史瓦西時空中自由粒子的運(yùn)動方程

1、第 30 卷第 7 期2011 年 7 月大 學(xué) 物 理college physicsvol 30 no 7july 2011史瓦西時空中自由粒子的運(yùn)動方程牛振風(fēng)1 ，劉文彪2( 1 河北北方學(xué)院理學(xué)院 物理系，河北 張家口 075000; 2 北京師范大學(xué) 物理系，北京師范大學(xué) 理論物理研究所，北京 100875)摘要: 直接求解史瓦西時空中自由粒子的測地線方程，得出粒子運(yùn)動方程的一般常見形式 此方法與一般教材中根據(jù)史瓦西度規(guī)的靜態(tài)球?qū)ΨQ性以及四速歸一條件得出的運(yùn)動方程完全相同 此方法物理意義更清晰、明確，同時對理解彎曲時空 中的測地線方程具有重要意義關(guān)鍵詞: 史瓦西時空; 測地線方程; 彎

2、曲時空中的運(yùn)動方程; 水星進(jìn)動; 光線偏折中圖分類號: o 412 1文獻(xiàn)標(biāo)識碼: a文章編號: 1000-0712( 2011) 07-0019-041915 年愛因斯坦發(fā)表了廣義相對論，其核心就是反映物質(zhì)的能量 動量張量如何決定時空曲率的 愛因斯坦場方程，它是廣義相對論的基本方程 1916 年數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家史瓦西精確求出了場方程的第 一個嚴(yán)格解靜態(tài)球?qū)ΨQ真空 解1，稱 為 史 瓦 西解 愛因斯坦提出廣義相對論的同時，就預(yù)言了驗證 廣義相對論的 3 大實驗引力紅移、光線偏折、水星近日點進(jìn)動 這 3 大實驗驗證全部是用史瓦西解 算出理論結(jié)果，進(jìn)而和實驗觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，最終 才使得廣義相對論

3、的正確性得以完全確立下來廣義相對論 3 大實驗驗證中的兩個水星近日點進(jìn)動和光線偏折，其理論計算的基礎(chǔ)均是自由 粒子在史瓦西時空中的運(yùn)動 方 程，而自由粒子在史 瓦西時空中的運(yùn)動方程在多數(shù)廣義相對論教材中都是依據(jù)史瓦西度規(guī)的靜態(tài)球?qū)ΨQ性給出兩個守恒量以及進(jìn)一步 根 據(jù) 四 速歸一條件得到 的2-4 本 文 將 采用直接求解史瓦西時空中自由粒子的 測 地 線 方 程，得出對應(yīng)的常見形式的運(yùn)動方程 自 然，此 方 法 與前一種方法得到的結(jié)果應(yīng) 該 完 全 相 同 但 從 測 地 線方程出發(fā)，其物理意義更加簡單、明 確，因 為 彎 曲 時空中自由粒子的運(yùn)動方程就是測地線方程 此 方 法在教材中很少被采

4、用的原因是求解測地線方程比 較復(fù)雜，不如利用對稱性直接得到運(yùn)動方程的第一 積分來得簡單 但通過測地線方程直接求解，一方面 可以加深對測地線的理解，同時使得學(xué)生在理解水 星進(jìn)動和光線偏折計算的物理概念更加具體、清晰 因此我們建議，如果條件允許，可以把此內(nèi)容作為給 出史瓦西時空中自由粒子運(yùn)動方程的補(bǔ)充知識介紹給學(xué)生1自由粒子的拉氏量和測地線方程彎曲時空 自 由 粒 子 ( 質(zhì) 點 或 光 子 ) 變 分 原 理 可寫為3 1 ( d )2d = 0( 1)2 d其中 表示固有時間， 為標(biāo)量型參量 此時的拉氏量為2l = 1 ( d )= 1dx dx1 d = 2 g x x ( 2)2 g dd

5、2對于光子， 不能取做 ，ds2 = d2 = 0，則 l = 0，對1于 質(zhì) 點， 可 取 做 ，則定 義l = 2 =1，0，( 光子)( 質(zhì)點)則 l = 2 把式( 2) 代入拉格朗日方程ldlxd = 0( 3) x可導(dǎo)出測地線方程d2 xdx dx( 4)+ dd = 0d22由守恒量以及四速歸一條件得出運(yùn)動方程一般在廣義相 對 論 教 材 中，史瓦西時空中自由 粒子的運(yùn)動方程都是依據(jù)其度規(guī)的靜態(tài)球?qū)ΨQ性給出兩個守恒量以及進(jìn)一步根據(jù)四速歸一 條 件 得 到 的2-4 為了和后面的 方 法 對 比，下面把這種方法作 一簡單介紹收稿日期: 2010 12 21; 修回日期: 2011

6、01 17基金項目: 國家自然科學(xué)基金( 10773002，10875012) 和北京師范大學(xué)科研基金( 105116) 資助項目作者簡介: 牛振風(fēng)( 1973) ，女，河北阜城人，河北北方學(xué)院理學(xué)院物理系副教授，碩士，主要從事廣義相對論及黑洞的研究及教學(xué)工作史瓦西時空線元3由測地線方程得出運(yùn)動方程由式( 5) ，史瓦西度規(guī)的協(xié)變分量為 1ds2 = ( 1 2m) dt2 + ( 1 2m)dr2 + r2 ( d2 + sin2rrd2 )取 c = g = 1 的自然單位制在史瓦西時空中，拉氏量( 5) 1g00 = ( 1 )， g11 = ( 1 2 m2 m)，rr222 g22

7、= r ， g33 = r sin( 17)對應(yīng)的不為零的逆變度規(guī)分量為l = 1 ( 1 2m)t2 ( 1 2m) 1r2 r2 2 r2 sin2 2 ( 6) 12rr()2 m2m0011， g = 1 ，g = 1 rrg22 = 11因為史瓦西度規(guī)是靜態(tài)球?qū)ΨQ的，所以有2 ，33( 18)g =22rr sin llt = 0， = 0( 7)1由 = g ( g+ g g) 可得克氏符，2由拉格朗 日 方 程 ( 3) 可 知，存在兩個守恒量，坐 標(biāo)能量的非零分量為 m m e = l = ( 1 2m) dt00= r( r 2m) ，111= r( r 2m) ， = (

8、8)1001trd= m( r 2m) ，11= ( r 2m) ，和坐標(biāo)角動量00r322l槇 = l = r2 sin2 d( 9) 1 1= ( r 2m) sin2 ，2= 2= ，d331221r由拉格朗日方程 ( 3) 及 式 ( 6) 還可以得到關(guān)于 的方程 1 23333 = sin cos ，r13 = 31 =r2 + 2rr r2 2 sin cos = 0( 10)3323 = 32 = cot ( 19)若適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)使粒子的初始條件滿足 0 = 2 ，把式( 19) 代入測地線方程( 4) ，可得0 = 0，則必有 0 = 0，可見粒子將一直保持在赤道面內(nèi)運(yùn)動，因

9、此恒有d2 t2mdt dr( 20)d2 + r( r 2m)d d = 0 = ， = d = 0d2 r22( dr )+ m( r 2m)()mdt( 11)d2 r( r 2m) d2將上式代入式( 9) 可得dr3d22( r 2m) ( d ) ( r 2m) sin2 ( d )( 21)= 0dddl槇 = r2 d( 12)d2d2 2 dr sin cos ()dd( 22)2 += 0在史瓦西時空中利用四速歸一條件 g = ，可得 rd ddd2 2 drdd d( 23)2 +d d + 2cot d d = 0rd( 1 2m) ( dt )2 ( 1 2m) 12

10、( dr ) r2 ( d )2= ( 13)rdrdd若適當(dāng)?shù)?選 取 坐 標(biāo) 使 方 程 ( 22) 滿 足 初 始 條 件 0 = ，0 = 0，則其解為62把式( 8) 、( 12) 和式( 13) 整理后可得，史瓦西時空中粒子的運(yùn)動方程為: = ，d = 0( 24)2利用上式，方程( 23) 轉(zhuǎn)化為d 1 dtd = e( 1 2 m)( 14)rd2 2 drd( 25)= e2 ( 1 2m) ( + l槇 )+= 02( dr )2d2r d d( 15)2drr由上式可看出d可看作僅是 r 的函數(shù)，所以可令 dl槇d= f( r) ，于是方程( 25) 可寫為dd( 16)

11、d = r2第 7 期牛振風(fēng)，等: 史瓦西時空中自由粒子的運(yùn)動方程21df( r)至此，我們有dr2drdf( r)( 26)d += 0drrl槇2= ( d )2 e = ( 1 ) ( +2 ) dr2 m222消去 dr ，得p ( r) errd( 36)由式( 28) 、( 30) 和式( 36) 可得史瓦西時空中自 由粒子的全部運(yùn)動方程為:df( r) 2 + r f( r) = 0( 27)dr解上式，可得d = e( 1 2 m) 1 dt= d = l槇( 37)rf( r)( 28)r2dl槇2 2 ( dr )= e2 ( 1 2m) ( +r2)其中 l槇 為積分常數(shù)

12、由方程( 20) 可看出 dt 也可看作只是 r 的函數(shù)，( 38)dr槇d l dd = r2( 39)令 dtd = h( r) ，代入方程( 20) ，得由式( 37) 式( 39) ，可得= ( 1 )e ( 1 ) 22m2mdh( r)2m 2g + r( r 2m) h( r)( 29)= 0rrdr解得l槇2 ) l槇(12m)(2m) (e2 1 + +r21 = ( 40) 1h( r) = dt = e( 1 2m)2r2rrr( 30)dr這里的 剛好滿足 = 1，0，( 光子)( 質(zhì)點)其中 e 為積分常數(shù)把式( 28) 和式( 30) 代入方程( 21) ，得可見，

13、依據(jù)史瓦西度規(guī)的靜態(tài)球?qū)ΨQ性和直接 從測地線方程兩種方法求得的史瓦西時空中的自由 粒子的運(yùn)動方程是完全一樣 的 而用測地線方程直 接求解，物理意義更明確，更能體現(xiàn)彎曲時空中自由 粒子的運(yùn)動方程就是測地線方程的物理概念，對 于 學(xué)生理解測地線方程是十分有幫助的 另外，由于史 瓦西時空中的運(yùn)動方程對計算水星進(jìn)動和光線偏折 是重要的基礎(chǔ)，因此在導(dǎo)出運(yùn)動方程時采用測地線 方程直接計算更能引發(fā)學(xué)生對引力的幾何本質(zhì)的理 解、認(rèn)識和思考l槇22d2 r( r 2m) ( d )d2 r m drme2+ r( r 2m) ( r 2m)= 0r4( 31)2令 drd rdp( r)dp( r)drd =

14、p ( r) ，則 d2d = p ( r)=ddrdp( r) ，所以方程( 31) 可化為drdp2 ( r)l槇22m22dr r( r 2m) p ( r) e = 2( r 2m)r4( 32)參考文獻(xiàn):令 p2 ( r) e2 = q( r) ，則得l槇21王永久 廣義相對論和宇宙學(xué)m 長沙: 湖 南 科 技 出版社，2000劉遼，趙崢 廣 義 相 對 論m 2 版 北 京: 高 等 教 育 出 版社，2004: 155-156趙崢，劉文彪 廣義相對論基礎(chǔ)m 北京: 清華大學(xué)出 版社，2010俞永強(qiáng) 廣義相對論引論m 2 版 北京: 北京大學(xué)出 版社，1997: 87-89劉遼，趙

15、崢，田貴花，等 黑洞與時間的性質(zhì)m 北京: 北京大學(xué)出版社，2008: 15梁燦彬 微分幾何入門與廣義相對論 ( 上 冊) m 科 學(xué)出版社，2000: 222-223dq( r) 2 m dr r( r 2m) q( r)= 2( r 2m)r4( 33)2先解方程dq( r)2mdr r( r 2m) q( r)( 34)= 03其解為 q( r) = ( 1 2m)c，c 為積分常數(shù) 把 q( r)=4r( 1 2 m)c( r) 代入方程( 34) ，得5rl槇2c( r) = ( 35) 6r2其中 為積分常數(shù)the kinematics equations of a free pa

16、rticle in the schwarzschild space timeniu zhen-feng，liu wen-biao( 1 departent of physics，college of science，hebei north university，zhangjiakou，hebei 07500，china;2 department of physics and institute of theoretical physics，beijing normal university，beijing 100875，china)abstract: the usual form kinema

17、tics equations of a free particle are obtained via directly solving the geodesicsequations in the schwarzschild space time comparing with the method in some text books，where the kinematics e- quations are given by the spherical symmetry of space time and normalized four velocity，the results are com-

18、 pletely same however，the geodesics method is more physical，and it is useful and meaningful to understand geo- desics equations in a curved space timekey words: schwarzschild space time; geodesics equations; kinematics equations in a curved space time;mercury precession; deflection of light( 上接 4 頁)

19、a v = i dv，: v( x) 絕對連續(xù)，v( x) l ( 0，1) ，自伴算符與厄米算符是否完全等價? 換言之，自伴算符是否一定厄米? 厄 米 算 符是否一定自伴?這里又涉及厄米算符的定義: 若d36a 2dxa 也不是自伴算符考慮到以上的幾種情形中，算符 a 之所以不自伴，原因只是 da da 所以適當(dāng)規(guī)定算符 a與 a的定義域，a i d 就可以是自伴的 一 種 做 法 就 是v，a u=a v，u，u，vdadx縮小算符 a 及 a 的定義域，例如限制到上面求得的da 與 da 的公共區(qū)域內(nèi)，即則稱 a 厄米 對照自伴算符的定義，我們就看到:1) 自伴算符一定厄米2)厄米算符不一定自伴 例如上面提到的da :da :u( x) 絕對連續(xù)，u( x) l2( 0，1) ，u( 0)v( x) 絕對連續(xù)，v( x) l2( 0，1) ，v( 0)= u( 1) =0，= v( 1) =0，a ui du， d : u( x) 絕對連續(xù)，u( x) l ( 0，1) ，a2dxu( 0) = u( 1)則 a 就是自 伴 的 還有另一種選擇，即 將 算 符 a義在 l2 ( 0，1) 的另一類子空間上:定= 0，它不是自伴的，然而卻是厄米的進(jìn)一步的結(jié)論是:3) 有界的厄米算符一定自伴a ui du， d : u( x) 絕對連續(xù)，u(