有一個結(jié)論正確）1、設的平均數(shù)為m，的平均數(shù)為n，n，的平均數(shù)為p，若，則m與p的大小關系是（ ）。（a）mp；（b）mp；（c）mp；（d）不確定。答：（b）。m，n，p，mp，即mp0，即mp。2、某人騎車沿直線旅行，先前進了千米，休息了一段時間，又原路返回千米（），再前進千米，則此人離起點的距離s與時間t的關系示意圖是（ ）。答：（c）。因為圖（a）中沒有反映休息所消耗的時間；圖（b）雖表明折返后s的變化，但沒有表示消耗的時間；圖（d）中沒有反映沿原始返回的一段路程，唯圖（c）正確地表述了題意。3、甲是乙現(xiàn)在的年齡時

2、，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，那么（ ）。（a）甲比乙大5歲；（b）甲比乙大10歲；（c）乙比甲大10歲；（d）乙比甲大5歲。答：（a）。由題意知3（甲乙）2510，甲乙5。4、一個一次函數(shù)圖象與直線平行，與軸、軸的交點分別為a、b，并且過點（1，25），則在線段ab上（包括端點a、b），橫、縱坐標都是整數(shù)的點有（ ）。（a）4個；（b）5個；（c）6個；（d）7個。答：（b）。在直線ab上，橫、縱坐標都是整數(shù)的點的坐標是14n，255n，（n是整數(shù)）在線段ab上這樣的點應滿足14n0，且255n0，n5，即n1，2，3，4，5。5、設分別是abc的三邊的長，且，則它的內(nèi)角a、b的

3、關系是（ ）。（a）b2a；（b）b2a；（c）b2a；（d）不確定。答：（b）。由得，延長cb至d，使bdab，于是cd，在abc與dac中，c為公共角，且bc:acac:dc，abcdac，bacd，badd，abcdbad2d2bac。6、已知abc的三邊長分別為，面積為s，a1b1c1的三邊長分別為，面積為s1，且，則s與s1的大小關系一定是（ ）。（a）ss1；（b）ss1；（c）ss1；（d）不確定。答：（d）。分別構(gòu)造abc與a1b1c1如下：作abca1b1c1，顯然，即ss1；設，則，s10，則s110010，即ss1；設，則，s10，則，s110，即ss1；因此，s與s1的

4、大小關系不確定。二、填空題7、已知：，那么_。答：1。，即。8、如圖，在梯形abcd中，abdc，ab8，bc6，bcd45，bad120，則梯形abcd的面積等于_。答：666（平方單位）。作ae、bf垂直于dc，垂足分別為e、f，由bc6，bcd45，得aebffc6。由bad120，得dae30，因為ae6得de2，abef8，dc286142，。9、已知關于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有_個。答：5。當時，；當時，易知是方程的一個整數(shù)根，再由且是整數(shù)，知，；由、得符合條件的整數(shù)有5個。10、如圖，工地上豎立著兩根電線桿ab、cd，它們相距15米，分別自兩桿上高出地面4米、6米

5、的a、c處，向兩側(cè)地面上的e、d；b、f點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿。那么鋼絲繩ad與bc的交點p離地面的高度為_米。答：2.4米。作pqbd于q，設bq米，qd米，pq米，由abpqcd，得及，兩式相加得，由此得米。即點p離地面的高度為2.4米。（注：由上述解法知，ab、cd之間相距多遠，與題目結(jié)論無關。）11、如圖，在直角坐標系中，矩形oabc的頂點b的坐標為（15，6），直線恰好將矩形oabc分成面積相等的兩部分，那么_。答：。直線通過點d（15，5），故bd1。當時，直線通過，兩點，則它恰好將矩形oabc分成面積相等的兩部分。12、某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了6

6、.4，使得利潤率增加了8個百分點，那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤率是_。（注：100）答：17。設原進價為元，銷售價為元，那么按原進價銷售的利潤率為100，原進價降低6.4后，在銷售時的利潤率為100，依題意得：1008100，解得1.17，故這種商品原來的利潤率為10017。三、解答題13、設是不小于的實數(shù)，使得關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。解：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，。根據(jù)題設，有。（1）因為，即。由于，故。（2）。設上是遞減的，所以當時，取最大值10。故的最大值為10。14、如上圖：已知四邊形abcd外接圓o的半徑為2，對角線ac與bd的交點

7、為e，aeec，abae，且bd2，求四邊形abcd的面積。解：由題設得ab22ae2aeac，ab:acae:ab，又eabbac，abeacb，abeacb，從而abad。連結(jié)ad，交bd于h，則bhhd。oh1，ahoaoh211。，e是ac的中點，。15、一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次。對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意?，F(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層，可以使得這32個人不滿意的總分達到最??？最小值是多少？（有些人可以不

8、乘電梯而直接從樓梯上樓）解：易知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人。對于每個乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住的層數(shù)。事實上，設住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，。交換兩人上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分不增，現(xiàn)分別考慮如下：設電梯停在第層。當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為。當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為。當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為，前者比后者多。當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為，前者比后者多。當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則