蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)單招試題測試版(附答案解析).doc

1、限時： 90 分鐘滿分： 122 分一、選擇題 (共 8 個小題，每小題5 分，共 40 分 )21與橢圓 x y21 共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程是 ()4x22x22A. 4 y 1B. 2 y 1x2y22y2C.331D x212解析：選 B橢圓 x4 y2 1 的焦點為 ( 3， 0)，因為雙曲線與橢圓共焦點，所以2排除 A、C.又因為雙曲線 x2 y2 1 經(jīng)過點 (2,1)，故排除 D.2已知圓 x2 y2 2x4y1 0 關(guān)于直線 2axby 20(a， bR) 對稱，則 ab的取值范圍是 ()11A. ，4B. 4， C. 1，0D. 0，144解析：選 A 由題意知

2、，圓的方程為(x 1)2(y 2)24，圓心坐標(biāo)為 ( 1,2)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程得2a 2b 2，即 ab 1，平方得1 a2 b2 2ab 4ab，1所以 ab 4.x2y223已知雙曲線 a2 b2 1 的一個焦點與拋物線y 4x 的焦點重合，且雙曲線的離心率等于5，則該雙曲線的方程為 ()A5x25y2x2y241B.5 41222C.yx 1D 5x24y 1545解析：選 A由題意得拋物線焦點為(1,0)，22ca2 b21 5ab 1.又 ea2 2aa a215， b2 452 5 2該雙曲線的方程為 5x 4y 1.4已知數(shù)列 an滿足： a122*)，那么使 an0，

3、 an1 n1(nN1aa的最大值為 ()A 4B5C24D25解析：選 C2222為首項， 1 為公差的等差數(shù)列， an 1 an1，數(shù)列 an是以 a1 1an2 1 (n 1)n，又 an，an n.an，n5，n0524.x2y25直線 yx 與橢圓C：a2b21 的交點在 x 軸上的射影恰好是橢圓的焦點，則橢圓 C 的離心率為 ()A.1 5B.1 5223 51C.2D.2設(shè)直線 y x 與橢圓 C： x22解析：選A2 y2 1在第一象限的交點為A，依題意有，ab點 A 的坐標(biāo)為 (c，c)，又因為點 A 在橢圓 C 上，故有c2c2222a2 21，因為 b a c ，所b以c

4、222 2c 2 1，所以 c4 3a2c2 a4 0，aac即 e4 3e2 1 0，所以 e51.26.設(shè)函數(shù) f(x)定義在實數(shù)集上，f(2 x)f(x)，且當(dāng) x1 時， f(x)ln x，則有()11A f 3f(2) f 211Bf 2f(2) f311C f 2 f 3 f(2)1 1 D f(2) f 2 f 3解析：選 C由 f(2 x) f(x)得 f(1 x) f(x 1)，即函數(shù)11f(x)的對稱軸為x 1，結(jié)合圖形可知f 2 f 3 0)的焦點 F 的直線 l 交拋物線于點 A、 B，交其準(zhǔn)線于點C，若 |BC|2|BF|，且 |AF |3，則此拋物線的方程為 ()A

5、 y2 9xBy26xC y2 3xD y2 3x解析：選 C過點 B 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B1，記準(zhǔn)線與 x 軸的交點為F 1，則依|BB1|BC| 222p2p題意得|FF 1|CF |3，所以 |BB1|3|FF 1| 3 ，由拋物線的定義得|BF| |BB1|3 .令ppA(x1 ，y1)、 B(x2， y2)，依題意知 F2， 0 ，可設(shè)直線 l 的方程為 y k x 2 .聯(lián)立方程y2 2px，2 222p消去 y 得 k2 2p(k2 2)xk p0，則 x x p k 2，x1 p.又2x412kx24x ，y k2pp112132由拋物線的定義知|AF | x1 2， |BF

6、| x2 2，則可得 |AF|BF | p，于是有32pp，解得 2p 3，所以此拋物線的方程是y2 3x.二、填空題 (共 6 個小題，每小題5 分，共 30 分 )9命題 “ ? xR,2 x290”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是3ax_解析： “ ? x R,2x2 3ax 9n0)的右焦點與拋物線y 8x 的焦點相同，離心率為2，則此橢圓的方程為_2212解析：因為拋物線y 8x的焦點坐標(biāo)是(2,0) ，由此得 m2，解得 m 4，由 nm2 2212，所以所求的橢圓方程是x2 y21.1612x2y2答案： 16 12 12112已知拋物線y ax 過點 A 4， 1 ，那么點 A

7、到此拋物線的焦點的距離為_解析：由題意知點A 在拋物線 y2ax 上，得 1 14a，所以 a 4，故 y2 4x.由拋物線的定義可知點A 到焦點的距離等于點A 到準(zhǔn)線的距離，所以點A 到此拋物線的焦點a15的距離為 xA 4 4 14.5答案： 413已知直線y k(x2)(k0)與拋物線 y2 8x 相交于 A、B 兩點， F 為拋物線的焦點，若 |FA |2|FB |，則 k 的值為.y2 8x，解析：直線 y k(x 2)恰好經(jīng)過拋物線y28x 的焦點 F (2,0)，由y k x 2 ，可得 ky2 8y 16k 0，因為 |FA | 2|FB |，所以 yA 2yB，則 yA yB

8、 2yB yB8k，所以 yB 8k，yAyB 16，所以 2y2B 16，即 yB 2 2，又因為 k0，故 k22.答案：2 22214設(shè)雙曲線x2y2的左、右頂點分別為A1、 A2，若點 P 為雙曲線ab 1(a0， b0)1右支上的一點，且直線PA1、 PA2 的斜率分別為 2、2，則雙曲線的漸近線方程為_解析：由題知 A1( a,0)，A2(a,0)設(shè)點 P(x0， y0)，y01y0x0y0x0a2?222則有y022 1，又由于點P 在雙曲線上，所以有：a2 21?x0 abx0 a 222x2222b2by0x00 ay0b1.所以雙曲線的漸近線方程b2 a2 1a2?x02

9、a2 a2 .由、可知 a2 1?ab 為 y axx.答案： yx三、解答題 (共 4 個小題，每小題13 分，共 52 分)315在ABC 中，角 A， B， C 所對的邊分別為a， b， c， A 2B， sin B 3 .(1)求 cos A 及 sin C 的值；(2)若 b2，求ABC 的面積解： (1)因為 A2B，所以 cos A cos 2B 1 2sin2 B.3因為 sin B 3 ，1 1 所以 cos A 1 233.由題意可知， A 2B,0A，所以 0B2)，3a2 43，則 a 4，其離心率為 2 ，故a2y2x2故橢圓 C2 的方程為164 1.(2)法一：

10、A，B 兩點的坐標(biāo)分別記為(xA， yA)， (xB， yB)，由 OB 2 OA 及 (1)知， O，A，B 三點共線且點A， B 不在 y軸上，因此可設(shè)直線AB 的方程為 ykx.將 ykx 代入 x2y2 1 中，得 (14k2)x2 4，424所以 xA1 4k2；2 2將 ykx 代入 16yx4 1 中，得 (4k2)x2 16，所以 xB216 2.4 k又由OB2OA ，得 xB2 4xA2，即16216 2，4 k1 4k解得 k 1，故直線AB 的方程為 yx 或 y x.法二： A， B 兩點的坐標(biāo)分別記為(xA， yA)， (xB，yB)，由 OB 2 OA 及 (1)

11、知， O， A，B 三點共線且點A， B 不在 y 軸上，因此可設(shè)直線AB 的方程為 ykx.2x222將 ykx 代入 4 y 1 中，得 (14k )x 4，所以24xA1 4k2，由 OB 2 OA ，2 16 2 16k2 得 xB 1 4k2， yB14k2，22y2x24k2將 xB， yB代入164 1 中，得 14k2 1，即 4k214k2，解得 k 1，故直線 AB 的方程為 yx 或 y x.18設(shè) A 是單位圓 x2 y2 1 上的任意一點， l 是過點 A 與 x 軸垂直的直線，D 是直線 l 與 x 軸的交點，點M 在直線 l 上，且滿足 |DM | m|DA|(m

12、 0，且 m1)當(dāng)點A 在圓上運動時，記點M 的軌跡為曲線C.(1)求曲線 C 的方程，判斷曲線C 為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標(biāo)；(2)過原點且斜率為k 的直線交曲線C 于 P， Q 兩點，其中P 在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線 QN 交曲線 C 于另一點 H .是否存在 m，使得對任意的k 0，都有 PQPH ？若存在，求m 的值；若不存在，請說明理由解： (1)如圖 1，設(shè) M (x， y)，A(x0， y0)，則由 |DM |m|DA|(m 0，且 m1)，可1得 x x0，|y|m|y0|，所以 x0 x， |y0|m|y|.因為 A 點在單位圓上運動，所以x02 y02

13、1.將式代入式即得所求曲線C 的方程為2y2x m21(m 0，且 m 1)因為 m (0,1) (1， )，所以當(dāng) 0m 1 時，曲線 C 是焦點在 x 軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為 ( 1 m2，0)， ( 1 m2， 0)；當(dāng) m 1 時，曲線 C 是焦點在y 軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為(0，m21)， (0，m21)(2)法一：如圖 2、 3， ? k0，設(shè) P(x1， kx1 )， H(x2， y2)，則 Q( x1， kx1)，N(0，kx1)，直線 QN 的方程為 y 2kx kx1，將其代入橢圓 C 的方程并整理可得 (m2 4k2 )x24k2x1x k2x21 m2 0.

14、 4k2x1依題意可知此方程的兩根為x1， x2 ，于是由韋達(dá)定理可得x1 x2 m2 4k2，m2x1即 x2m2 4k2.2因為點 H 在直線 QN 上，所以 y2 kx1 2kx2 2km2 x12， m 4k于是 PQ ( 2x1， 2kx1)，4k2x12km2x1PH (x2 x1 ，y2 kx1) m24k2，m2 4k2 .4 2 m2 k2x21而 PQ PH 等價于 PQ PH m2 4k2 0.即 2m2 0，又因為 m 0，得 m2.2y2故存在 m2，使得在其對應(yīng)的橢圓x 2 1 上，對任意的k0，都有 PQPH .法二：如圖 2、 3， ? x1 (0,1)設(shè) P(x1， y1)， H (x2， y2)，則 Q( x1， y1)， N(0，y1)m2 x21 y21 m2，因為 P， H 兩點在橢圓C 上，所以m2 x22 y22 m2，兩式相減可得m2(x21 x22)(y21 y22) 0.依題意，由點 P 在第一象限可知，點 H 也在第一象限，且 P，H 不重合，故 (