中考數(shù)學(xué)壓軸題(附詳解答案)

1、 中考數(shù)學(xué)壓軸題（黃岡市2011）24（14分）如圖所示，過點(diǎn)f（0，1）的直線y=kxb與拋物線交于m（x1，y1）和n（x2，y2）兩點(diǎn)（其中x10，x20）fmnn1m1f1oyxl第22題圖求b的值求x1x2的值分別過m、n作直線l：y=1的垂線，垂足分別是m1、n1，判斷m1fn1的形狀，并證明你的結(jié)論對(duì)于過點(diǎn)f的任意直線mn，是否存在一條定直線m，使m與以mn為直徑的圓相切如果有，請(qǐng)法度出這條直線m的解析式；如果沒有，請(qǐng)說明理由答案：24解：b=1顯然和是方程組的兩組解，解方程組消元得，依據(jù)“根與系數(shù)關(guān)系”得=4m1fn1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由題知m1的橫坐標(biāo)為x1

2、，n1的橫坐標(biāo)為x2，設(shè)m1n1交y軸于f1，則f1m1f1n1=x1x2=4，而ff1=2，所以f1m1f1n1=f1f2，另有m1f1f=ff1n1=90，易證rtm1ff1rtn1ff1，得m1ff1=fn1f1，故m1fn1=m1ff1f1fn1=fn1f1f1fn1=90，所以m1fn1是直角三角形存在，該直線為y=1理由如下：fmnn1m1f1oyxl第22題解答用圖pq直線y=1即為直線m1n1如圖，設(shè)n點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則（黃石市2011年）24.（本小題滿分9分）已知與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，為上一點(diǎn)（不與，重合），直線與交于另一點(diǎn)。（1）如圖（8），若是的直徑，求證：；（2）如圖

3、(9)，若是外一點(diǎn)，求證：；（3）如圖（10），若是內(nèi)一點(diǎn)，判斷（2）中的結(jié)論是否成立。 答案：24（9分）證明：（1）如圖（一），連接，為的直徑 為的直徑 在上又，為的中點(diǎn)是以為底邊的等腰三角形（3分）（2）如圖（二），連接，并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連四邊形內(nèi)接于 又 又為的直徑 （3分）（3）如圖（三），連接，并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連 又 又（3分）（黃石市2011年）25.（本小題滿分10分）已知二次函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的增大而減小，求的取值范圍。（2）以拋物線的頂點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形（，兩點(diǎn)在拋物線上），請(qǐng)問：的面積是與無關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由。（3）若

4、拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)的值。xy0a答案：25（10分）解：（1）由題意得，（3分）（2）根據(jù)拋物線和正三角形的對(duì)稱性，可知軸，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與交于點(diǎn)，則。設(shè)又 ，定值（3分）xy0anbm（3）令，即時(shí)，有由題意，為完全平方數(shù)，令即為整數(shù)， 的奇偶性相同或解得或綜合得（2011年廣東茂名市）第24題圖如圖，p與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)o（0，0），與軸相交于點(diǎn)a（5，0），過點(diǎn)a的直線ab與軸的正半軸交于點(diǎn)b，與p交于點(diǎn)c（1）已知ac=3，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （分） （2）若ac=, d是o的中點(diǎn)問：點(diǎn)o、p、c、d四點(diǎn)是否在同一圓上？請(qǐng)說明理由如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個(gè)圓的圓心為，

5、函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的值（用含的代數(shù)式表示） （分） 解：第24題備用圖六、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）24、解：（1）解法一：連接oc，oa是p的直徑，ocab， 在rtaoc中，1分 在 rtaoc和rtabo中，cao=oab rtaocrtabo，2分 ，即， 3分 ， 4分 解法二：連接oc，因?yàn)閛a是p的直徑， aco=90在rtaoc中，ao=5，ac=3，oc=4， 1分過c作ceoa于點(diǎn)e，則：，即：，2分 ，3分設(shè)經(jīng)過a、c兩點(diǎn)的直線解析式為： 把點(diǎn)a（5，0）、代入上式得： ， 解得：， ， 點(diǎn) 4分（2）點(diǎn)o、p、c、d四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，理由如下：連接cp、

6、cd、dp，ocab，d為ob上的中點(diǎn)， ，3=4，又op=cp，1=2，1+3=2+4=90，pc cd，又doop，rtpdo和rtpdc是同以pd為斜邊的直角三角形，pd上的中點(diǎn)到點(diǎn)o、p、c、d四點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)o、p、c、d在以dp為直徑的同一個(gè)圓上； 6分由上可知，經(jīng)過點(diǎn)o、p、c、d的圓心是dp的中點(diǎn)，圓心，由（1）知：rtaocrtabo，求得：ab=，在rtabo中，od=，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上， 8分（2011年廣東茂名市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，4)，b(1，0)，c（5，0），拋物線對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)m（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸； （3分）（2）

7、設(shè)點(diǎn)p為拋物線（）上的一點(diǎn)，若以a、o、m、p為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長(zhǎng)度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)p的坐標(biāo)； （2分）（3）連接ac探索：在直線ac下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)n，使nac的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)n的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說明理由 （3分）第25題圖解：25、解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為，1分 把點(diǎn)a（0，4）代入上式得：， ，2分 拋物線的對(duì)稱軸是：3分（2）由已知，可求得p（6，4） 5分提示：由題意可知以a、o、m、p為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊ao=4、om=3，又知點(diǎn)p的坐標(biāo)中，所以，mp2,ap2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不

8、符合題意，所以四條邊的長(zhǎng)只能是3、4、5、6的一種情況，在rtaom中，因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱軸過點(diǎn)m，所以在拋物線的圖象上有關(guān)于點(diǎn)a的對(duì)稱點(diǎn)與m的距離為5，即pm=5，此時(shí)點(diǎn)p橫坐標(biāo)為6，即ap=6；故以a、o、m、p為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長(zhǎng)度分別是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，即p（6，4）5分（注：如果考生直接寫出答案p（，），給滿分2分，但考生答案錯(cuò)誤，解答過程分析合理可酌情給1分） 法一：在直線ac的下方的拋物線上存在點(diǎn)n，使nac面積最大設(shè)n點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)n（，過點(diǎn)n作ng軸交ac于g；由點(diǎn)a（0，4）和點(diǎn)c（5，0）可求出直線ac的解析式為：；把代入得：，則g，此時(shí)：ng=-

9、（）， = 分當(dāng)時(shí)，can面積的最大值為，由，得：，n（， -3） 8分法二：提示：過點(diǎn)n作軸的平行線交軸于點(diǎn)e，作cfen于點(diǎn)f，則（再設(shè)出點(diǎn)n的坐標(biāo)，同樣可求,余下過程略）（重慶市潼南縣2011年）26.（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，abc是直角三角形,acb=90,ac=bc,oa=1，oc=4，拋物線經(jīng)過a，b兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為d（1）求b,c的值；（2）點(diǎn)e是直角三角形abc斜邊ab上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)a、b除外)，過點(diǎn)e作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)f，當(dāng)線段ef的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)e的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：求以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點(diǎn)p，使efp是以ef為

10、直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.26. 解：（1）由已知得：a（-1，0） b（4，5）-1分二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)a（-1，0）b(4,5) -2分解得：b=-2 c=-3-3分（2如題圖：直線ab經(jīng)過點(diǎn)a（-1，0） b(4,5)直線ab的解析式為：y=x+1二次函數(shù)設(shè)點(diǎn)e(t， t+1),則f（t，） -4分ef= -5分 =當(dāng)時(shí)，ef的最大值=點(diǎn)e的坐標(biāo)為（，）-6分（3）如題圖：順次連接點(diǎn)e、b、f、d得四邊形 可求出點(diǎn)f的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)d的坐標(biāo)為（1，-4） s=s+s =題備用圖 = -9分如題備用圖：)過點(diǎn)e作aef交拋物線于點(diǎn)p,設(shè)點(diǎn)p(m

11、,)則有： 解得:, ,）過點(diǎn)f作bef交拋物線于，設(shè)（n，）則有： 解得： ，（與點(diǎn)f重合，舍去）綜上所述：所有點(diǎn)p的坐標(biāo)：，（. 能使efp組成以ef為直角邊的直角三角形-12分（江蘇省宿遷市2011年）26（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p是反比例函數(shù)y（x0）圖象上的任意一點(diǎn)，以p為圓心，po為半徑的圓與x、y軸分別交于點(diǎn)a、b（1）判斷p是否在線段ab上，并說明理由；（2）求aob的面積；（第26題）（3）q是反比例函數(shù)y（x0）圖象上異于點(diǎn)p的另一點(diǎn)，請(qǐng)以q為圓心，qo 半徑畫圓與x、y軸分別交于點(diǎn)m、n，連接an、mb求證：anmb解：（1）點(diǎn)p在線段a

12、b上，理由如下： 點(diǎn)o在p上，且aob90ab是p的直徑點(diǎn)p在線段ab上（2）過點(diǎn)p作pp1x軸，pp2y軸，由題意可知pp1、pp2是aob的中位線，故saoboaob2 pp1pp2 p是反比例函數(shù)y（x0）圖象上的任意一點(diǎn)saoboaob2 pp12pp22 pp1pp212（3）如圖，連接mn，則mn過點(diǎn)q，且smonsaob12oaobomonaonmobaonmoboanombanmb（江蘇省宿遷市2011年）27（本題滿分12分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形abcd中，p為ab的中點(diǎn)，q為邊cd上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)dqt（0t2），線段pq的垂直平分線分別交邊ad、bc于點(diǎn)m、n，過q作qe

13、ab于點(diǎn)e，過m作mfbc于點(diǎn)f （1）當(dāng)t1時(shí)，求證：peqnfm； （2）順次連接p、m、q、n，設(shè)四邊形pmqn的面積為s，求出s與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值（第27題）解：（1）四邊形abcd是正方形abd90，adabqeab，mfbcaeqmfb90 四邊形abfm、aeqd都是矩形 mfab，qead，mfqe 又pqmneqpfmn又qepmfn90peqnfm （2）點(diǎn)p是邊ab的中點(diǎn)，ab2，dqaetpa1，pe1t，qe2由勾股定理，得pqpeqnfmmnpq又pqmnst2t0t2當(dāng)t1時(shí)，s最小值2綜上：st2t，s的最小值為2（江蘇省宿遷市2011年

14、）28（本題滿分12分）如圖，在rtabc中，b90，ab1，bc，以點(diǎn)c為圓心，cb為半徑的弧交ca于點(diǎn)d；以點(diǎn)a為圓心，ad為半徑的弧交ab于點(diǎn)e（1）求ae的長(zhǎng)度；（第28題）（2）分別以點(diǎn)a、e為圓心，ab長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)f（f與c在ab兩側(cè)），連接af、ef，設(shè)ef交弧de所在的圓于點(diǎn)g，連接ag，試猜想eag的大小，并說明理由解：（1）在rtabc中，由ab1，bc得 ac bccd，aeadaeacad （2）eag36，理由如下： fafeab1，aefae是黃金三角形f36，aef72aeag，fafefaefeaageaegfeaeagf36（2011年廣東?。?0

15、如圖(1)，將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形afbdce，它的面積為1；取abc和def各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形a1f1b1d1c1e1，如圖(2)中陰影部分；取a1b1c1和d1e1f1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形a2f2b2d2c2e2，如圖(3)中陰影部分；如此下去，則正六角星形a4f4b4d4c4e4的面積為_ 題10圖（1）a1bcdafebcdafebcdafeb1c1f1d1e1a1b1c1f1d1e1a2b2c2f2d2e2題10圖（2）題10圖（3）答案：（2011年廣東?。?1如圖（1），abc與efd為等腰直角三角形，ac與de重合，ab=ac=ef=9，bac

16、=def=90，固定abc，將def繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)df邊與ab邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)de，df(或它們的延長(zhǎng)線)分別交bc(或它的延長(zhǎng)線) 于g，h點(diǎn)，如圖(2)題21圖(1)bhfa（d）gcec（e）bfa（d）題21圖(2)（1）問：始終與agc相似的三角形有 及 ；（2）設(shè)cg=x，bh=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由）（3）問：當(dāng)x為何值時(shí)，agh是等腰三角形.（1）、hab hga；（2）、由agchab，得ac/hb=gc/ab，即9/y=x/9，故y=81/x (0x)（3）因?yàn)椋篻ah= 45當(dāng)gah= 4

17、5是等腰三角形.的底角時(shí)，如圖（1）：可知cg=x=/2當(dāng)gah= 45是等腰三角形.的頂角時(shí), 如圖（2）：由hgahab知：hb= ab=9，也可知bg=hc，可得：cg=x=18-b（d）afeg（h）cb（d）afeghc 圖（1） 圖（2） （2011年涼山州）如圖，拋物線與軸交于（，0）、（，0）兩點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，其中是方程的兩個(gè)根。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在（1）中拋物線上，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。yxobmnca28題圖28（1），。，。1分又拋物線過