小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何

1、小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何話題一吳正憲（北京教育科學(xué)研究院）王彥偉（北京東城區(qū)教師研修中心）張 杰（北京東城區(qū)教育研修學(xué)院）2011 版課標(biāo)終于要公布了，新課標(biāo) 修訂后有哪些變化。這一講主要講“圖形與幾何”這個(gè)領(lǐng)域的變化。 新課標(biāo)在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個(gè)核心概念。主要有 空間觀念、 幾何直觀、 推理能力 等 。 空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。 更直觀的理解如下圖： 幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡(jiǎn)明形象，有助于探索解決問

2、題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果，探索思路預(yù)測(cè)結(jié)果。 案例：打電話 如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打電話的方式，每分鐘通知 1 人，給你 3 分鐘的時(shí)間，能使多少人收到通知？大膽的猜測(cè)一下。 下面是學(xué)生借助圖形研究的例子。這些學(xué)生都能夠利用線段、點(diǎn)以圖形的形式，來描述打電話來通知這件事情，設(shè)計(jì)方案。 通過這個(gè)數(shù)圖就把這個(gè)復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，很簡(jiǎn)明很直觀的呈現(xiàn)出來，而且從這個(gè)圖本身，就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個(gè)人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否則你算是算不出來，看圖就看出來了。 通過線段、點(diǎn)，以及圖形，把通知過程很簡(jiǎn)捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，揭示得非常清楚，這就屬于典型的幾

3、何直觀，就是圖形直觀。 推理能力 的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。 通過對(duì)一線教師的訪談，查閱資料，把老師們的困惑集中起來，歸結(jié)為四個(gè)大話題。 討論話題： 1如何在觀察、操作中“認(rèn)識(shí)圖形” 抽象出

4、圖形特征，發(fā)展空間觀念？ 2如何以“圖形的測(cè)量”為載體，滲透度量意識(shí)，體會(huì)測(cè)量的意義，認(rèn)識(shí)度量單位及其實(shí)際意義，了解掌握測(cè)量的基本方法，并在具體問題中進(jìn)行恰當(dāng)?shù)墓罍y(cè)？從而發(fā)展 學(xué)生的空間觀念與推理能力？ 3如何通過“圖形的運(yùn)動(dòng)”探索發(fā)現(xiàn)，體會(huì)研究圖形性質(zhì)的不同方法，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力和空間觀念，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣？ 4如何通過學(xué)習(xí)“確定圖形位置”的方法，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力？ 話題一、圖形的認(rèn)識(shí)抽象圖形特征，發(fā)展空間觀念 問題一、新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識(shí)方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？ 這次新課標(biāo)修訂后圖形的認(rèn)識(shí)部分都包括哪些內(nèi)容？有什么新的變化？ 課標(biāo)修訂前后立體圖形的認(rèn)

5、識(shí)部分內(nèi)容的對(duì)比： 修訂前 修訂后 第一 學(xué)段 （ 1 ）通過實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等 立體圖形 。 （ 2 ） 辨認(rèn)從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀。 參見例 1 （ 3 ）辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡(jiǎn)單圖形。 （ 4 ）通過觀察、操作， 能用自己的語言描述 長(zhǎng)方形、正方形的特征。 （ 5 ）會(huì)用長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。 （ 6 ）結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角，會(huì)辨認(rèn)直角、銳角和鈍角。 （ 7 ）能對(duì)簡(jiǎn)單幾何體和圖形進(jìn)行分類。 1. 能通過實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等 幾何體 。 2. 能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度

6、觀察到的簡(jiǎn)單物體 （參見例 11 ）。 3. 能辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡(jiǎn)單圖形。 4. 通過觀察、操作， 初步認(rèn)識(shí) 長(zhǎng)方形、正方形的特征。 5. 會(huì)用長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。 6. 結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角，了解直角、銳角和鈍角。 7. 能對(duì)簡(jiǎn)單幾何體和圖形進(jìn)行分類（參見例 20 ）。 第二 學(xué)段 （ 1 ） 了解兩點(diǎn)確定一條直線和兩條相交直線確定一個(gè)點(diǎn)。 （ 2 ） 能區(qū)分直線、線段和射線。 （ 3 ）體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，知道兩點(diǎn)間的距離。 （ 4 ）知道周角、平角的概念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。 （ 5 ）結(jié)合生活情境了解平

7、面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。 （ 6 ）通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)平行四邊形、梯形和圓，會(huì)用圓規(guī)畫圓。 （ 7 ）認(rèn)識(shí)三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是 180 。 （ 8 ）認(rèn)識(shí)等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。 （ 9 ）通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的 展開圖。 （ 10 ）能辨認(rèn) 從不同方位看到的物體的形狀和相對(duì)位置。 參見例 1 1 結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線。 2體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，知道兩點(diǎn)間的距離。 3知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小

8、關(guān)系。 4結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。 5通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)平行四邊形、梯形和圓 ，知道扇形， 會(huì)用圓規(guī)畫圓。 6認(rèn)識(shí)三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是 180 。 7認(rèn)識(shí)等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。 8能辨認(rèn) 從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖 （參見例 32 ）。 9通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的展開圖。 從這個(gè)表中可以看到，課表修訂前后在圖形的認(rèn)識(shí)部分只有一些細(xì)小的變化，圖形與幾何這一模塊原稱空間與圖形，變“空間與圖形”為“圖形與幾

9、何”；重提幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力、邏輯思維能力，用詞更加規(guī)范，體現(xiàn)了課標(biāo)的嚴(yán)肅。 的”圖形與幾何”第一、二學(xué)段仍分為四部分，具體表示有所變動(dòng)，（ 1 ）圖形的認(rèn)識(shí)，（ 2 ）測(cè)量，（ 3 ）圖形的運(yùn)動(dòng)（修改稿：圖形與變換），（ 4 ）圖形與位置。圖形的運(yùn)動(dòng)”強(qiáng)調(diào)了圖形的運(yùn)動(dòng)是研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。運(yùn)動(dòng)也是一種基本的數(shù)學(xué)思想。第二學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)刪除“兩點(diǎn)確定一條直線”和“兩條直線確定一個(gè)點(diǎn)”。 “圖形與幾何”領(lǐng)域，將幾何學(xué)習(xí)的視野拓寬到學(xué)生生活的空間，強(qiáng)調(diào)空間和圖形知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，從第一學(xué)段開始使學(xué)生接觸豐富的幾何世界。新標(biāo)準(zhǔn)突出用觀察、描述、制作、從不同的角度觀察物體、認(rèn)識(shí)方向、制

10、作模型等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和圖形設(shè)計(jì)與推理（合情推理與演繹推理）的能力。 新標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段還增加了知道扇形這一內(nèi)容。扇形的認(rèn)識(shí)，大綱（修訂版）教材作為選學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中沒有認(rèn)識(shí)扇形的要求。 認(rèn)識(shí)扇形在課標(biāo)修改稿中確實(shí)沒有做要求，但在 “ 統(tǒng)計(jì)與概率 ” 部分卻明確提出了通過實(shí)例認(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，考慮到知識(shí)的系統(tǒng)性、邏輯性和連貫性，以及學(xué)生認(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的需要，課標(biāo)修訂稿在認(rèn)識(shí)圓的基礎(chǔ)上，增加了初步認(rèn)識(shí)扇形。 簡(jiǎn)單說對(duì)圖形認(rèn)識(shí)的要求主要包括兩個(gè)方面： 一是對(duì)圖形自身特征的認(rèn)識(shí)。 二是對(duì)圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。 在三個(gè)學(xué)段中，認(rèn)識(shí)同一個(gè)或同一類圖形的要求有明顯

11、的層次性：從 “ 辨認(rèn) ” 到 “ 初步認(rèn)識(shí) ” ，再從 “ 認(rèn)識(shí) ” 到 “ 探索并證明 ” 。例如，對(duì)于長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等幾何體，第一學(xué)段要求 “ 辨認(rèn) ” ；第二學(xué)段要求 “ 認(rèn)識(shí) ” ；第三學(xué)段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開圖。 又如，對(duì)于平行四邊形，第一學(xué)段要求 “ 辨認(rèn) ” ；第二學(xué)段要求 “ 認(rèn)識(shí) ” ；第三學(xué)段要求 “ 探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理 ” 。 再如，三角形內(nèi)角和的例子： 關(guān)于 “ 視圖 ” ，第一學(xué)段要求 “ 能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體 ” ；第二學(xué)段要求 “ 能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形

12、狀圖 ” ；第三學(xué)段要求 “ 會(huì)畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡(jiǎn)單物體的視圖，會(huì)根據(jù)視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體 ” 。 這種要求的層次性，既體現(xiàn)了從整體到局部的認(rèn)識(shí)過程；也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，逐漸深入、循序漸進(jìn)。 對(duì)圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。第一學(xué)段的 “ 了解直角、銳角和鈍角 ” ；第二學(xué)段的 “ 體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最短 ” ； “ 了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系 ” ； “ 了解 三角形兩邊之和大 于第三邊 ” ；第三學(xué)段的 “ 會(huì)比較線段的長(zhǎng)短 ” ， “ 能比較角的大小 ” 等，都是對(duì)

13、圖形大小關(guān)系的研究 。 點(diǎn)與直線的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等，是義務(wù)教育階段幾種主要的圖形位置關(guān)系；軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、平移也反映了圖形與圖形之間的位置關(guān)系。 圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關(guān)系的課程內(nèi)容，全等研究的是圖形的形狀、大小關(guān)系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關(guān)系；而圖形的位似則還涉及到了圖形的位置關(guān)系。 在兒童的不同學(xué)段上，形象思維的發(fā)展是有層次的，荷蘭范 . 希爾夫婦對(duì)學(xué)生幾何思維水平的研究說明了從直觀辨認(rèn)到探索特征是兒童的對(duì)圖形的形象思維規(guī)律。他們將學(xué)生的圖形認(rèn)知水平主要分為五級(jí)：水平 1 ：直觀化；水平 2 ：描述 / 分析

14、；水平 3 ：抽象 / 關(guān)聯(lián)；水平 4 ：演繹 / 形式化推理；水平 5 ：嚴(yán)密 / 元數(shù)學(xué)。一二三水平在小學(xué)體現(xiàn)，四五水平是在中學(xué)體現(xiàn)的。這和我們課標(biāo)的要求也是一致。 圖形認(rèn)識(shí)的教學(xué)先明確兩點(diǎn)： 一是這部分內(nèi)容屬于圖形認(rèn)識(shí)的哪個(gè)水平，前后繼知識(shí)各是什么； 二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個(gè)什么階段，要通過你的教學(xué)達(dá)到什么階段。 問題二、 小學(xué)階段對(duì)于 “ 圖形的認(rèn)識(shí) ” 這一內(nèi)容，教材是遵循怎樣一個(gè)編排體系的？ 第一， 現(xiàn)在的教材，在圖形的認(rèn)識(shí)當(dāng)中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史發(fā)展過程上看，實(shí)際上我們中國小學(xué)的傳統(tǒng)教材，最初是按點(diǎn)、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上個(gè)世紀(jì) 90 年

15、代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了，先講立體以后再講平面，然后又回到立體。為什么當(dāng)時(shí)要改？因?yàn)楫?dāng)時(shí)很多老師都反映，高年級(jí)孩子，對(duì)幾何立體圖形，本身的識(shí)圖的能力比較低，認(rèn)識(shí)起來比較困難。這部分是個(gè)難點(diǎn)，分階段安排可以分散難點(diǎn)。 第二，實(shí)際上一個(gè)人是生活在三維空間當(dāng)中，一個(gè)嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到的東西，實(shí)際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在這個(gè)過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實(shí)物的模型的。那在這種情況之下，低年級(jí)孩子，剛開始初步的認(rèn)識(shí)立體圖形是有可能的。 所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有

16、一個(gè)長(zhǎng)期的反復(fù)的積累的過程，不能一次到位。所以當(dāng)時(shí)的義務(wù)大綱就打破了傳統(tǒng)的一步到位，先講立體圖形，要求直觀認(rèn)識(shí)，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形。現(xiàn)在教材也一樣，先講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求辨認(rèn)，到第二學(xué)段要求是認(rèn)識(shí)。 也就是 現(xiàn)在教材是 “ 體形體 ” 的混合螺旋編排結(jié)構(gòu) 問題三、 怎樣通過圖形的認(rèn)識(shí)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念？ 第一、通過對(duì)實(shí)物的觀察與操作認(rèn)識(shí)圖形 第一學(xué)段要求 “ 能通過實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 、 “ 通過觀察、操作，初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形的特征 ” ；第二學(xué)段要求 “ 結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線

17、” 、 “ 結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系 ” 等，這些要求的共同特點(diǎn)是通過觀察與操作認(rèn)識(shí)圖形，直觀地、整體地認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形。從對(duì)實(shí)物的觀察與操作過程中來認(rèn)識(shí)圖形的特征和性質(zhì)，既符合學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)要求。這樣的過程有助于學(xué)生發(fā)展能力，初步體會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法，發(fā)展積極的情感與態(tài)度。 人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球 都給我們以長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象?；谶@樣的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以從認(rèn)識(shí)立體圖形開始， “ 通過實(shí)物和模型等辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 。 “ 辨認(rèn) ” 是認(rèn)識(shí)的低級(jí)階段，

18、但與以往的經(jīng)驗(yàn)有所不同，它要經(jīng)歷從實(shí)物到幾何圖形的抽象過程。 從不同的角度觀察長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、球的表面，抽象出長(zhǎng)方形、正方形、圓等平面圖形。像這樣從具體到抽象，從實(shí)物到圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形的關(guān)系，也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。 第二學(xué)段要求 “ 結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系 ” 。射線和直線涉及到了無限的概念，與長(zhǎng)方體、正方體、長(zhǎng)方形、正方形等相比，在現(xiàn)實(shí)中沒有 “ 直線 ” 的實(shí)物原型，這就需要學(xué)生進(jìn)行抽象與想象。認(rèn)識(shí)線段要容易一些，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中有 “ 線段 ” 的實(shí)物原型。 類似的，學(xué)生

19、理解兩條直線平行的位置關(guān)系也比較困難，可以利用兩根鐵軌作為實(shí)物原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實(shí)，都揭示了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無法總是筆直的延伸，所以在從實(shí)物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學(xué)生發(fā)展抽象能力和空間觀念。 第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念 新教材內(nèi)容編排上增加了 “ 視圖和投影、展開與折疊 ” 等內(nèi)容。 視圖和投影，過去小學(xué)沒有，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何和圖形當(dāng)中，增加了觀察物體，這部分在課標(biāo)上有兩個(gè)要求。 第一個(gè)學(xué)段的要求是根據(jù)具體事物照片或直觀圖，辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀，這是辨認(rèn)。很多教材里面是這樣，有的是拿個(gè)實(shí)物，有

20、的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角度去看，看的時(shí)候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。 第二個(gè)學(xué)段的要求能辨認(rèn)從不同方向，方向是從前面、側(cè)面或者上面來觀察，從不同方向看到物體的形狀圖，這個(gè)形狀圖實(shí)際上就是一個(gè)平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個(gè)投影，也就是拍照。 例如 拍照的結(jié)果，雖然不是真正意義上的視圖，但是它的確實(shí)現(xiàn)了，把三維空間向二維空間的一個(gè)轉(zhuǎn)化的過程，這是過去小學(xué)沒有的，現(xiàn)在有了，這兩個(gè)階段的目標(biāo)要達(dá)到，就為第三學(xué)段的正式的視圖和投影打下比較好的基礎(chǔ)。 “折疊”和“展開”，過去教材也有，長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的展開圖。但是這個(gè)做法現(xiàn)在要加強(qiáng)，而且在進(jìn)行折疊和展開當(dāng)中，操作過程

21、，必須要通過兒童的想象，這個(gè)過程本有什么實(shí)際意義呢？這是讓孩子們認(rèn)識(shí)到，立體圖形的結(jié)構(gòu)和展開圖之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。怎么讓他來認(rèn)識(shí)這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？ 例如，“正方體展開圖”課例。 通過課例可以看到，孩子可以折一折，通過操作找到結(jié)果；也可以不折，先想一想，我們提倡先想象，再動(dòng)手驗(yàn)證，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的空間想象力，促進(jìn)空間觀念的形成。 讓學(xué)生操作的時(shí)候，它不是一個(gè)簡(jiǎn)單的操作，首先得想象一下，可能會(huì)是什么樣子，然后再通過操作，去驗(yàn)證自己的想法，而這個(gè)過程，學(xué)生參與這個(gè)想象，包括動(dòng)手操作，包括把這個(gè)過程表現(xiàn)出來，是非常重要的。 讓學(xué)生的這種想象也好，操作也好，實(shí)際上進(jìn)一步理解，我們講三維和兩維之間的這樣

22、一種關(guān)系，就是你講的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是經(jīng)歷了下面過程。 “ 認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的展開圖 ” ，體現(xiàn)了三維圖形與二維圖形之間相互轉(zhuǎn)換的具體要求，目標(biāo)是在圖形轉(zhuǎn)換中引導(dǎo)學(xué)生觀察、抽象、想象，發(fā)展空間觀念。教學(xué)中應(yīng)注重展開與折疊的操作過程，通過想象實(shí)現(xiàn)圖形之間的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生記憶展開圖的數(shù)量或類型的做法是不可取的。 認(rèn)識(shí)圖形過程中大量的操作性活動(dòng)，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生空間觀念教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以充分的重視。 話題二、 圖形的測(cè)量滲透度量意識(shí)，掌握測(cè)量方法 吳正憲（北京教育科學(xué)研究院）王彥偉（北京東城區(qū)教師研修中心）張 杰（北京東城區(qū)教育研修學(xué)院）一、如何以“圖形的測(cè)量”為載體，體會(huì)測(cè)量的意義

23、，認(rèn)識(shí)度量單位及其實(shí)際意義，滲透度量意識(shí)。 （一） 使學(xué)生體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性 在教學(xué)長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)時(shí)，經(jīng)常有老師問為什么要講統(tǒng)一單位？原來的教學(xué)中學(xué)生就是直接認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位，學(xué)習(xí)度量單位有什么價(jià)值？下面以人教版教材為例談一談：二年級(jí)學(xué)生第一次學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位，教材呈現(xiàn)的例 1 ，并沒有上來就認(rèn)識(shí)厘米，而是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)活動(dòng)的情境：讓學(xué)生測(cè)量數(shù)學(xué)書封面，有的學(xué)生用兩個(gè)硬幣或者兩個(gè)三角形，兩個(gè)曲別針進(jìn)行測(cè)量。這個(gè)活動(dòng)使學(xué)生感受用不同的測(cè)量工具，測(cè)量出不同的物體長(zhǎng)度。然后例 2 是開始學(xué)習(xí)厘米的認(rèn)識(shí)。 標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段要求“結(jié)合生活實(shí)際，經(jīng)歷用不同方式測(cè)量物體長(zhǎng)度的過程，體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性。

24、” 這種要求對(duì)面積、體積的單位也同樣適用。 度量單位是度量的核心，度量單位的統(tǒng)一是使度量從個(gè)別的、特殊的測(cè)量活動(dòng)成為一般化的、可以在更大范圍內(nèi)應(yīng)用和交流的前提。因此，在課程的實(shí)施過程中，應(yīng)該為學(xué)生提供必要的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生選擇不同的方法進(jìn)行測(cè)量，并在相互交流的過程中發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)不同的方法，不同單位的選擇對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，進(jìn)而體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性。 例如， 海淀區(qū)中關(guān)村三小 鮑海影 老師執(zhí)教的厘米的認(rèn)識(shí)一課，學(xué)生在活動(dòng)中充分體會(huì)了統(tǒng)一度量單位的重要性。 鮑 老師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境，先鼓勵(lì)學(xué)生采用不同的辦法去測(cè)量相同的長(zhǎng)度，有的學(xué)生用手量，有的用自己的鉛筆量，還有可能用自己桌上的橡皮去量，由于采用了

25、不同的測(cè)量工具，所得的結(jié)論，當(dāng)然是不同的了。比如說，有的同學(xué)測(cè)量的是三扎長(zhǎng)，有的同學(xué)可能測(cè)量的是五根鉛筆這么長(zhǎng)，還有的同學(xué)測(cè)量的是 15 塊橡皮那么長(zhǎng)。 學(xué)生通過交流發(fā)現(xiàn)，當(dāng)同學(xué)們你說你的結(jié)果，我說我的結(jié)果，彼此間就無法交流。通過這個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生深刻地體會(huì)到度量單位需要統(tǒng)一，否則它會(huì)給生活帶來不便。 這時(shí)，學(xué)生有一個(gè)共同的心里需求，即要使測(cè)量結(jié)果讓大家都接受，就必須要有一個(gè)公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)單位。學(xué)生產(chǎn)生了這種需求，然后再來學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位。 建立標(biāo)準(zhǔn)度量單位，有助于學(xué)生從知識(shí)本身的邏輯體系出發(fā)，對(duì)建立標(biāo)準(zhǔn)單位的意義有客觀地認(rèn)識(shí)。教材這樣編排，不僅突出了統(tǒng)一單位的重要性，也體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，揭示了度

26、量單位是怎么發(fā)生發(fā)展，又是怎么推動(dòng)社會(huì)的前進(jìn)的。 2011 版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)，要結(jié)合生活實(shí)際，經(jīng)歷用不同方式，測(cè)量物體長(zhǎng)度的過程，讓學(xué)生去體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性。所以教師在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)該堅(jiān)持把讓學(xué)生體會(huì)了統(tǒng)一度量單位的重要性這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)好，讓學(xué)生經(jīng)歷完整“度量單位”的從形成到產(chǎn)生的過程。 由此看來， 關(guān)于讓學(xué)生體會(huì)建立統(tǒng)一的度量單位的重要性，不僅要在長(zhǎng)度的測(cè)量中給予關(guān)注，在面積和體積的測(cè)量中，仍要讓學(xué)生去感受。 （二）使學(xué)生理解與把握度量單位的實(shí)際意義，對(duì)測(cè)量結(jié)果有很好的感悟 標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段要求“在實(shí)踐活動(dòng)中，體會(huì)并認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算

27、，能恰當(dāng)?shù)剡x擇長(zhǎng)度單位”。 進(jìn)行單位之間的換算，不能靠機(jī)械地記憶換算公式和反復(fù)操練，而是要能夠體會(huì)單位之間的實(shí)際關(guān)系，這就涉及到了對(duì)單位的理解。長(zhǎng)度（類似的，面積、體積） 單位不僅僅是一個(gè)抽象的概念，對(duì)它的體會(huì)和認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)通過實(shí)踐活動(dòng)，體驗(yàn)它的 實(shí)際意義。 例如，生活中哪些物體的長(zhǎng)度大約為 1 米 ， 1 厘米 的長(zhǎng)度可以用什么熟悉的 物體來估計(jì)，哪些物體的重量大約是 1 千克 ，哪些物體的體積大約是 1 立方米等。 對(duì)單位的實(shí)際意義的理解，還體現(xiàn)在對(duì)測(cè)量結(jié)果、對(duì)量的大小或關(guān)系的感悟。關(guān)于對(duì)度量單位的認(rèn)識(shí)，要結(jié)合實(shí)際例子體會(huì)度量單位的大小，比如，一個(gè)成人的身高為 175 （ ），應(yīng)當(dāng)選擇 cm

28、而不是 mm 作為單位，這是對(duì)認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位地深化理解。 再如“北京到南京的鐵路長(zhǎng)約 1000 （ ）”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的度量單位；要用實(shí)物感知度量單位的大小，如“ 一米 約相當(dāng)于（ ）根鉛筆長(zhǎng)”，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)度量單位地感知；還應(yīng)關(guān)注不同維度度量單位之間的聯(lián)系，例如，理解 1 平方分米 =100 平方厘米，可以借助圖形（ 10 10 的方格，每個(gè)方格為 1 平方厘米），也可以借助等式 1 平方分米 =1 分米 1 分米 = 10 厘米 10 厘米 =100 平方厘米，避免學(xué)生死記硬背單位之間的換算關(guān)系。 總之，在具體的問題情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進(jìn)行測(cè)量測(cè)量是從人類的生產(chǎn)、生活實(shí)

29、際需要中產(chǎn)生的，學(xué)習(xí)測(cè)量的目的是為了實(shí)際的應(yīng)用。在明確實(shí)際測(cè)量的對(duì)象后，選擇恰當(dāng)?shù)亩攘繂挝弧y(cè)量工具及方法關(guān)系到測(cè)量能否方便、可操作地進(jìn)行、影響著測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。比如，用直尺測(cè)量黑板的長(zhǎng)度是不錯(cuò)的選擇，用它測(cè)量一棟大樓的長(zhǎng)度就不是上策了學(xué)生只有在親身實(shí)踐中才能積累選擇度量單位、測(cè)量工具和具體方法的經(jīng)驗(yàn)。 二、 如何幫助學(xué)生在圖形測(cè)量過程中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測(cè)量的基本方法 ， 積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)， 培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念 。 關(guān)于規(guī)則圖形的度量公式， 標(biāo)準(zhǔn)要求探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)公式；探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；探索并掌握

30、長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計(jì)算方法，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 標(biāo)準(zhǔn)還要求探索不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)、面積、體積。例如，測(cè)量簡(jiǎn)單圖形的周長(zhǎng)、會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積、體驗(yàn)?zāi)承?shí)物（如土豆等）體積的測(cè)量方法等，通過這樣的測(cè)量，學(xué)生不僅能進(jìn)一步加深對(duì)度量意義的理解，而且能在運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的過程中，體會(huì)學(xué)科之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)思想（如微積分的思想）。 同時(shí)，課程內(nèi)容要反映數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。 數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是基礎(chǔ)知識(shí)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與

31、概括。 那么，在教學(xué)圖形測(cè)量這部分內(nèi)容時(shí)，如何滲透數(shù)學(xué)思想呢？下面結(jié)合一些具體案例來闡述。 1. 以圖形測(cè)量公式推導(dǎo)為載體，讓學(xué)生在操作、實(shí)踐中感悟“轉(zhuǎn)化”、 “極限”、“函數(shù)”和“積分”的數(shù)學(xué)思想。 在直邊圖形公式的推導(dǎo)過程中，教師經(jīng)常讓學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行操作活動(dòng)，將新圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的已知圖形，從而找到新舊兩個(gè)圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，推導(dǎo)出計(jì)算公式，在這個(gè)過程中巧妙地滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 圓是第一、二學(xué)段學(xué)習(xí)的平面圖形中唯一的一個(gè)曲線圖形，是學(xué)生第一次了解這個(gè)無理數(shù) , 是學(xué)生第一次正式接觸并運(yùn)用極限的數(shù)學(xué)思想來解決曲線的長(zhǎng)度和圓形的面積等問題，因此對(duì)圓的周長(zhǎng)以及面積的探索具有一定的挑戰(zhàn)性，

32、這個(gè)過程的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì) ” 轉(zhuǎn)化 ” 、“極限”和“函數(shù)”的思想。 案例 1 ：圓的周長(zhǎng)公式的推導(dǎo) 化曲為直 - 轉(zhuǎn)化思想 我們只需得到圓的周長(zhǎng)和直徑有什么關(guān)系就可以了，那么我們又該怎樣研究周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系呢？ 老師給每組同學(xué)準(zhǔn)備了不同的實(shí)物：有圓紙片、紙杯或硬幣。 拿出來，就你們小組的實(shí)驗(yàn)材料，誰來說說怎樣得到我們所需要的數(shù)據(jù)（尤其是周長(zhǎng)的數(shù)據(jù)）？（討論）為什么要繞線？為什么要滾動(dòng)？（化曲為直） 活動(dòng)二： 在圓的周長(zhǎng)教學(xué)中，向?qū)W生介紹 “ 割圓術(shù) ” ，讓學(xué)生經(jīng)歷正多邊形到圓的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察體驗(yàn)，隨著邊數(shù)越來越多，正多邊形越

33、來越像圓，感受極限思想。 然后又化曲為直： 割之彌補(bǔ)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。 活動(dòng)三： 測(cè)量尋找周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系 - 函數(shù)思想 在測(cè)量圓的周長(zhǎng)和直徑填寫數(shù)據(jù)的過程中，感受直徑變，圓的大小變，周長(zhǎng)也隨之變化，而它們的倍數(shù)關(guān)系不變，從而讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)思想。 通過課件形象直觀的演示周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系，體會(huì)函數(shù)思想。 案例 2 ：圓的面積公式的推導(dǎo) 圓面積的探究活動(dòng) 活動(dòng)設(shè)計(jì) : 學(xué)生利用手中學(xué)具，獨(dú)立探究，小組合作，探索圓面積的計(jì)算方法。 核心問題：給學(xué)生提供幾張圓形的紙片，小組合作探究，如何計(jì)算圓的面積？ 這一活動(dòng)的設(shè)計(jì)，給了學(xué)生充分的探究空間。通過對(duì)學(xué)生情況的

34、把握，以及學(xué)生所經(jīng)歷的前面一系列認(rèn)識(shí)和周長(zhǎng)的教學(xué)活動(dòng)，可以充分相信學(xué)生有自主探究的能力。通過 圓面積的探究活動(dòng)，使學(xué)生在親身經(jīng)歷中體會(huì)轉(zhuǎn)化的研究方法和極限的重要數(shù)學(xué)思想。 圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形 - 轉(zhuǎn)化思想 ( 課件演示 ) 通過以上案例地分析，可以看出，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是基礎(chǔ)知識(shí)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。同時(shí)在度量圖形的過程中組織學(xué)生進(jìn)行大量的操作性活動(dòng)，有利于學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 掌握規(guī)則圖形的周長(zhǎng)、面積和體積公式，仍然是

35、圖形測(cè)量?jī)?nèi)容的重要方面，以往我們的教學(xué)將主要精力放在套用公式進(jìn)行計(jì)算上，以至于將這部分內(nèi)容簡(jiǎn)單地處理為計(jì)算問題。實(shí)際上，對(duì)于規(guī)則圖形周長(zhǎng)、面積和體積公式的探索和應(yīng)用，不僅有利于學(xué)生靈活運(yùn)用多種策略和方法解決實(shí)際問題，并且對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的特征和圖形間的相互關(guān)系，發(fā)展空間觀念也是大有好處的。 學(xué)生在操作活動(dòng)中，經(jīng)歷探索從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，在體驗(yàn)解決問題方法多樣性的過程中創(chuàng)新意識(shí)也得到發(fā)展。 三、如何在圖形測(cè)量的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的估測(cè)意識(shí)和能力，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性。 估測(cè)或估計(jì)是標(biāo)準(zhǔn)突出強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容。估測(cè)或估計(jì)，既是一種意識(shí)的體現(xiàn)，也是一種能力的表現(xiàn)；不僅具有現(xiàn)實(shí)的意義，而

36、且也有助于學(xué)生感受度量單位的大小。 估測(cè)與精確測(cè)量之間有著密切的關(guān)系。生活中精確測(cè)量的結(jié)果有時(shí)需要用估計(jì)的辦法來感受，對(duì)事物進(jìn)行估計(jì)時(shí)則需要對(duì)度量單位很好的認(rèn)識(shí)與把握、對(duì)圖形度量知識(shí)的掌握，以及需要具有一定的空間觀念。 估測(cè)的意識(shí)和能力是在實(shí)踐中發(fā)展起來的。 標(biāo)準(zhǔn)要求“能估測(cè)一些物體的長(zhǎng)度，并進(jìn)行測(cè)量”， 并給出具體的實(shí)踐任務(wù) “測(cè)量并計(jì)算一張給定正方形紙的面積，利用結(jié)果估計(jì)課桌面的面積；測(cè)量步長(zhǎng)，利用步長(zhǎng)估計(jì)教室的面積”。 這樣，把測(cè)量與面積計(jì)算有機(jī)地結(jié)合起來，有利于學(xué)生體會(huì)估測(cè)的作用以及估測(cè)的方法。 標(biāo)準(zhǔn)還要求探索不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)、面積、體積。例如，測(cè)量簡(jiǎn)單圖形的周長(zhǎng)、會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積、體驗(yàn)?zāi)承?shí)物（如土豆等）體積的測(cè)量方法等。 教材在學(xué)生積累了足夠的實(shí)際測(cè)量經(jīng)驗(yàn)后，為學(xué)生提供了先估測(cè)再實(shí)測(cè)的練習(xí)，讓學(xué)生比較估測(cè)與實(shí)際測(cè)量所得結(jié)果的差別，從而修正自己的估測(cè)策略。 案例 : 測(cè)量不規(guī)則圖形的面積 圖中每個(gè)小方格為 1 個(gè)面積單位，試估計(jì)曲線所圍成的面積。 如圖一 : 教師們對(duì)此題