概率論重點及課后題答案7

1、第7章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識一、大綱要求(1)理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念,了解直方圖和樣本分布函數(shù)的意義和作用.(2)了解分布、分布、分布的概念和性質(zhì),了解分位數(shù)的概念并掌握查表計算.(3)了解正態(tài)總體的抽樣分布.二、重點知識結構圖分布的定義及性質(zhì)樣本階中心矩統(tǒng)計量分布的定義及性質(zhì)樣本階原點矩樣本均值樣本標準差分布的定義及性質(zhì)抽樣分布三、基本知識1.總體和個體在數(shù)理統(tǒng)計中,把研究對象的全體稱為總體或母體,把組成總體的每一個研究對象(元素或單元)稱為個體.總體分為有限總體和無限總體.有限總體是指其總體中的成員只有有限個.相應的,無限總體是指其總體中的成員有無限個

2、.2樣本在一個總體中,抽取個個體,這個個體總稱為總體的樣本或子樣,稱為樣本容量.樣本特性: 代表性，樣本中的每一個分量與總體有相同的分布。 獨立性，個樣本是相互獨立的，具有上述兩個特性的樣本稱為簡單隨機樣本，簡稱樣本.1. 樣本分布對于總體的樣本,若的分布函數(shù)為,那么樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為若的密度函數(shù)為,那么樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為2. 樣本分布函數(shù)設是總體的一個樣本觀察值,將它們按大小排列為,令稱為樣本分布函數(shù)(或經(jīng)驗分布函數(shù)).3. 統(tǒng)計量的定義定義設是總體的一個樣本,若是連續(xù)函數(shù),且其中不包含任何未知參數(shù),稱樣本函數(shù)為統(tǒng)計量.常用統(tǒng)計量設是從總體中抽取的一個樣本.(1) 樣本均值(2) 樣本方

3、差(3) 樣本階原點矩(4) 樣本階中心矩4. 常用統(tǒng)計量的性質(zhì)設是取自總體的一個樣本,則5. 抽樣分布定義統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.(1)分布定義設是相互獨立的隨機變量,且,則隨機變量所服從的分布稱為分布,記作,其中為參數(shù),稱為自由度.分布的密度函數(shù)為其中,為函數(shù),定義為的性質(zhì): 若，則 若與相互獨立，且，則。此性質(zhì)稱為分布具有可加性.(2)分布定義設,且與相互獨立,則隨機變量所服從的分布稱為分布(或學生氏分布),記為,稱為自由度.分布的密度函數(shù)為分布的性質(zhì): 分布的密度函數(shù)為偶函數(shù) 若，則.(3)分布定義設,且與相互獨立,則隨機變量所服從的分布稱為分布,記為,和稱為自由度.分布的密度函數(shù)為

4、分布的性質(zhì):若,則.6. 分位點定義對給定的，使成立的稱為的上側分位點,或上分位數(shù)、臨界值.7. 正態(tài)總體抽樣分布(1) 單個正態(tài)總體情形設總體,是的一個樣本,則有 ； ； ； ； .(2) 兩個正態(tài)總體情形設總體，與相互獨立,為取自總體的一個樣本,為取自總體的一個樣本.記 ; ; ; .四、典型例題例1設總體服從正態(tài)分布,而是來自總體的簡單隨機變量服從分布，參數(shù)為.解因為隨機變量,而隨機變量,因此有例2設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本,統(tǒng)計量為則當時,統(tǒng)計量服從分布,自由度為.解因和均服從正態(tài)分布,且因此,由分布的定義有所以;自由度為2.例3設總體,從兩個總體中分別抽樣,得到如下結果:求概率.

5、解因,所以,從而例4設是總體的一個樣本，、為未知,而，求.解因為未知,所以有將代入,得.所以有例5 設是來自總體的簡單隨機樣本,且,設總體的均值和方差均存在,求統(tǒng)計量的數(shù)學期望.解記,顯然有,因此例6設總體,是來自的樣本,試求(1)的分布律;(2)的分布律.解 (1)的分布律為(2)獨立同服從分布,則,其分布律為例7設和分別是樣本的均值和方差,且現(xiàn)在又獲得了第個觀察值,試證明:(1)(2)證 (1)(3) 由(1)的結果有例8設在總體中抽取一容量為16的樣本,其中、均未知,求:(1);(2).解 (1)因為,且所以由分布上的側分位點并查表得,即,故(2)因為所以故例9設總體,從兩總體中分別抽取

6、樣本,取得數(shù)據(jù)如下:求:(1);(2),設.解 (1),.故所求的概率為(2)查表得,即,故所求概率為五、課本習題全解7-1 7-2 因為所以7-3 (1)頻數(shù)分布表: 15 16 17 18 19 2 8 15 4 1(2)7-4 (1)頻率分布:環(huán)數(shù) 10 9 8 7 6 5 4 頻率 (2)7-5 (1)、(4)、(5)不是統(tǒng)計量,因為含有未知數(shù) ;(2)、(3)、(6)是統(tǒng)計量.7-6 用變換化簡得到13塊冰的熱量數(shù)據(jù)位-2,4,2,4,3,3,4,-3,5,3,2,0,2則有,即,故又因為故7-7 用變換化簡得到 -35 -9 12 34 -2 3 4 1則有,故7-8 當時, (1

7、) (2)7-9 密度函數(shù)為故數(shù)學期望為因此7-10 (1)若，由常用統(tǒng)計量的性質(zhì)可知 (2)若,則有,故7-11 7-12 已知,則有,故查表得7-13 (1); (2); (3).7-14 (1); (2); (3); (4); (5).7-15 已知. (1),故. (2).7-16 要使服從分布,則有又因為,所以有,即.7-17 已知,由分布的定義可知7-18 7-19 已知,由分布及分布的定義可知六、自測題及答案1.設隨機變量與相互獨立,且都服從正態(tài)分布,而和是分別來自總體和的簡單隨機樣本,則統(tǒng)計量服從分布,參數(shù)為.2.設總體,是來自的樣本,設則當時,.3.在天平重復稱一重為的物品時

8、,假設每次稱重結果相互獨立且服從正態(tài)分布,若以表示次稱量結果的算術平均值,為使,則的最小值應不小于自然數(shù).4.設是來自正態(tài)總體的樣本,則服從分布.5設總體和相互獨立,其中以及時分布來自總體和的隨機樣本,則統(tǒng)計量服從分布;的數(shù)學期望為,方差為.6.設為總體的一個樣本,未知,則.(a) (b) (c) (d)7.設是總體的樣本,是樣本方差,則 ( ).(a) (b) (c) (d)8.設為的一個樣本,與分別為樣本均值和樣本方差,則( )成立.(a) (b)(c) (d)9設是來自正態(tài)總體的樣本,則統(tǒng)計量服從的分布為( ).(a) (b) (c) (d)10.設和是分別來自兩個正態(tài)總體和的樣本,且相

9、互獨立,和分別是兩個樣本的樣本方差,則服從的統(tǒng)計量是( ).(a) (b) (c) (d)11.設總體服從指數(shù)分布,概率密度為設為的一個樣本,證明:12.設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本,且有證明:統(tǒng)計量服從分布.13.設總體服從參數(shù)的泊松分布,是來自的簡單隨機樣本分布,求:(1)樣本的聯(lián)合概率密度;(2)的分布律.14.假設是來自總體的簡單隨機樣本,求系數(shù),使服從分布,并求其自由度.15.盒中有3件產(chǎn)品,其中1件次品,2件正品,每次從中任取1件,記正品的件數(shù)是隨機變量,有放回的抽取10次,得到容量為10的樣本,試求:(1)樣本均值的數(shù)學期望;(2)樣本均值的方差;(3)的概率函數(shù).答案1服從分

10、布,參數(shù)為9.2因為,所以,即于是有故當時,.3由于,所以有,即,故.因此的最小值應不少于16.4.5.;.6.因為獨立同分布,所以,于是而故c項正確.7.因為是正態(tài)分布,且,故由分布的性質(zhì)可知,即.故d項正確.8.因為,所以a項不正確,b項正確.因為獨立,所以,因此c項也不正確.當時,;但當時,所以d項也不正確.9.c10.d11.證明因為的概率密度為所以,也可以看作的指數(shù)分布.令則由分布的可加性有12.證明設,.從而由正態(tài)總體樣本方差的性質(zhì),如由與,與,與獨立可知,與獨立,由分布的定義可知13.(1)的聯(lián)合分布密度為(1) 先求的概率分布.即,從而可用歸納法證明.因此,的概率分布為14.由于相互獨立且均服從正態(tài)分布,故從而所以