2018年優(yōu)課系列高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2 4.1定積分的概念 課件4

1、定積分的概念定積分的概念v兩個實例兩個實例v定積分的定義定積分的定義v定積分的存在定理定積分的存在定理v定積分的幾何意義定積分的幾何意義v定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)abxyo? A實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy 一、兩個實例一、兩個實例abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）1xix1ixxab

2、yo解決步驟解決步驟 :1) 分割分割:在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 近似近似:在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,iA得1()(1,2,)iiiiiiAfxxxxini3) 求和求和:niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限: 令, max1inix則曲邊梯形面積niiAA1niiixf10)(limxabyo1xix1ixiix1 ix1xi 2x1 1 化整為零化整為零2 2 以直代曲以直代

3、曲 ( (以常代變以常代變) )iiixfA)(3 3 積零為整積零為整yxoy=f (x)1nxniiixfA1)(ab.分法越細，越接近精確值分法越細，越接近精確值 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積f ( i).ix1 ixi 4 4 取極限取極限yxoy=f (x)令分法無限變細令分法無限變細.ab.分法越細，越接近精確值分法越細，越接近精確值1 1 化整為零化整為零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代變以常代變) )3 3 積零為整積零為整niiixfA1)(iiixfA)(f ( i) 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積ix1 ixi 4 4 取極限取極限yxoy=f (x)令分法無限變細令

4、分法無限變細.分法越細，越接近精確值分法越細，越接近精確值1 1 化整為零化整為零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代變以常代變) )3 3 積零為整積零為整niiixfA1)(iiixfA)(f ( i)niiixf10)(limA =.A.ab 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 設(shè)某物體作直線運動，已知速度設(shè)某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程. 實例實例2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 思路：把整段時間分割成若干個小段，每

5、思路：把整段時間分割成若干個小段，每小段上速度看作不變。求出各小段的路程小段上速度看作不變。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通過再相加，便得到路程的近似值。最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值。對時間的無限細分過程求得路程的精確值。tO T1T2 t0t1tn1 tn=ititi1 iiitvsni, 2 , 1第第i段路程值段路程值第第i段某時刻的速度段某時刻的速度 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 niiixfA10liminix1max （1）分割（2）近似 （3）求和（4）取極限變速直線運動的路程變速直線運動的路程 niiitvS10liminit1max(i1,

6、2, n), niiixf1)( 作和maxx1, x2,xn; 在小區(qū)間xi1, xi上任取一點i 記xi=xi-xi1 (i1, , n), 個分點: ax0 x1x2 xn1xnb; 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界. 極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和i的取法無關(guān), 則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記為badxxf)( niiibaxfdxxf10)(lim)( 即 二、定積分的定義二、定積分的定義在區(qū)間a, b內(nèi)插入n-1如果當(dāng)0時, 上述和式的此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分

7、下限積分下限積分上限積分上限積分區(qū)間積分區(qū)間,ba積分和積分和讀作“從a到b函數(shù)f(x)的定積分”曲邊梯形面積曲邊梯形面積A：變速運動的路程變速運動的路程 S：01lim( )niiiSvt dttvTT21記為記為01lim( )niiiAfx baf x dx記為記為關(guān)于定積分的說明：關(guān)于定積分的說明：求導(dǎo)有如下的式子：求導(dǎo)有如下的式子：x dxxfdxd badxxfdxd（）定積分只與被積函數(shù)、積分上、下限有關(guān)，而與積（）定積分只與被積函數(shù)、積分上、下限有關(guān)，而與積記號無關(guān)，即記號無關(guān)，即 dxxfba dttfba ;duufba（）定積分表示一個數(shù)，而不定積分是一個函數(shù)族，（）定積

8、分表示一個數(shù)，而不定積分是一個函數(shù)族，它們分別對它們分別對分變量的分變量的)(xf0例例1 1 計算計算.102dxxxyo1nini1(1)(1)分割分割1 , 0等分nixinxi1(2)(2)近似近似取nixii矩形面積nni12(3)(3)求和求和nnini121nnini121niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nn(4)取極限nnini121)12)(11 (61nndxx102nnini1lim210nninin1lim21)12)(11 (61limnnn31 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2

9、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界， 且最多只有有限個間段點，且最多只有有限個間段點， 則則)(xf在在三、定積分的存在定理三、定積分的存在定理區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .,( )0,ab f x baAdxxf)(,( )0,ab f x baAdxxf)(1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義12340幾何意義：幾何意義：積取負號軸下方的面在軸上方的面積取正號；在數(shù)和所圍的各部分面積的代直線的圖形及兩條軸、函數(shù)它是由xxbxaxxfx ,)( ab定積分幾何意義的應(yīng)用定積分幾何意義的應(yīng)用3 (7 1)18 1(28

10、) 3152 142817371(1)3dx41(2)2xdx21932200 xy2-33323(3)9x dx20(4)sin xdx定積分幾何意義的應(yīng)用定積分幾何意義的應(yīng)用 例例2 用定積分表示下列圖中陰影部分的面積用定積分表示下列圖中陰影部分的面積102 xdx1211 x dx 例例3 3 用定積分表示由用定積分表示由sinyx31,0,4xyx1o34341sinAxdx解：解：平面圖形如右圖所示平面圖形如右圖所示 所圍平面圖形的面積。所圍平面圖形的面積。 例例4 用定積分表示由用定積分表示由 所圍所圍 平面圖形的面積。平面圖形的面積。sinyx51,0,4xyx1o解：解：平面圖

11、形如右圖所示平面圖形如右圖所示54A211sinAxdxA1542sinAxdx 12AAA由圖可知由圖可知 因為因為541sinsinAxdxxdx所以所以若若 是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，則( )f x aaf x dx 0aaf x dx 02af x dx( )f x若若 是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則a-a對稱區(qū)間上的定積分對稱區(qū)間上的定積分-aa對定積分的對定積分的補充規(guī)定補充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時，時，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考

12、慮積分上下限的大小五、定積分的性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質(zhì)性質(zhì)1 1niiibaxfdxxf10)(lim)( babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2niiibaxfdxxf10)(lim)( bad

13、xxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則則假設(shè)假設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(l

14、im10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，niiibaxfdxxf10)(lim)( 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa

15、即即dxxfba )(dxxfba )(.性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa例例5 5比較下列各對積分值的大?。罕容^下列各對積分值的大小：(1)20sinxdx202sinxdx21ln xdx212ln xdx(1)因為在因為在2, 0, 1sin0 x.sinsin2xx 20sinxdx202sinxdx21lnxdx212ln xdx(2)和(2)和解解上上由推論知由推論知設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6 演示演示如如果果函