上海市虹口區(qū)高三5月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1、虹口區(qū)2014屆高三5月模擬考試（三模）數(shù)學(xué)學(xué)科（理科）（時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、填空題（每小題4分，滿分56分）1、是第二象限角，則是第 象限角 分析： 一或三2、復(fù)數(shù)滿足，則此復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程是 .分析：3、已知全集，集合, 若，則實(shí)數(shù)的值為 .分析：，則4、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為 .分析： 設(shè)底面半徑為，則它們的高 ，則.5、已知，則的值為 . 分析： 設(shè)，即， 則. 6、定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， （為常數(shù)），則的值為 .分析：，則,，當(dāng)時(shí)，.7、公差不為零的等差數(shù)列中，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則等于

2、.分析： 等差數(shù)列中，則，取，.8、已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是數(shù)列中的第 項(xiàng)分析： 209、已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與軸的非負(fù)半軸重合.若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，則直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 .分析：；注意參數(shù)方程中10、一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種 .分析：設(shè)取紅球個(gè)，白球個(gè)，則 ，取法為. 11、棱長(zhǎng)為1的正方體及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，集合,則集合構(gòu)成的幾何體表面積為 .分析： .12、是雙曲線的右支上一點(diǎn)，、分別是圓和上的點(diǎn)，則的最

3、大值等于 .分析：兩個(gè)圓心正好是雙曲線的焦點(diǎn)，再根據(jù)雙曲線的定義得 的最大值等于9.13、設(shè)為實(shí)數(shù)，且滿足：，則 .分析：，令，則是遞增函數(shù)，且則，即.14、在區(qū)間上，關(guān)于的方程解的個(gè)數(shù)為 分析：令，則，化為考察的上半圓與函數(shù)的圖象可知有一個(gè)公共點(diǎn)，故關(guān)于的方程有個(gè)解.二、選擇題（每小題5分，滿分20分）15、已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的虛部為（ ）、 、 、 、分析：則，選.16、“”是“函數(shù)（）在區(qū)間上為增函數(shù)”的( )、充分不必要條件 、必要不充分條件、充要條件 、既不充分也不必要條件分析：時(shí)，在上為增函數(shù)；反之，在區(qū)間上為增函數(shù)，則，故選.17、如果函數(shù)在上的最大值和最小值分別為、

4、，那么.根據(jù)這一結(jié)論求出的取值范圍（ ）.、 、 、 、分析：求在上的最值，選.18、如圖，已知點(diǎn)，正方形內(nèi)接于，、分別為邊、的中點(diǎn)，當(dāng)正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)時(shí)，的取值范圍是（ ） 、 、 、 、分析：且長(zhǎng)度為1，可設(shè)，然后用坐標(biāo)求解.也可以，答案選.三、解答題（滿分74分）19、（本題滿分12分）如圖，直四棱柱底面直角梯形，是棱上一點(diǎn)，.（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面.解：（1）以原點(diǎn)，、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，.3分于是,異面直線與所成的角的大小等于.6分（2）過(guò)作交于，在中，則，10分，.又，平面.12分20、（本題滿分14分）已知數(shù)列和滿足：，其中為實(shí)數(shù)，為正整

5、數(shù).（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，求證：不成等比數(shù)列；（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.解（1）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，則有,即矛盾.所以不成等比數(shù)列.6分（2）因?yàn)?分又,所以當(dāng)，(為正整數(shù))，此時(shí)不是等比數(shù)列：11分當(dāng)時(shí)，由上式可知，(為正整數(shù)) ，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.14分21、（本題滿分14分）如圖，、是兩個(gè)小區(qū)所在地，、到一條公路的垂直距離分別為，兩端之間的距離為.（1）某移動(dòng)公司將在之間找一點(diǎn)，在處建造一個(gè)信號(hào)塔，使得對(duì)、的張角與對(duì)、的張角相等，試確定點(diǎn)的位置.（2）環(huán)保部門將在之間找一點(diǎn)，在處建造一個(gè)垃圾處理廠，使得對(duì)、所張角最大，試確定點(diǎn)的

6、位置.解：（1）設(shè)，.依題意有，.3分由，得，解得，故點(diǎn)應(yīng)選在距點(diǎn)2處.6分（2）設(shè)，.依題意有，10分令，由，得，12分，當(dāng)，所張的角為鈍角，最大角當(dāng)，即時(shí)取得，故點(diǎn)應(yīng)選在距點(diǎn)處.14分22、（本題滿分16分）閱讀：已知、，求的最小值.解法如下：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，則的最小值為.應(yīng)用上述解法，求解下列問題：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最小值；（3）已知正數(shù)、，求證：.解（1），2分而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，則，即的最小值為.5分（2），7分而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，則，所以函數(shù)的最小值為.10分（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，則.16分23、（本題滿分18分）已知函數(shù)常數(shù)）滿足.（1）求出的值，并就常數(shù)的不同取值討論函數(shù)奇偶性；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最小值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列，使得成立.解：（1）由得，解得.從而，定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意，有，為偶函數(shù)2分當(dāng)時(shí)，從而，不是奇函數(shù)；，不是偶函數(shù)，非奇非偶.4分（2）對(duì)于任意的，總有恒成立，即，得.6分，從而.又，的最小值等于.10