概率論重點(diǎn)及課后題答案7

1、第7章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)一、大綱要求(1)理解總體、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念,了解直方圖和樣本分布函數(shù)的意義和作用.(2)了解分布、分布、分布的概念和性質(zhì),了解分位數(shù)的概念并掌握查表計(jì)算.(3)了解正態(tài)總體的抽樣分布.二、重點(diǎn)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖分布的定義及性質(zhì)樣本階中心矩統(tǒng)計(jì)量分布的定義及性質(zhì)樣本階原點(diǎn)矩樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差分布的定義及性質(zhì)抽樣分布三、基本知識(shí)1.總體和個(gè)體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,把研究對(duì)象的全體稱為總體或母體,把組成總體的每一個(gè)研究對(duì)象(元素或單元)稱為個(gè)體.總體分為有限總體和無限總體.有限總體是指其總體中的成員只有有限個(gè).相應(yīng)的,無限總體是指其總體中的成員有無限個(gè)

2、.2樣本在一個(gè)總體中,抽取個(gè)個(gè)體,這個(gè)個(gè)體總稱為總體的樣本或子樣,稱為樣本容量.樣本特性: 代表性，樣本中的每一個(gè)分量與總體有相同的分布。 獨(dú)立性，個(gè)樣本是相互獨(dú)立的，具有上述兩個(gè)特性的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本.1. 樣本分布對(duì)于總體的樣本,若的分布函數(shù)為,那么樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為若的密度函數(shù)為,那么樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為2. 樣本分布函數(shù)設(shè)是總體的一個(gè)樣本觀察值,將它們按大小排列為,令稱為樣本分布函數(shù)(或經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)).3. 統(tǒng)計(jì)量的定義定義設(shè)是總體的一個(gè)樣本,若是連續(xù)函數(shù),且其中不包含任何未知參數(shù),稱樣本函數(shù)為統(tǒng)計(jì)量.常用統(tǒng)計(jì)量設(shè)是從總體中抽取的一個(gè)樣本.(1) 樣本均值(2) 樣本方

3、差(3) 樣本階原點(diǎn)矩(4) 樣本階中心矩4. 常用統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,則5. 抽樣分布定義統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.(1)分布定義設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且,則隨機(jī)變量所服從的分布稱為分布,記作,其中為參數(shù),稱為自由度.分布的密度函數(shù)為其中,為函數(shù),定義為的性質(zhì): 若，則 若與相互獨(dú)立，且，則。此性質(zhì)稱為分布具有可加性.(2)分布定義設(shè),且與相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量所服從的分布稱為分布(或?qū)W生氏分布),記為,稱為自由度.分布的密度函數(shù)為分布的性質(zhì): 分布的密度函數(shù)為偶函數(shù) 若，則.(3)分布定義設(shè),且與相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量所服從的分布稱為分布,記為,和稱為自由度.分布的密度函數(shù)為

4、分布的性質(zhì):若,則.6. 分位點(diǎn)定義對(duì)給定的，使成立的稱為的上側(cè)分位點(diǎn),或上分位數(shù)、臨界值.7. 正態(tài)總體抽樣分布(1) 單個(gè)正態(tài)總體情形設(shè)總體,是的一個(gè)樣本,則有 ； ； ； ； .(2) 兩個(gè)正態(tài)總體情形設(shè)總體，與相互獨(dú)立,為取自總體的一個(gè)樣本,為取自總體的一個(gè)樣本.記 ; ; ; .四、典型例題例1設(shè)總體服從正態(tài)分布,而是來自總體的簡單隨機(jī)變量服從分布，參數(shù)為.解因?yàn)殡S機(jī)變量,而隨機(jī)變量,因此有例2設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本,統(tǒng)計(jì)量為則當(dāng)時(shí),統(tǒng)計(jì)量服從分布,自由度為.解因和均服從正態(tài)分布,且因此,由分布的定義有所以;自由度為2.例3設(shè)總體,從兩個(gè)總體中分別抽樣,得到如下結(jié)果:求概率.

5、解因,所以,從而例4設(shè)是總體的一個(gè)樣本，、為未知,而，求.解因?yàn)槲粗?所以有將代入,得.所以有例5 設(shè)是來自總體的簡單隨機(jī)樣本,且,設(shè)總體的均值和方差均存在,求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望.解記,顯然有,因此例6設(shè)總體,是來自的樣本,試求(1)的分布律;(2)的分布律.解 (1)的分布律為(2)獨(dú)立同服從分布,則,其分布律為例7設(shè)和分別是樣本的均值和方差,且現(xiàn)在又獲得了第個(gè)觀察值,試證明:(1)(2)證 (1)(3) 由(1)的結(jié)果有例8設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本,其中、均未知,求:(1);(2).解 (1)因?yàn)?且所以由分布上的側(cè)分位點(diǎn)并查表得,即,故(2)因?yàn)樗怨世?設(shè)總體,從兩總體中分別抽取

6、樣本,取得數(shù)據(jù)如下:求:(1);(2),設(shè).解 (1),.故所求的概率為(2)查表得,即,故所求概率為五、課本習(xí)題全解7-1 7-2 因?yàn)樗?-3 (1)頻數(shù)分布表: 15 16 17 18 19 2 8 15 4 1(2)7-4 (1)頻率分布:環(huán)數(shù) 10 9 8 7 6 5 4 頻率 (2)7-5 (1)、(4)、(5)不是統(tǒng)計(jì)量,因?yàn)楹形粗獢?shù) ;(2)、(3)、(6)是統(tǒng)計(jì)量.7-6 用變換化簡得到13塊冰的熱量數(shù)據(jù)位-2,4,2,4,3,3,4,-3,5,3,2,0,2則有,即,故又因?yàn)楣?-7 用變換化簡得到 -35 -9 12 34 -2 3 4 1則有,故7-8 當(dāng)時(shí), (1

7、) (2)7-9 密度函數(shù)為故數(shù)學(xué)期望為因此7-10 (1)若，由常用統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)可知 (2)若,則有,故7-11 7-12 已知,則有,故查表得7-13 (1); (2); (3).7-14 (1); (2); (3); (4); (5).7-15 已知. (1),故. (2).7-16 要使服從分布,則有又因?yàn)?所以有,即.7-17 已知,由分布的定義可知7-18 7-19 已知,由分布及分布的定義可知六、自測題及答案1.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布,而和是分別來自總體和的簡單隨機(jī)樣本,則統(tǒng)計(jì)量服從分布,參數(shù)為.2.設(shè)總體,是來自的樣本,設(shè)則當(dāng)時(shí),.3.在天平重復(fù)稱一重為的物品時(shí)

8、,假設(shè)每次稱重結(jié)果相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布,若以表示次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值,為使,則的最小值應(yīng)不小于自然數(shù).4.設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本,則服從分布.5設(shè)總體和相互獨(dú)立,其中以及時(shí)分布來自總體和的隨機(jī)樣本,則統(tǒng)計(jì)量服從分布;的數(shù)學(xué)期望為,方差為.6.設(shè)為總體的一個(gè)樣本,未知,則.(a) (b) (c) (d)7.設(shè)是總體的樣本,是樣本方差,則 ( ).(a) (b) (c) (d)8.設(shè)為的一個(gè)樣本,與分別為樣本均值和樣本方差,則( )成立.(a) (b)(c) (d)9設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本,則統(tǒng)計(jì)量服從的分布為( ).(a) (b) (c) (d)10.設(shè)和是分別來自兩個(gè)正態(tài)總體和的樣本,且相

9、互獨(dú)立,和分別是兩個(gè)樣本的樣本方差,則服從的統(tǒng)計(jì)量是( ).(a) (b) (c) (d)11.設(shè)總體服從指數(shù)分布,概率密度為設(shè)為的一個(gè)樣本,證明:12.設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本,且有證明:統(tǒng)計(jì)量服從分布.13.設(shè)總體服從參數(shù)的泊松分布,是來自的簡單隨機(jī)樣本分布,求:(1)樣本的聯(lián)合概率密度;(2)的分布律.14.假設(shè)是來自總體的簡單隨機(jī)樣本,求系數(shù),使服從分布,并求其自由度.15.盒中有3件產(chǎn)品,其中1件次品,2件正品,每次從中任取1件,記正品的件數(shù)是隨機(jī)變量,有放回的抽取10次,得到容量為10的樣本,試求:(1)樣本均值的數(shù)學(xué)期望;(2)樣本均值的方差;(3)的概率函數(shù).答案1服從分

10、布,參數(shù)為9.2因?yàn)?所以,即于是有故當(dāng)時(shí),.3由于,所以有,即,故.因此的最小值應(yīng)不少于16.4.5.;.6.因?yàn)楠?dú)立同分布,所以,于是而故c項(xiàng)正確.7.因?yàn)槭钦龖B(tài)分布,且,故由分布的性質(zhì)可知,即.故d項(xiàng)正確.8.因?yàn)?所以a項(xiàng)不正確,b項(xiàng)正確.因?yàn)楠?dú)立,所以,因此c項(xiàng)也不正確.當(dāng)時(shí),;但當(dāng)時(shí),所以d項(xiàng)也不正確.9.c10.d11.證明因?yàn)榈母怕拭芏葹樗?也可以看作的指數(shù)分布.令則由分布的可加性有12.證明設(shè),.從而由正態(tài)總體樣本方差的性質(zhì),如由與,與,與獨(dú)立可知,與獨(dú)立,由分布的定義可知13.(1)的聯(lián)合分布密度為(1) 先求的概率分布.即,從而可用歸納法證明.因此,的概率分布為14.由于相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布,故從而所以