《二次根式》教材分析.docx

1、二次根式教材分析1一、本章地位與作用本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”的基礎(chǔ)內(nèi)容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三類(lèi)重要代數(shù)式，也是“實(shí)數(shù)”之后對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)的深化本章內(nèi)容具有極強(qiáng)的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前，意在為解二次方程做好準(zhǔn)備；本學(xué)期安排本章在“勾股定理”之前，能為解任意直角三角形的三邊數(shù)值掃清障礙整式應(yīng)用式分式勾股定理二次根式（解直角三角形）數(shù)算術(shù)平方根a(a 0)一元二次方程二、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)歸納二次根式定義性質(zhì)乘除運(yùn)算最簡(jiǎn)二次根式a (a0)加減運(yùn)算* 同類(lèi)二次根式三、課標(biāo)及中考要求【課標(biāo)要求】了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念，了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)

2、）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算（不要求進(jìn)行根號(hào)下含字母的二次根式的四則運(yùn)算，如a3b ，b2ab等）【中考要求】考試要求AB二次根式了解二次根式的概念，能根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)代數(shù)式作簡(jiǎn)單及其性質(zhì)會(huì)確定二次根式有意義的條件變形；能在給定條件下，確定字母的值二次根式的理解二次根式的加、減、乘、會(huì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)， 會(huì)進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)和運(yùn)算除運(yùn)算法則的混合運(yùn)算（不要求分母有理化）1參考了之前幾次同題教材分析稿，例題也大多沿用之。四、課時(shí)安排建議21 1二次根式約 2課時(shí)21 2二次根式的乘除約 2課時(shí)21 3二次根式的加減約 34 課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)與小結(jié)約2課時(shí)五、全章教學(xué)建

3、議1 注意本章內(nèi)容的 “工具性”二次根式相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)是為后續(xù)勾股定理、二次方程的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，因此應(yīng)重點(diǎn)落實(shí)二次根式的性質(zhì)、化簡(jiǎn)和計(jì)算（特別是實(shí)數(shù)的化簡(jiǎn)和計(jì)算）的準(zhǔn)確性，提高學(xué)生的計(jì)算能力盡管課本中的例題相對(duì)簡(jiǎn)單，但不要忽視它們?cè)趯W(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程所起的過(guò)渡作用非實(shí)驗(yàn)班不建議在此補(bǔ)充涉及代數(shù)式化簡(jiǎn)、運(yùn)算技巧的內(nèi)容（如分母有理化等），相應(yīng)地，學(xué)探診測(cè)試6 第 6 題及之后的題目可不作為基本教學(xué)要求2 從提出二次根式的概念開(kāi)始，就注意強(qiáng)化“二次根式在一定條件下才有意義”這一觀念避免教材第 7 頁(yè)小貼士“在本章中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有的字母都表示正數(shù)”給學(xué)生帶來(lái)的誤解和誤導(dǎo)總有為數(shù)不少的學(xué)生將

4、二次根式有意義的“非負(fù)性”條件誤記為“正性”條件，可能與此有關(guān)3 注意對(duì)“實(shí)數(shù)”一章知識(shí)的復(fù)習(xí)，體現(xiàn)“數(shù)式通性”的原則；注意與“整式”、“分式”相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，相關(guān)結(jié)論可以類(lèi)比記憶4 注意教材和學(xué)探診中，有些題目需要用到勾股定理，可先回避六、各小節(jié)教學(xué)建議211二次根式（ 1）實(shí)例引入，注意復(fù)習(xí)開(kāi)平方、算術(shù)平方根的概念和符號(hào)表示（ 2）二次根式的形式定義：建議不要把精力放在辨別一個(gè)式子是否為二次根式上，而應(yīng)該側(cè)重于理解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù) （不要誤記為正數(shù)）的要求例如，2 是二次根式嗎？按本人的理解，2 作為單獨(dú)一個(gè)數(shù)應(yīng)屬于單項(xiàng)式，非二次根式學(xué)探診92 頁(yè)第 6 題：下列各式中， 一定是二次根式的

5、是： （ A）32(0.3)22x ，BCD（ ）（ ）（ ）答案 B本人認(rèn)為題干應(yīng)該改為“下列各二次根式一定有意義的是”總之，真正該提醒學(xué)生的是“數(shù)式通性”：如果被開(kāi)方數(shù)是一個(gè)常數(shù)，那么它不可以是負(fù)數(shù)；如果被開(kāi)方數(shù)含字母，那么它有取值范圍的限制（與分式類(lèi)似）（ 3）二次根式（根號(hào)）的雙重非負(fù)性：a0, (a0) ；（ 4）教材要求掌握的公式： ( a )2a ( a0) ， a2a ( a 0) ，建議授課時(shí)提高要求，理解并掌握a 2aa(a 0)a(a0)a2 與 ( a ) 2 的對(duì)比： 運(yùn)算順序不同： ( a )2是先求算術(shù)平方根再平方，a2是先平方再求算術(shù)平方根； a 的取值不同：

6、( a )2中 a 的取值是 a0 ，而 a 2中 a 的取值是任意實(shí)數(shù)； 運(yùn)算結(jié)果不同： ( a )2= a （ a0 ）；a2=| a |a(a0)a(a0)（ 5）代數(shù)式的概念：建議適當(dāng)補(bǔ)充一些代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)規(guī)范（如果之前沒(méi)有講過(guò)）例 1：當(dāng) x 是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（ 1） x 1 ； （2） 1x ； （ 3）1； （4）1x1x1答案：（ 1） x 1； （ 2） x 1； （3） x1 ；（ 4） x0 且 x1 提高題：求下列函數(shù)解析式中自變量x 的取值范圍：（ 1） yx2 3 2x ；（2） yx 1；1x（ 3） y2 x1 ；（ 4） yx22x

7、2 | x |2答案：（ 1） 2x30 且 x1；（ 3） x12 ；（ 4）全體實(shí)數(shù)；（ 2） x且 x22例 2 ：若 x、 y 為實(shí)數(shù)，且 y x2 2x 3求 yx 的值（yx=9）例 3 ：判斷下列等式是否成立：(1) (19) 219()(2) (19) 219()(19)219()2a b()(3)(4)a b(5)( ab) 2a b()(6) aa2 (a0)().答案：（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）；（ 5）；（ 6）例 4 ：已知 a, b, c 為三角形的三邊，則(a bc)2(bc a) 2(b c a) 2= （ a b c ）212 二次根式的乘除（ 1

8、）從具體到抽象，歸納得出乘法公式：abab (a0, b0)理解二次根式乘除運(yùn)算法則的合理性：可與an bn(ab)n 做形式上的類(lèi)比；* 可以利用算術(shù)平方根的定義進(jìn)行推理證明：222a 0, b 0 ， a bab a babab 且從公式的適用范圍看，包括了某些字母取0 的情況；為降低難度，如果遇到純二次根式化簡(jiǎn)問(wèn)題，可以默認(rèn)為字母都表示正數(shù)；當(dāng)涉及字母的取值范圍問(wèn)題時(shí)，不能認(rèn)為字母都是正數(shù)（ 2）公式的逆用：abab (a0, b0) ；能利用這條性質(zhì)對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)注意學(xué)生不易理解“開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式”的含義，教材在第8 頁(yè)小貼士的解釋?zhuān)嚎梢蚤_(kāi)方后移到根號(hào)外的因數(shù)或因式在這里，不妨

9、多舉一些例子，讓學(xué)生明確在化簡(jiǎn)時(shí)，一般先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解或因式分解，然后再將能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)初步總結(jié)乘法運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)滿(mǎn)足以下兩個(gè)要求：結(jié)果是一個(gè)二次根式，或單項(xiàng)式乘以二次根式；也可能沒(méi)有根號(hào)，只是單項(xiàng)式；根號(hào)下不再有 “開(kāi)得盡的因數(shù)或因式”（ 3）除法公式及逆用：aa (a 0,b0) ，aa ( a 0, b 0)bbbb注意 b 0 的條件；anan得出此公式；可以通過(guò)歸納、或證明、或類(lèi)比bbn對(duì)于二次根式的除法運(yùn)算和二次根式的化簡(jiǎn)，應(yīng)讓學(xué)生一題多解，一方面是熟悉二次根式性質(zhì)、運(yùn)算法則和方法，另一方面，通過(guò)一題多解，總結(jié)做題經(jīng)驗(yàn)，使運(yùn)算更靈活、更簡(jiǎn)潔如3335151533

10、51515555 552；555 (5)25588 2a4 a 2 a82 222 a2 a2a2a2a2a；2a2 aaa aaa又如 2121212222 ；22222211(2) 22； 2122112 22222422如果學(xué)生覺(jué)得不易靈活運(yùn)用，也可總結(jié)為更易操作的“算法”：a 型即a 型，所有a 的轉(zhuǎn)化為aabab 再化簡(jiǎn)；bbbbbbb或者：a 型即a型，所有的a 轉(zhuǎn)化為abab 再化簡(jiǎn)bbbbbb用具體的實(shí)例歸納總結(jié)出把一個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的方法技巧如：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)較大時(shí)，可用分解因數(shù)的辦法將被開(kāi)方數(shù)盡可能寫(xiě)成完全平方數(shù)的乘積形式至此學(xué)生應(yīng)能對(duì)12,1 , 12.5, 等常見(jiàn)

11、數(shù)值進(jìn)行化簡(jiǎn)3總之，學(xué)生在化簡(jiǎn)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性和準(zhǔn)確性上都容易出現(xiàn)問(wèn)題，因此建議在教學(xué)過(guò)程中先要求學(xué)生觀察二次根式的特點(diǎn)，根據(jù)其特點(diǎn)分析運(yùn)用哪條性質(zhì)、哪種方法來(lái)解答，每步運(yùn)算的根據(jù)的什么，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和觀察能力，以及計(jì)算的目的性和條理性（ 4）最簡(jiǎn)二次根式的概念：不要求學(xué)生背出定義，關(guān)鍵是遇到實(shí)際式子能夠加以判斷，讓學(xué)生在練習(xí)中熟悉這個(gè)概念，同時(shí)明確二次根式的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)二次根式例 5：計(jì)算：（ 1）35； （2）127314274451）3； （； （ ）5例 6：化簡(jiǎn)：（ 1）8 ；（ 2）12 ；（ 3）18 ；（ 4）24（5） 28 ；（6） 32 ；（7） 48 ；（8）

12、50 ；（ 9）16ab2c3；（10） 35 210 例 7：計(jì)算：（ 1）24；（ 2）31；（ 3）3；（ 4）25 y；32181009x2（ 5）1 ；（6） 32 ；（ 7）1 ；（8）3 2； （9）8 238272a例 8：計(jì)算：（ 1） 22312 ；（ 2）75( 612) 例 9：已知21.414 ，求 200,0.0002,10.72 的近似值（保留3 個(gè)有效數(shù)字） ,8213二次根式的加減（ 1）教材采用了“被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式”的說(shuō)法；為簡(jiǎn)潔明了，建議還是類(lèi)比同類(lèi)項(xiàng)的概念給出“同類(lèi)二次根式” 的概念，能通過(guò)實(shí)例判斷幾個(gè)二次根式是不是同類(lèi)二次根式， 注意強(qiáng)調(diào)先化

13、簡(jiǎn)的重要性 例如，分成幾個(gè)小問(wèn)題： 把被開(kāi)方數(shù)都是整數(shù)的放在一個(gè)小題中， 把被開(kāi)方數(shù)都是分?jǐn)?shù)的放在一個(gè)小題中， 把被開(kāi)方數(shù)帶有簡(jiǎn)單字母的放在一個(gè)小題中， 把字母次數(shù)略高于2 的放在一個(gè)小題中， 使問(wèn)題的解決有一個(gè)由淺入深的漸進(jìn)過(guò)程，最終再給出類(lèi)似a21 和 12a3 的例子3a（ 2）明確二次根式的加減法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)二次根式，這與整式加減的實(shí)質(zhì)類(lèi)似加減法的練習(xí)也同樣可細(xì)分成幾個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)例如： 不需要化簡(jiǎn)能直接進(jìn)行相加減的， 需要化簡(jiǎn)但被開(kāi)方數(shù)都是簡(jiǎn)單整數(shù)的， 被開(kāi)方數(shù)都是有理數(shù)但既有整數(shù)又有分?jǐn)?shù)的， 被開(kāi)方數(shù)含有字母的，等等加減運(yùn)算中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型有： 運(yùn)算結(jié)果含有28 或類(lèi)似

14、的式子； 運(yùn)算過(guò)程中有49 23或313 或類(lèi)似的問(wèn)題；44 運(yùn)算過(guò)程中有235或 11222 或類(lèi)似的問(wèn)題33（ 4）二次根式的混合運(yùn)算教材利用小貼士類(lèi)比了它與實(shí)數(shù)、整式運(yùn)算的聯(lián)系:第 14 頁(yè) : “在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍成立”；第 17 頁(yè) : “在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用”分析式子結(jié)構(gòu)，明確運(yùn)算順序；關(guān)注乘法公式和運(yùn)算律的應(yīng)用；計(jì)算少跳步，避免類(lèi)似535 316， 222=8 之類(lèi)的典型錯(cuò)誤例 10計(jì)算：（ 1） 82（2） 4545842（ ）281181 32；（ 4）212 413 48；32427（5） 8322（ 6） ( 1)0

15、12312（7） 18280（8） 2412216225 1238例 11計(jì)算：（1） (5 48627415)3（ 2） (6 x2x1 )3 x4x（3）1 10(315 56)（4）33 26 3152（5）( 848)( 212)( 23) 2（6） (2332 )(233 2 )（7） (4 3 5)2（8） (56)(5 2 2 3)（9） (310)15 (310)15（10） (2 3326)(23 326)(11)21(31)（12） 2ab5(3a 3b )3b31b2a22（ 13） (4ba 23) (3b9 )（ 14）1313ba baab22aa2222（15）1

16、2131213（ 16） ab a b a b2 （ a 0， b 0）bab a例 12一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 2cm ，寬為3cm ，高為2cm ，則它的表面積為cm2 ，體積為cm3 （ 86 6，4 3）例 13若8 11的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是 b，則 2abb2（ 5）章節(jié)復(fù)習(xí)及綜合（ 1）條件求值類(lèi)題目：例 14甲、乙兩人對(duì)題目“求值：11a 22 ，其中 a1”有不同的解答，aa 25甲的解答： 11a221( 1a)211a2a49，aa2aaaaa5乙的解答： 11a221( a1 ) 21a1a1 ，aa 2aaaa5誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的？為什么？例 15（ 1）如果 ab4a

17、2b5 ，那么 a2b=_（ 2）若實(shí)數(shù)x，y 滿(mǎn)足x2y223 y30 ，則 xy 的值是 例 16 已知 : a110， 求 a212 的值 （6）aa 已知:x175，y12xy + y2的值11）275 ， 求 x（22（ 2） 尋找規(guī)律、現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)類(lèi)：例 17已知下列等式：991910，9999199100 ，999 99919991000 ， 根據(jù)上述等式的特點(diǎn)，請(qǐng)你寫(xiě)出第四個(gè)等式，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證等式的正確性； 觀察上述等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出第n 個(gè)等式（允許寫(xiě)成 9999 的形式）n個(gè) 9例 18觀察下列等式：12121；13232 ；21(21)(21)32 ( 32)( 32)1

18、4343 ；43(43)(43)回答下列問(wèn)題： 利用你觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：1；2322 計(jì)算：111.1（ 9）22332199100例 19有這樣一類(lèi)題目：將a2 b 化簡(jiǎn)，若你能找到兩個(gè)數(shù)m 和 n ，使m2n2a 且 mnb ，則a2 b 可變?yōu)?m2n22mn ，即變成 (mn)2 開(kāi)方，從而使得a2b 化簡(jiǎn)例如：5 26=3 2 26=(3)2( 2)2223(32)2，526(32) 232請(qǐng)仿照上例解下列問(wèn)題：（ 1）52 6；（2） 4 23七、 * 拓展專(zhuān)題（ 1）分母有理化：例 20化簡(jiǎn)：1，1，31 ，ab()323231aa bb例 21計(jì)算：111.1)( 2008 1)(13243200822007（ 2）二次根式比較大小：例 22比較大?。海?1）3 與 2 2 （平方法）（ 2） 5 7 與 6 5 （被開(kāi)方數(shù)）（ 3）1與1（分母有理化）7553